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高中数学


排列组合解题技巧综合复习
制作者:艾华勇 教学目的

教学过程
课堂练习 课堂小结

1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.

一 复习引入
二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.

例题1
例题4

例题2
例题5

例题3
例题6

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
m 3.排列数公式: An ? n( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1)

n! ( n ? m)! m An n( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1) m ? 4.组合数公式: C n ? m m! Am ?
n! ? m!( n ? m)!

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。 8个学生,4个老师,要求老师在学生之间,且老师互不 相邻,共有多少种不同的坐法?

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 A8 种排法,然后把老师插入学生 解 先排学生共有 之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有 A7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A8 A7 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 6 A6 种排法,其中女生内 一个人,与5个男生作全排列,有 3 6 3 部也有A3种排法,根据乘法原理,共有A6 A3种不同的排 法.

结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.

例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解. 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 7 个,即可将白球分成8份,显然有C11 种不同的放法,所以 7 C11 种. 名额分配方案有 结论3 转化法(插拔法):对于某些较复杂的、或较 抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为 简单的、具体的问题来求解.

例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个, 如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 3 1 1 C23 ? C23 ? C10 种取法. 共有 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.

例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 解 不加任何限制条件,整个排法有 A99 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 A 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 9 2 种. 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 结论5
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.

例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 5 C43 种,正副班长,团支部 解 43人中任抽5人的方法有 5 书记都不在内的抽法有C40 种,所以正副班长,团支部书 5 5 记至少有1人在内的抽法有 C43 ? C40 种. 结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.

? 练习: 有12个人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人; (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人; (3)分为甲、乙两组,一组7人,一组5人; (4)分为甲、乙两组,每组6人; (5)分为两组,每组6人; (6)分为三组,一组5人,一组4人,一组3人; (7)分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人; (8)分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人; (9)分为甲、乙、丙三组,每组4人; (10)分为三组,每组4人.

?互斥分类--分类法 ?先后有序--位置法 ?反面明了--排除法 ?相邻排列--捆绑法 ?分隔排列--插空法

小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.


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