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必修4 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(导学案)


3.1.2 【学习要求】

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切 公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变 【学法指导】 1.两角和与差的正切公式变形较多,这样变式在解决某些问题时十分便捷,应当利用公式能熟 tan α+tan β 练推导,务必熟悉它们.例如,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan αtan β=1- , tan?α+β? tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)等. 2.在三角函数题目中,有时,也对一些特殊的常数进行代换,例如 1=tan 45° , 3=tan 3 π =tan 等等.这样做的前提是识别出公式结构,凑出相应公式. 3 6 1.两角和与差的正切公式 tan α+tan β (1)T(α+β):tan(α+β)= 1-tan αtan β tan α-tan β (2)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α+β)的变形: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β) tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β) tan α+tan β tan αtan β=1- tan?α+β? (2)T(α-β)的变形: tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β) tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β) tan αtan β= tan α-tan β -1 tan?α-β? π , 3

探究点一 两角和与差的正切公式的推导 sin α 问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α= ,从两角和与差的正弦、余弦公式 cos α 出发,推导出用任意角 α,β 的正切值表示 tan(α+β),tan(α-β)的公式吗?试一试.

问题 2 在两角和与差的正切公式中,α,β,α± β 的取值是任意的吗?

探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多,例如: tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β), tan αtan β=1- tan α+tan β tan α-tan β = -1. tan?α+β? tan?α-β?

这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式 完成以下练习. 练习 1:直接写出下列式子的结果: (1). tan 12° +tan 33° =________;(2).tan 75° =________; 1-tan 12° tan 33° 1-tan 15° =________. 1+tan 15°

(3).

练习 2:求值:tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° .

【典型例题】 例 1 求下列各式的值: 3+tan 15° (1) ;(2)tan 15° +tan 30° +tan 15° tan 30° . 1- 3tan 15°

跟踪训练 1 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ;(2)tan 36° +tan 84° - 3tan 36° tan 84° . cos 75° +sin 75°

例 2 若 α,β 均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求 α+β.

π π π π 跟踪训练 2 已知 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且- <α< ,- <β< ,求 2 2 2 2 角 α+β.

例 3 已知△ABC 中, tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3, 且 3tan A+ 3tan B=tan Atan B -1,试判断△ABC 的形状

π 1.若 tan( -α)=3,则 tan α 的值为 4 A.-2 1 B.- 2 C. 1 2 ( ) D.不确定 D.2

(

)

2.已知 A+B=45° ,则(1+tan A)(1+tan B)的值为 A.1 B.2 C.-2

1 5 3.已知 A,B 都是锐角,且 tan A= ,sin B= ,则 A+B=____. 3 5 β? 1 1 ?α+β? ? α? 4.已知 tan? ?α-2?=2,tan?β-2?=-3,则 tan? 2 ?=________

方法总结
1.公式 T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α+β(或 α-β)的终边不能落在 y 轴上,即不为 kπ+ 2.公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构, 另一方面要注意常值代换. 如 tan 等. π π 3 π =1, tan = , tan = 3 4 6 3 3 π (k∈Z). 2

π ? 1+tan α ?π ? 1-tan α 要特别注意 tan? ?4+α?=1-tan α,tan?4-α?=1+tan α.

3.公式 T(α±β)的变形应用 只要见到 tan α± tan β,tan αtan β 时,要有灵活应用公式 T(α±β)的意识,就不难想到 解题思路.


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