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高中数学 第三章 3.3.2简单的线性规划问题(一)导学案新人教A版必修5


3.3.2

简单的线性规划问题(一)

课时目标 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题. 线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

一、选择题

x+3y-3≥0, ? ? 1.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ? ?x-y+1≥0,
A.9 答案 解析 15 B. 7 C.1 7 D. 15

则 x+y 的最大值为(

)

A 画出可行域如图:

当直线 y=-x+z 过点 A 时,z 最大. ? ?2x-y-3=0, 由? 得 A(4,5),∴zmax=4+5=9. ? ?x-y+1=0

x+y≤4, ? ? 2.已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x, ? ?x≥1,
A. 10 B.8 C.16 D.10

则 x +y 的最大值为(

2

2

)

答案 D 解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示: 易得 A(1,1),|OA|= 2,B(2,2), |OB|=2 2, C(1,3),|OC|= 10. 2 2 2 2 ∴(x +y )max=|OC| =( 10) =10.

y≥0 ? ? ? 3.在坐标平面上有两个区域 M 和 N,其中区域 M=??x,y?|?y≤x ? ?y≤2-x ?
的表达式为( ) 1 2 A.-t +t+ 2 1 2 C.1- t 2 答案 A 解析

? ?,区域 ?

N={(x,y)|t≤x≤t+1,0≤t≤1},区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示,则 f(t)
B.-2t +2t 1 2 D. (t-2) 2
2

y≥0 ? ? 作出不等式组?y≤x ? ?y≤2-x
由 t≤x≤t+1,0≤t≤1,得 f(t)=S△OEF-S△AOD-S△BFC 1 2 1 2 =1- t - (1-t) 2 2 1 2 =-t +t+ . 2

所表示的平面区域.

x-y+2≥0, ? ? 4.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0,

则目标函数 z=3x-4y 的最大值和

最小值分别为( ) A.3,-11 B.-3,-11 C.11,-3 D.11,3 答案 A 解析 作出可行域如图阴影部分所示, 由图可知 z=3x-4y 经过点 A 时 z 有最小值, 经

过点 B 时 z 有最大值.易求 A(3,5),B(5,3).∴z 最大=3×5-4×3=3,z 最小=3×3-4×5 =-11.

x≥1, ? ? 5 设不等式组?x-2y+3≥0 ? ?y≥x

,所表示的平面区域是 Ω 1,平面区域 Ω 2 与 Ω 1 关于直

线 3x-4y-9=0 对称. 对于 Ω 1 中的任意点 A 与 Ω 2 中的任意点 B, 则|AB|的最小值为( ) 28 12 A. B.4 C. D.2 5 5 答案 B 解析 如图所示.由约束条件作出可行域,得 D(1,1),E(1,2),C(3,3). 要求|AB|min,可通过求 D、E、C 三点到直线 3x-4y-9=0 距离最小值的 2 倍来求. |3×1-4×1-9| 经分析,D(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离 d= =2 最小,∴|AB|min 5 =4.

二、填空题

x+y≥3, ? ? 6.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3.
________. 答案 7 解析 作出可行域如图所示.

则目标函数 z=2x+3y 的最小值为

由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为 7. 7.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间 表示) 答案 (3,8) ? ?-1<x+y<4, 解析 由? 得平面区域如图阴影部分所示. ?2<x-y<3 ?

由? 由?

?x+y=-1, ? ? ?x-y=3 ?x+y=4, ? ?x-y=2 ?

得? 得?

?x=1, ? ? ?y=-2.

?x=3, ? ?y=1. ?

∴2×3-3×1<z=2x-3y<2×1-3×(-2), 即 3<z<8,故 z=2x-3y 的取值范围是(3,8).

x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 8.已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0,
答案 2

则 的最大值为________.

y x

解析

x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 画出不等式组? y≥0, ? ?x+2y-3≥0

对应的平面区域 Ω , =

y y-0 表示平面区 x x-0

域 Ω 上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率.

y A(1,2),B(3,0),∴0≤ ≤2. x

三、解答题

x+3y≥12 ? ? 9.线性约束条件?x+y≤10 ? ?3x+y≥12
解 如图作出线性约束条件

下,求 z=2x-y 的最大值和最小值.

x+3y≥12 ? ? ?x+y≤10 ? ?3x+y≥12

下的可行域,包含边界:其中三条直线中 x+3y=12 与 3x+y=12 交

于点 A(3,3), x+y=10 与 x+3y=12 交于点 B(9,1), x+y=10 与 3x+y=12 交于点 C(1,9), 作一组与直线 2x-y=0 平行的直线 l:2x-y=z, 即 y=2x-z,然后平行移动直线 l,直线 l 在 y 轴上的截距为-z,当 l 经过点 B 时, -z 取最小值,此时 z 最大,即 zmax=2×9-1=17;当 l 经过点 C 时,-z 取最大值,此时 z 最小,即 zmin=2×1-9=-7. ∴zmax=17,zmin=-7. 2x+y-5≥0 ? ? 10.已知?3x-y-5≤0 ? ?x-2y+5≥0 解 作出不等式组 的可行域如图所示, 2x+y-5≥0 ? ? ?3x-y-5≤0 ? ?x-2y+5≥0 ,求 x +y 的最小值和最大值.
2 2

? ?x-2y+5=0 由? ?2x+y-5=0 ? ?x-2y+5=0 ? 由? ? ?3x-y-5=0

,得 A(1,3), ,得 B(3,4),

?3x-y-5=0 ? 由? ,得 C(2,1), ? ?2x+y-5=0 2 2 设 z=x +y ,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,原点到点 B 的距离最大,注意到 OC⊥AC,∴原点到点 C 的距离最小. 2 2 故 zmax=|OB| =25,zmin=|OC| =5. 能力提升 ? ??x-y+6??x+y-6?≥0 2 2 11.已知实数 x,y 满足? ,求 x +y -2 的取值范围. ?1≤x≤4 ?



作出可行域如图,

由 x +y =(x-0) +(y-0) , 可以看作区域内的点与原点的距离的平方, 最小值为原点到直线 x+y-6=0 的距离的平方, 2 2 即|OP| ,最大值为|OA| , |0+0-6| 6 其中 A(4,10),|OP|= = =3 2, 2 2 1 +1 2 |OA|= 4 +10 = 116, 2 2 2 ∴(x +y -2)min=(3 2) -2=18-2=16, 2 2 2 (x +y -2)max=( 116) -2=116-2=114, 2 2 ∴16≤x +y -2≤114. 2 2 2 2 即 x +y -2 的取值范围为 16≤x +y -2≤114. 2x+y-2≥0 ? ? 12.已知实数 x、y 满足?x-2y+4≥0 ? ?3x-y-3≤0 解 由于 z= ,试求 z=
2 2

2

2

2

2

y+1 的最大值和最小值. x+1

y+1 y-?-1? = , x+1 x-?-1? 所以 z 的几何意义是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率, y+1 因此 的最值就是点(x,y)与点 M(-1,-1)连线的斜率的最值, x+1 结合图可知,直线 MB 的斜率最大,直线 MC 的斜率最小,即 zmax=kMB=3,此时 x=0,y=2; zmin=kMC= ,此时 x=1,y=0.
1 ∴z 的最大值为 3,最小值为 . 2 1 2

1.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程,还要给可行域的各顶点标上字 母,平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较,确定最 优解. 2.在解决与线性规划相关的问题时,首先考虑目标函数的几何意义,利用数形结合方法可 迅速解决相关问题.


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