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安徽省太和中学2015-2016学年高一数学下学期开年考试试题(实验班)


太和中学高一年级下学期开学测试数学试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 0} , 集合 B ? ?x | lg x ? 0} ,则 A ? ?CU B? ? (A) {x | 0 ? x ? 1} 2.已知函数 y ? (A) (B) {x | 0 ? x ? 1} ( C) {x | x ? 0} (D) {x | x ? 1}

2? x ,其定义域为 x2 ? 9
(B)

? ??,2?

? ??,2? ?

(C)

? ??, ?3? ? ??3,2? ?
y ? x3
1

(D) ? ?2,3? ? ?3, ???

3.下列函数中 既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是 (A) y ? x (B) y ? ln x (C) (D)

y ? x ?3

4.将函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 向左平移 ? 个单位,所得函数图象的解析式为 6 (A) y ? sin( 2 x ?

1 (纵坐标不变),再将所得到的图象上所有点 2 1 ? x? ) 2 3 1 ? x? ) 2 6

?

3

)
2

(B) y ? sin( 2 x ?

?
3

)

(C) y ? sin(

(D) y ? sin(

? ? ? ) 的值为 5.设 tan? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根,则 tan(
(A) ? 3 (B) ? 1 (C) 1 ?x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所 6 .已知函数 y ? A cos( 示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? (A) A ? 4 (C) B ? 4 (D) 3

?
2

,则 (B) ? ? 1 (D) ? ? ?

?
3

?2e x ?1 ( x ? 2) ? 7.设 f ( x) ? ? 1 则 f ( f (e)) 的值为 ? ? ln x( x ? 2) ?2
(A) 0 8.已知 (A) (B)

e

(C) 2 e

(D) 3

?
4

?? ?

?
2

, sin ? ? cos ? ?
(B) ?

5 , 则 sin ? ? cos ? ? 4
(C)

7 4

7 4

5 2

(D) ?

5 2

9.把截面半径为 5 的圆形木头锯成面积为 y 的矩形木料,如图,点 O 为圆心,
OA ? AB ,设 ?AOB ? ? ,把面积 y 表示为 ? 的表达式,则有

(A) y ? 50 cos 2? (C) y ? 25sin 2? 10.函数 y ? x cos x, x ? (?
3

(B) y ? 25 sin ?

? ?

(D) y ? 50sin 2?

, ) 的大致图象是 2 2
1

y

y

π 2

O

π 2

x

π 2

O

π 2

x

(A)

(B)

(C)

(D)

11.已知 f ( x) 在 R 上是以 3 为周期的偶函数, f (?2) ? 3 ,若 tan ? ? 2 ,则 f (10 sin 2? ) 的值是 (A) 1 12.已知函数 f ( x) ? ? (B) ? 1 (C) 3 (D) 8

? 2 ? x , x ? 2,
2 ?( x ? 2) , x ? 2

,函数 g ( x) ? b ? f (2 ? x) ,其中 b ? R .若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰

有 4 个零点,则 b 的取值范围是 (A) ( ,?? )

7 4

(B) ( ?? , )

7 4

(C) (0, )

7 4

(D) ( ,2)

7 4

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案直接填在题中横线上. 13. sin 43? cos 2? ? cos 43? sin 2? 的值为 . . 处取得最小值,则点 M ? cos?0 ,sin ?0 ? 关于坐标

14.若指数函数 f ( x) 的图象过点 (?2, 4) ,则 f (?3) ? 15.函数 f

?? ? ? 12cos? ? 5sin? ?? ? ? 0, 2? ? ? 在 ? ? ?


0

原点对称的点坐标是 16.关于函数 f ( x ) ? ax ?

b 有如下四个结论: x
②.当 ab ? 0 时, ? ?

①.函数 f ( x) 为定义域内的单调函数;

? b ? , ?? ? ? 是函数 f ( x) 的一个单调区间; a ? ?

③.当 ab ? 0, x ??1, 2? 时,若 f ( x) min

? b ?2 ? a( ? 1) a ? b ?1 (1 ? ? 4); ? 2, 则 b ? ? a ?a ? ?b ? ? 4 ? 4a ? ? 4 ? ?a ? ?

④.当 ab ? 0, x ??1, 2? 时,若 f ( x) min ? 2, 则 b ? ?

? ?2 ? a ? a ? 0, b ? 0 ? . 4 ? 4 a a ? 0, b ? 0 ? ? ? ?

其中正确的结论有



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)
2

(Ⅰ)计算:

?

2 ?1 ?

?

0

1 1 ? ; 2 4 ? 3 22 ? 2 ? 2?2

(Ⅱ)若 tan x ? 2, 求值:

2sin(? ? x) ? cos x . 3? cos x ? cos( ? x) 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 (2 ? x) ? log 2 (2 ? x). (Ⅰ)求证:函数 f ( x) 为偶函数; (Ⅱ)求 f ( 3 ) 的值.

19. (本小题满分 12 分) 已知 A 、B 是单位圆 O 上的点, 且点 B 在第二象限, 点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点, 点 A 的坐标为 ( , ) , 若△ AOB 为正三角形. ( Ⅰ ) 若 设

?COA ? ?

3 4 5 5

, 求

s i2?n 的 值 ;

(Ⅱ)求 cos ?COB 的值.

20. (本小题满分 12 分)

1 1 ? x ? a ? 1? . a a ?1 (Ⅰ)证明: y ? f ( x) 在 R 上是增函数; (Ⅱ)当 a ? 2 时,方程 f ( x) ? ?2 x ? 1 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 内,求 k 的值.
已知函数 f ( x) ?

21.(本小题满分 12 分)
3

已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?

? 1 ? ? 5 ? ? 11 ? ) 的图象经过三点 ? 0, ? , ? ,0 ? , ? ,0 ? ,在 2 ? 8 ? ? 12 ? ? 12 ?

区间 ?

? 5 11 ? , ? 内有唯一的最小值. ? 12 12 ?

(Ⅰ)求出函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 R 上的单调递增区间和对称中心坐标.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 u ( x ) ? 10 3 sin

x x x cos ?10 cos 2 . 2 2 2

(I)求函数 u ( x) 的最小正周期; (II)将函数 u ( x) 的图象向右平移 的图象,且函数 g ( x) 的最大值为 2. (i) 求函数 g ( x) 的解析式; (ii)(仅理科生做)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ( x0 ) ? 0 .

? 个单位长度, 再向下平移 b ( b ? 0 ) 个单位长度后得到函数 g ( x) 6

太和中学高一年级下学期开学测试数学科试题参考答案及评分意见
4

说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制订相应 的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 ) 答案 (1 ) B (2 ) C (3 ) C (4 ) B (5 ) C (6 ) D (7 ) C (8 ) A (9 ) D (10 ) A (11 ) C D (12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

2 ; 2

14. 8 ;

15. (

12 5 , ); 13 13

16. ②③

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(Ⅰ)解:原式= 1 ?

1 ? 6

1 3 2 ? 2 2
2 2

?

5 1 ? ? 1. 6 6

…………………(5)分

(Ⅱ)原式=

2sin x ? cos x 2 tan x ? 1 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 1. cos x ? sin x 1 ? tan x 1? 2
解得 ?2 ? x ? 2.

…………………(5)分

18. 证明:⑴ ?

?2 ? x ? 0 , ?2 ? x ? 0

∴ f ( x) 的定义域为 (?2,2) 又当 x ? (?2, 2) 时,有 ? x ? (?2, 2).

…………………(2 分)

f (? x) ? log 2 (2 ? x) ? log 2 (2 ? x) ? f ( x).


…………………(4)分 …………………(6)分

f ? x ? 为偶函数.

(2) f ( 3) ? log2 (2 ? 3) ? log2 (2 ? 3)

? log2 (2 ? 3 )(2 ? 3 )
= log2 1 ? 0 . …………………(12)分

5

19. 解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 ?5 5?
…………………(3)分

cos ? ?

3 4 , sin ? ? , 5 5

∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ?

4 3 24 ? ? . 5 5 25
0

…………………(6)分

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 600 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600
= ?

3 1 4 3 3?4 3 . ? ? ? 5 2 5 2 10

…………………(12)分

20. (Ⅰ)证 明: ? x ? R , 设 x1 ? x2 ,

1 1 a x1 ? a x2 ? a ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x , ? a 1 ?1 a ? 1 (1 ? a x1 )(1 ? a x2 )

? x1 ? x2 , 且 a ? 1,
又 (1 ? a 1 )(1 ? a 2 ) ? 0,
x x

? a x1 ? a x2 ? 0.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
…………………(6)分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

? f ( x) 为增函数.
(Ⅱ)解:令 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 1 , 当 a ? 2 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 是 R 上的增函数, 所以,函数 g ( x) 是 R 上的增函数且连续, 又 g (0) ? f (0) ? 1 ? ?1 ? 0, g (1) ?

…………………(9)分 …………………(11)分

7 ? 0. 6

所以,函数 g ( x) 的零点在区间 ?0,1? 内, 所以 k ? 0.

即方程 f ( x) ? ?2 x ? 1 的根在区间 ?0,1? 内, …………………(12)

21.解:提示:有三种情况,提供一种正确答案即可给满分.以下是一种参考答案. (Ⅰ)函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ? 的周期 T ? 2 ? 所以周期 T ?

? 11 5 ? ? ? ? 1. ………………(1)分 ? 12 12 ?
……………(2)分

2?

?

? 1. 即? ? 2? .

又由题意当 x ?

5 时, y ? 0. 12
6

? 5 ? ? ? A sin ? 2? ? ? ? ? ? 0 即 ? ? . 6 12 ? ?
再由题意当 x ? 0 时, y ?

…………………(3)分

? A sin

?

1 . 8
…………………(4)分

1 1 ? .即 A ? . 4 6 8

1 ? ?? ? f ( x) ? sin ? 2? x ? ? . 4 ? 6?
(Ⅱ)求 2k? ? 解得 k ?

…………………(6)分

?
2

? 2? x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 时, y ?

f ( x) 为增函数.

1 1 ? x ? k ? ?k ? Z ?, 3 6

所以函数的单调递增区间为 ? k ?

? ?

1 1? , k ? ? , (k ? Z ) . 3 6?

…………………(9)分

2?x ?

?
6

? k? (k ? Z ) 时 f ? x ? ? 0. k 1 ? ?k ? Z ?. 2 12

解得 x ?

所以函数的对称中心为 ?

?k 1 ? ? ,0 ??k ? Z ? . ? 2 12 ?
x x x cos ? 10 cos 2 2 2 2

…………………(12)分

22. 解:(I) u ( x ) ? 10 3 sin

? ? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5 ? 10sin( x ? ) ? 5 6
所以函数 u ( x) 的最小正周期 ? ? 2? . (II)(i)将 u ( x) 的图象向右平移

? 个单 位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象, 6

再向下平移 b ( b ? 0 )个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的象. 又已知函数 g ( x) 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? b ? 2 ,解得 b ? 13 . 所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ( x0 ) ? 0 , 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,

7

即 sin x0 ?

4 3 4 ? 4 .由 ? 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 sin ?0 ? . 5 2 5 3 5

由正弦函数的性质知,当 x ? (? 0 , ? ? ? 0 ) 时,均有 sin x ?

4 . 5

因为 y ? sin x 的周期为 2? ,所以当 x ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ( k ?? )时,均有 sin x ? 因为对任意的整数 k , ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ?

? ?1 3
4 . 5

4 . 5

所以对任意的正整数 k ,都存在正整数 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ,使得 sin xk ? 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ( x0 ) ? 0 .

8


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