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【一模】上海市嘉定区2015届高三一模数学试题及答案(理)


2014 学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷
考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1.设 i 是虚数单位,则 i3 ? 2.函数 y ? lg( x ? 1) ?
1

2i ? __________. 1? i

的定义域是________________. 2? x ? 3.已知直线 l 垂直于直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则直线 l 的一个法向量 n ? ___________. 4.已知 4a ? 2 , lg x ? a ,则 x ? ____________. 5.为了解 300 名学生的视力情况,采用系统抽样的方法从中抽取容量为 20 的样本,则分段 的间隔为______________. 6.若椭圆 mx2 ? y 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 m ? __________. 7.若圆锥的侧面积是底面积的 4 倍,则其母线与轴所成角的大小是____________(结果用 反三角函数值表示) . 8.将函数 f ( x) ?

3 cos 2 x 的图像向左平移 m ( m ? 0 )个单位,所得图像对应的函数为 1 sin 2 x

偶函数,则 m 的最小值为______________. 9.设无穷等比数列 {an } 的公比为 q .若 lim(a2 ? a4 ? ? ? a2n ) ? a1 ,则 q ? ________.
n??

1 10. △ ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 已知 3a cos C ? 2c cos A ,tan A ? , 3 则 B ? ___________. 11.甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率是___________. 12.设正数 a 、 b 满足 2a ? 3b ? ab ,则 a ? b 的最小值是____________. 13.若函数 f ( x) 满足:①在定义域 D 内是单调函数;②存在 [a , b] ? D ( a ? b ) ,使 f ( x) 在
[ a , b] 上的值域为 [?b , ? a] , 那么 y ? f ( x) 叫做对称函数. 现有 f ( x) ? 1 ? x ? k 是对称函数,

则实数 k 的取值范围是_______________. 14.设数列 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意

n ? N* ,总存在 m ? N* ,使得 Sn ? am .则 d ? _________.
1

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ 0 ? x ? 1 ”是“ log 2 ( x ? 1) ? 1 ”的???????????????????( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件



16.设 a 、b 是关于 t 的方程 t 2 cos ? ? t sin ? ? 0 的两个不相等实根,则过 A(a , a2 ) 、 B(b , b2 ) 两点的直线与双曲线 A. 3

x2 y2 ? ? 1 的公共点个数是???????( cos2 ? sin 2 ? B. 2 C. 1 D. 0



) ②当 2 ? x ? 4 时, 17 . 定 义 在 区 间 [1 , ? ?) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : ① f ( 2 x )? 2f (x ; f ( x) ? 1 ? | x ? 3,则集合 | S ? {x f ( x) ? f (34)} 中的最小元素是????????(



A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

18.如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线, 垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 O

P M A

y = f ( x) 在 [0 , ? ] 上的图像大致为?????????????????????(
y 1 O y 1 y 1 y 1



π x A.

O

π x B.

O

π x C.

O

π x D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分满分 7 分. ? ? ? ? 已知 x ? R ,向量 a ? (sin 2 x , cos x) , b ? (1, 2cos x) , f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的单调递增区间;

2

?? ?? ? 4 2 ? cos ? ? ? ? cos 2? ? 1 ,求 cos ? ? sin ? 的值. (2)若 ? 是第二象限角, f ? ? ? 5 4? ?2? ?

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 E 、 F 分别 为棱 AC 与 A1 B1 的中点. (1)求三棱锥 A1 ? EFC1 的体积; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小. A B F B1 A1

C1

E

C

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知点 A(0 , ? 2) ,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的长轴长为 4 ,F 是椭圆的右焦点, a 2 b2

? 直线 AF 的一个方向向量为 d ? ( 3 , 2) , O 为坐标原点.
(1)求椭圆 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与椭圆 E 相交于 P 、 Q 两点,当△ OPQ 的面积 S 最大时,求
l 的方程.

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x ( x ? R ) . (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 k ? 0 ,问函数 f ( x) 的图像是否关于某直线 x ? m 成轴对称图形,如果是,求出 (可利用真命题: “函数 g ( x) 的图像关于某直线 x ? m 成轴 m 的值;如果不是,请说明理由; 对称图形”的充要条件为“函数 g (m ? x) 是偶函数” )

4 (3)设 k ? ?1 ,函数 h( x) ? a ? 2x ? 21? x ? a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有一个 3 公共点,求实数 a 的取值范围.
3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 、{bn } 的各项均为正数,且对任意 n ? N* ,都有 a n ,bn ,an ?1 成等差数列,
bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15 .

(1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (3)设 S n ?
b 1 1 1 ? ? ? ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2a ? Sn ? 2 ? n 恒成立,求实 a1 a2 an an

数 a 的取值范围.

4

2014 学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷参考答案与评分标准
一.填空题(每题 4 分,满分 56 分) 1. ?1 5. 15 9.
5 ?1 2

2. (1, 2) 1 6. 2 10.

3. (3 , 2)

4. 10 8.

1 7. arcsin 4

? 3

3? 3 11. 4 4 ? 5? 12. 5 ? 2 6 13. ?1 , ? 14. ?1 ? 4? n(n ? 1) n(n ? 1) 第 14 题详解: Sn ? na1 ? d ?n? d ,因为对任意 n ? N* ,存在 m ? N* ,使得 2 2 n(n ? 1) 1 Sn ? am ,即 n ? d ? 1 ? (m ? 1)d ,取 n ? 2 ,得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ? , 2 d 因为 d ? 0 ,所以 m ? 2 ,故 m ? 1 , d ? ?1 .
二.选择题(每题 5 分,满分 20 分) 15.A 16.D 17.C 18.B 三.解答题(本大题满分 74 分) 注:解答题评分标准所给的是各步骤的累加分,与参考答案不同的解法可酌情给分. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分满分 7 分. ?? ? (1) f ( x) ? sin 2 x ? 2cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ,??(2 分) 4? ? 由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ?Z ) , ????(4 分)

3? ?? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 得 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? . ????(5 分) 8 8? ?

?? 4 2 ?? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? ? 1 ,????(2 分) (2)由已知得, 2 sin ? ? ? ? ? 1 ? 4? 5 4? ? ? ?? 4 ?? ? ? 即 sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos 2? , ??????(3 分) 4? 5 4? ? ? 4 所以, sin ? ? cos ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ,???(4 分) 5 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 tan ? ? ?1 ,所以 cos ? ? sin ? ? ? 2 ;?????(5 分) 5 4 若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 (cos? ? sin ? )2 ? 1 , cos ? ? sin ? ? ? .????(6 分) 2 5 5 综上, cos ? ? sin ? 的值为 ? 2 或 ? . ????(7 分) 2 (分类得到 2 个答案,不写最后一步可不扣分) 20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分.
1 1 1 2 (1) VA1 ? EFC1 ? VE ? A1FC1 ? S?A1FC1 ? AA1 ? ? ? AC . ??(5 分) 1 1?A 1 F ? AA 1 ? 3 3 2 3
5

(参考答案只给出最后结果,如果结果错误,可视中间步骤适当给分) (2)取 AA1 中点 G ,联结 EG , FG ,则 EG ∥ A1C , ???(1 分) 所以, ?FEG 是异面直线 A1C 与 EF 所成的角(或其补角) , ????(2 分) 在△ EFG 中, EG ? FG ? 2 , EF ? 6 , ?????????(4 分) EG 2 ? EF 2 ? FG 2 3 ? ? 所以, cos ?FEG ? ,故 ?FEG ? . ??(6 分) 2 ? EF ? EG 2 6 所以,异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小为

? . 6

?????????(7 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. x y?2 ? (1)设 F (c , 0) ,直线 AF 的点方向式方程为 , ??????(2 分) 2 3 令 y ? 0 ,得 x ? 3 ,即 c ? 3 , ???????????????(3 分) 由已知, a ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 . ???????????????(5 分) x2 所以椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1 . ???????????????(6 分) 4 (2)由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (4k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 , ????(1 分) 4 3 当△ ? 16(4k 2 ? 3) ? 0 ,即 k 2 ? 时,直线 l 与椭圆 E 相交, ?????(2 分) 4 16k 12 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , ???(3 分) 4k ? 1 4k ? 1
将 y ? kx ? 2 代入 所以 | PQ |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]
?? 16k ?2 48 ? 4 k 2 ? 1 ? (k ? 1) ? ?? 2 ? 4k 2 ? 3 , ?? ? ? 2 2 4k ? 1 ? ?? 4k ? 1 ? 4 k ? 1 ? ?
2

又点 O 到直线 l 的距离 d ?

2

k2 ?1 4t 4 ? 设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ? 2 , ??????(5 分) t ?4 t? 4 t 7 4 因为 t ? ? 4 ,所以 S ? 1 ,当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ? 时, S 取最大值 1 .??(7 分) 2 t 7 x ? 2 . ?????(8 分) 所以,当△ OPQ 的面积 S 最大时,直线 l 的方程为 y ? ? 2 (直线方程用其他形式也可以)

,所以△ OPQ 的面积 S ?

1 4 4k 2 ? 3 | PQ | ?d ? . 2 4k 2 ? 1

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. (1) f (? x) ? 2? x ? k ? 2x , 若 f ( x) 是偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ,即 2? x ? k ? 2 x ? 2 x ? k ? 2? x , ????(1 分)

6

所以 (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? 1 ;

???????(2 分)

若 f ( x) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,即 2? x ? k ? 2 x ? ?2 x ? k ? 2? x ,???(3 分) 所以 (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? ?1 。 ???????(4 分) 综上,当 k ? 1 时, f ( x) 是偶函数;当 k ? ?1 时, f ( x) 是奇函数;当 k ? ?1 时, f ( x) 既不是 奇函数也不是偶函数。 ????????????????????(5 分) (2) 当 k ? 0 时, 若函数 f ( x) 的图像是轴对称图形, 且对称轴是直线 x ? m , 则函数 f (m ? x) 是偶函数,即对任意实数 x , f (m ? x) ? f (m ? x) , ??????(1 分) 故 2m? x ? k ? 2? ( m? x ) ? 2m? x ? k ? 2? ( m? x ) ,化简得 (2x ? 2? x )(2m ? k ? 2?m ) ? 0 , ?(3 分)

1 因为上式对任意 x ? R 成立,所以 2m ? k ? 2? m ? 0 , m ? log2 k . ??????(4 分) 2 1 所以,函数 f ( x) 的图像是轴对称图形,其对称轴是直线 x ? log 2 k . ????(5 分) 2 4 (3)由 f ( x) ? h( x) 得, (a ? 1) ? 2x ? 2? x ? a ? 0 , 3 4 即 (a ? 1) ? 22 x ? a ? 2x ? 1 ? 0 , 3 此方程有且只有一个实数解.
????????????????????(2 分)

4 令 t ? 2 x ,则 t ? 0 ,问题转化为:方程 (a ? 1)t 2 ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正数根. (3 分) 3

3 ①当 a ? 1 时, t ? ? ,不合题意. 4 ②当 a ? 1 时,
(i) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 意.

???????????????????(4 分)

3 1 3 ,若 a ? ?3 ,则 t ? ,符合题意;若 a ? ,则 t ? ?2 ,不合题 4 2 4 ??????????????(6 分)

3 ?1 ,由题意,方程有一个正根和一个负根,即 ? 0 ,解得 a ?1 4 a ?1. ??????????????(7 分) 综上,实数 a 的取值范围是 { ? 3 } ? (1 , ? ?) . ??????????????(8 分)
(ii) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 a ? 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得 an?1 ? bnbn?1 ③
2 ①, an ?1 ? bn bn ?1

②,

????????(1 分) ????????(2 分)

将③代入①,得对任意 n ? 2 , n ? N* ,有 2bn ? bn?1bn ? bnbn?1 ,即 2 bn ? bn?1 ? bn , 所以, { bn } 是等差数列. (2)设数列 { bn } 的公差为 d ,由 a1 ? 10 , a2 ? 15 ,得 b1 ? 所以, b1 ?
2 5 2 , b2 ? 3 2 , d ? b2 ? b1 ? , 2 2
7

?????????(4 分)

25 , b2 ? 18 ,??(1 分) 2

?????????(2 分)

5 2 2 2 (n ? 4)2 ? (n ? 1) ? (n ? 4) , bn ? .?(4 分) 2 2 2 2 (n ? 3)(n ? 4) 由已知,当 n ? 2 时, an ? bn?1bn ? ,而 a1 ? 10 也满足此式.??(5 分) 2 (n ? 4)2 (n ? 3)(n ? 4) 所以数列 {an } 、 {bn } 的通项公式为: an ? , bn ? . ???(6 分) 2 2 1 2 1 ? ? 1 ? 2? ? (3)由(2) ,得 ? ????????(1 分) ?, an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n?4?

所以 bn ? b1 ? (n ? 1) ? d ?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? 则 S n ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? , ????(2 分) ? n ? 3 n ? 4 ?? ?4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 不等式 2aS n ? 2 ? n 化为 4a ? ? , ???????(3 分) ??2? n?3 an ?4 n?4?

(以下有两种解法) 解法一:不等式化为 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 ,
2

???????????(4 分)

设 f (n) ? (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ,则 f (n) ? 0 对任意 n ? N* 恒成立. ???(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,不满足条件. 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,满足条件. 3(a ? 2) ? 0 , f (n) 关于 n 递减, 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 时,函数 f (n) 图像的对称轴为直线 x ? ? 2( a ? 1) 15 只需 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,解得 a ? ,故 a ? 1 . ????????(8 分) 4 综上可得, a 的取值范围是 (?? , 1] .

n2 ? 6n ? 8 3n ? 8 对任意 n ? N* 恒成立,即 a ? 1 ? 2 ,?(5 分) n ? 3n n2 ? 3n 3n ? 8 3n ? 8 3n ? 8 ? 22 设 f (n) ? 2 ,任取 n1 、 n2 ? N* ,且 n1 ? n2 ,则 f (n1 ) ? f (n2 ) ? 2 1 n1 ? 3n1 n2 ? 3n2 n ? 3n (n ? n1 )[3n1n2 ? 8(n1 ? n2 ) ? 24] ? 2 ? 0 ,故 f (n) 关于 n 递减. ????????(6 分) 2 (n12 ? 3n1 )(n2 ? 3n2 ) 3n ? 8 又 f (n) ? 0 且 lim f (n) ? 0 ,所以 1 ? 2 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 a ? 1 . n?? n ? 3n 因此,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ?????????(8 分)
解法二:不等式化为 a ?

8


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