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高一数学平面向量数量积的运算律教案


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龙文教育个性化辅导教案 教师 学生 平面向量数量 授课层次 高一 授课课题 积的运算律 1、知识目标:.掌握平面向量数量积运算规律 课型 授课时间



月 日 点

复习课

2、能力目标:能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题 教学目标 3、 情感态度与价值观:掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直, 以及能解决一些简单问题

教学重点 和难点

1、重点:平面向量数量积及运算规律 2、难点:平面向量数量积的应用

教学内容: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a 与b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则 数量|a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.“投影”的概念:作图 C

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影.

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投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当 ?为直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 2?

a?b ? a?b = 0

3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a
a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

4?cos? =

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,

a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?.
3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, 上的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 ∵a + b (即 OB )在 c 方向

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

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∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c 说明: (1)一般地,(a·b)с ≠a(b·с ) (2)a·с =b·с ,с ≠0

a=b

(3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b) +d) a· +a· +b· +b· (с = с d с d (a+b)2=a2+2a·b+b2 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直, 求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 ① ②

a?b b2 1 设 a、b 的夹角为?,则 cos? = ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60?

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD ∴| AC |2= | AB ? AD | 2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 而 BD = AB ? AD , ∴| BD |2= | AB ? AD | 2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с , DA =d,且a·b=b·с =
2 2
2 2 2 2

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с ·d=d·a,试问四边形 ABCD 是什么图形? 分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边 角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с +d=0,∴a+b=-(с +d) ,∴(a+b)2=(с +

d)2
即|a|2+2a·b+|b|2=|с |2+2с ·d+|d|2 由于a·b=с ·d,∴|a|2+|b|2=|с |2+|d|2① 同理有|a|2+|d|2=|с |2+|b|2② 由①②可得|a|=|с |,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a·b=b·с ,有b(a-с )=0,而由平行四边形 ABCD 可得

a=-с ,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b也即 AB⊥BC.
综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是 零向量,即a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、 角两种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( )

A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

B.向量的数量积满足分配律
D.a·b 是一个实数 )

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)等于( A.72

B.-72

C.36

D.-36

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3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4



B.垂直

C.夹角为

? 3

D.不平行也不垂直 . . .

4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则(a+b)2= 5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λ b 与 a-λ b 垂直,则λ = 五、小结(略)

本次课后作业:***资料**页**题

或者老师事先准备好的专项练习等

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 学生签字: 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字:

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好

导师签字:

主任签字:

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