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2.1函数及其表示


第一节 函数及其表示
一.必会知识: 1.函数与映射的概念: 2.映射中像与原像、一一映射: 3.函数的三要素: 4.函数的表示法: 5.分段函数: 二.必备结论: (1)映射:①映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B 为非空数集的映射就是函数; ②映射的两个特征:一是在 A 中取元素的任意性,二是在 B 中对应元素的唯一性; ③映射问题允许多对一,但不允许一对多. (2)判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. (3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 ,其值域等于各段函数的值域的并集 ,分 段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (4)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有 1 个交点. 三.必用技法 : (1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解析式. (2)数学思想:数形结合、分类讨论. (3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它; 分段函数分段算,并到一起保平安. 考点 1 求函数的定义域 1 【典例 1】(1)(2014·山东高考)函数 f(x)= log x 2 ? 1 的定义域为( ) ? 2 ? 1 A.(0, 2 ) B.(2,+∞) 1 C.(0, )∪(2,+∞) D.(0, 1 )∪[2,+∞) 2 2 (2)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( ) 1 A.(-1,1) B.(-1,- ) 2 C.(-1,0) D.( 1 ,1) 【变式训练】1.函数 y=ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为 . x x 2.已知函数 f(2 )的定义域为[-1,1],则 f(x)的定义域为 . 考点 2 求函数的解析式 【典例 2】(1)已知 f( x +1)=x+2 x ,则 f(x)= . (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= 1 (3 已知 f(x)满足 2f(x)+f( x )=3x,则 f(x)= . 2 【变式训练】1.已知 f( +1)=lgx,则 f(x)= . x 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,则 f(x)= 3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)= . 考点 3 分段函数及应用 命题角度 1:求分段函数的函数值 x 2 ? 1,x ? 1, 【典例 3】设函数 f(x)= ? 则 f(f(3))= ( ) ?
?2 ? ,x ? 1, ?x
13 D. 9 1 A. 5 B. 3 2 C. 3

1

2

.

.

命题角度 2:求解分段函数的方程、不等式

2 ? x ? 2x ? 2, x ? 0, 若 f(f(a))=2,则 a= 【典例 4】设函数 f(x)= ? ? 2 ? ? ? x , x ? 0,

. )

?a 2 x , x ? 0, 【变式训练】1.已知函数 f(x)= ? (a∈R),若 f(f(-1))=1,则 a= ( ? ?x ? ?2 , x ? 0

A.1/4

B.1/2

C.1
?log 2 ? x ? 1? , x ? 3, ? ? ?2
x ?3

D.2 满足 f(a)=3,则 f(a-5)的值为 ( D.1 . )

2.已知函数 f(x)= ? A.log23 B.

? 1, x ? 3

17 16

C.

3 2

?e x ?1 , x ? 1, 3.设函数 f(x)= ? 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是 ? 1
3 ? ? x ,x ? 1,

(25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)

50 分)

1.已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映射的是( A.f:x→y= x B.f:x→y= x

)

C.f:x→y= x

D.f:x→y=x

2.函数 f(x)=

的定义域是(

)

A.

B.

C. 3.下列各组函数不是同一函数的是( A.f(x)= 与 g(x)=-x

D. )

B.f(x)=|x|与 g(x)= C.f(x)=x 与 g(x)=1 D.f(x)=x -2x-1 与 g(t)=t -2t-1 【加固训练】下列函数中,与函数 y= 定义域相同的函数为( )
2 2 0

A.y=

B.y=

C.y=xe

x

D.y=

4.已知函数 f(x)=ln( A.-1 B.0

-3x)+1,则 f(lg2)+f C.1

等于(

) D.2 )

【加固训练】已知函数 f(x)= A.-2 B.2

且 f(0)=2,f(-1)=3,则 f(f(-3))=( C.3 D.-3 ) D.3x+3 )

5.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 B.x+1 C.2x+1

6.图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图像是(

7.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x)=

(A,c 为

常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值 分别是( A.75,25 ) B.75,16 C.60,25 D.60,16

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.函数 y= +ln(2-x)的定义域为_______.
|x| 2

9.已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax -x(a∈R),若 f(g(1))=1,则 a=__________. 10.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是________.

(20 分钟

40 分)

1.(5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为 “同族函数” , 则函数解析式为 y=x +1,值域为{1,3}的同族函数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个
2

) D.4 个

【加固训练】具有性质:f

=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:

①f(x)=x- ;②f(x)=x+ ;③f(x)= A.①② B.①③ C.②③

满足“倒负”交换的函数是( D.① )

)

2.(5 分)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

3.(5 分)(2015·吉安模拟)已知函数 f(x)=

若 f(a)= ,则 a=________.

4.(12 分)已知 f(x)=x -1,g(x)= (1)求 f(g(2))与 g(f(2)). (2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式.

2

5.(13 分)(能力挑战题)若函数 f(x)=

.

(1)求

的值.

(2)求 f(3)+f(4)+?+f(2015)+f

+f

+?+f

的值.


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