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向量巧解教科书例题6


向量巧解教科书中的习题
胡贵平(甘肃省白银市第九中学 ,甘肃 白银 730913)
向量是中学数学的一个重要内容,向量解题是中学数学解题教学的一个难点。运用向量知识解题,方 法新颖,运算简捷,是启发学生思维的有效途径之一。本文首着重应用向量法解一些人教 A 版教科书中的 习题,特别是在三角求值、函数最值、不等式,三角形证明、线性规划,参数方程和解析几何方面. 一、三角求值

1 1 , sin ? ? sin ? ? 。求 cos( 的值. ? ? ?) 2 3 1 1 解:构造向量 a =( cos? , sin ? ) b =( cos? , sin ? )则 a + b =( , ). a =1. b =1 2 3 1 1 13 a ? b = cos? ? cos? ? sin ? ? sin ? ? cos(? ? ? ) .? ( a + b ) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? . 2 3 36 1 13 59 59 2 2 13 ? 2) ? ? .故 cos( ? ? ?) ?? . 即 a + 2a ? b + b = .? a ? b ? ( 2 36 72 72 36
例 1(必修 4 P147) 已知 cos ?

? cos ? ?

例 2(必修 4 P144) 求

y ? 3sin x ? cos x 函数的最大值与最小值.

解 : 构 造 向 量

a

= (

3,4

),

b

= (

sin x, cos x

) 则

y?

a ?b

.

a ? b = 32 ? 42 ? sin x2a ? cos x2 ? 5 .由 - a ? b ? a ? b ? a ? b 得
- 5 ? 3 sin x ? cos x ? 5 ? y ? 3s i nx ? c o s x 的最大值是 5.最小值是 - 5 .
二、函数最值 例 3(选修 4-5 P36 )求函数 解:构造向量

y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值.

a =(3,4) b =( x ? 5 , 6 ? x )则 y ? a ? b .向量 b 对应的点始终在以圆点为圆
3? ? a, b ? ?0, a r c t? a , n 4? ?



1

为 半 径 的 圆 在 第 一 象 限 的 部 分 上 , 所 以

y ? a ? b = a ? b cos a, b

=5 cos

a, b ? ?3,5?,故函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值为 5.
? 10. 求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值.

例 4(选修 4-5 P41)已知 2 x ? 3 y ? 4 z

解:构造向量

3,4 ) , b =( x, y , z ).则 b = a =( 2,

a ?b a cos?
.

=

10 ? 4 ? 9 ? 16 ? cos?

10 10 29 10 10 29 2 2 2 .故 x ? y ? z 的最小值为 ? ? 29 29 29 ? cos? 29

三、不等式、三角形证明 1

例 5(必修 4 P108)证明:对于任意的 a, b, c, d ? R, 恒有不等式 (ac ? bd)

2

? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2) .

证明:构造向量

, v =( c, d ).则 u ? v ? u v cos ? u =( a , b )

(其中 ? 为向量 u , v 的夹角).

ac ? bd ? a 2 ? b2 c2 ? d 2 cos? ,
(ac ? bd)2 ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) cos2 ? ? (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ). 当且仅当 u , v 同向时,等号成立.
例 6(选修 4-5 P26 )已知 a

? b ? c, 求证:

1 1 1 ? ? ? 0. a?b b?c c?a

解:设 u ? ( a ? b , b ? c ), v ? (
2 2 2

1 1 , ) a ?b b?c

1 1 ? ) ? (1 ? 1) 2 a?b b?c 1 1 4 1 1 1 1 ? ? ? . ? ? ? ?0. 即: a?b b?c a?c a?c a?b b?c c?a
由 | u | ? | v | ? (u ? v) 得: [( a ? b) ? (b ? c)] ? (
例 7(必修 5 P20)在 ?ABC 中,求证:

c(a cosB ? b cos A) ? a2 ? b2 .
A

证明: 构造向量

a = BC , b = CA , a ? BA .
ca ? cb ? c(a ? b)
B

左边= ca cos B ? cb cos A =
=( a

? b )( a ? b )= a 2 ? b 2 = a 2 ? b 2 =右边.

C

四、线性规划,参数方程

?5 x ? 3 y ? 15 ? 例 8 (必修 5 P91)求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值.使 x, y 约束条件 ? y ? x ? 1 . ?x ? 5 y ? 3 ?
解:设向量 OM

? (3,5). OP ? ( x, y) 则 z ? 3x ? 5 y ? OM ? OP ? 9 ? 25 ? OP ? cos? .
y

由约束条件作出可行域如图所示 当 P 为可行域内的 B 点时,向量 OP 在向量 OM 的方向上的投影

OP ? cos? 最大.

5 B

M

?y ? x ?1 由? 解得 B(1.5,2.5) ?5 x ? 3 y ? 15
当 P 为可行域内的 最小.

于是 z

? 3x ? 5 y ? OM ? OP 的最大值为 17.
-1 A

1

x
3

O

A 点时,向量 OP 在向量 OM 的方向上的投影 OP ? cos?

2

由?

?y ? x ?1 解得 A(?2,?1) ?x ? 5 y ? 3

于是 z

? 3x ? 5 y ? OM ? OP 的最小值为-11.
x2 y2 ? ? 1 的前提下, 25 16

例 9(选修 4-4 P29)思考与简单的线性规划问题进行类比,你能在实数 x, y 满足

求出 z

? x ? 2 y 的最大值和最小值吗?由此可以提出那些类似的问题.
x y ,b = ( 5,?8 ) 则 z ? a ? b , a =1, b = 89 .由 - a ? b ? a ? b ? a ? b a =( , ) 5 4

解: 构造向量 得-

等号成立.z ? x ? 2 y 的最大值为 89 , 最小值为- 89 . 89 ? z ? 89. 当且仅当 a , b 共线时,

五、解析几何 例 10(必修 2 P124)已知一个圆的直径两端点为

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,求此圆方程.
??? ???

解:设 P( x, y) 为圆上异于
???
?

A, B 的点,由圆周角定理得 AP ⊥ BP ,若 P( x, y) 是与点 A 或 B 重合的
??? ???

点,则

AP = 0 或 BP = 0 ,故都有 AP ? BP =0 成立,从而

???

?

( x ? x1 )( y ? y1 ) ? ( x ? x2 )( y ? y2 ) ? 0 ,此即为所求圆方程.
例 11(选修 2-1 P70)过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线 的准线于点 D,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
2 p P y12 y2 y12 p F ( , 0 ). D ( ? , y ). 则 A( , y1 ). B( , y2 ). FA ? ( ? , y1 ). D 2 2 2p 2p 2p 2

证明:设

FB ? (

2 y2 p y2 p y2 p ? , y2 ).因为 FA 与 FB 共线,所以 ( 1 ? ) y2 ? .( 2 ? ) y1 ? 0 2p 2 2p 2 2p 2

整理 得

y1 ? y2 ? ? p 2

所以

y2 ? ?

p2 . y1 p2 . y1

OA 与 OD 是共线向量,

y12 p ? yD ? ? y1 ? 0 2p 2

所以

yD ? ?

从而

y2 ? yD . 即 BD 平行于抛物线的对称轴.

向量方法作为解决数学问题的强有力工具,纵观历年的竞赛试题,其优势是不言而喻的.另外向量、 所蕴涵的丰富的数学思想方法,如数形结合、构造模型、化归转换、平移变换等,有益于发展学生的思维 能力,激发其创新活力。 3


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