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重庆一中2012-2013学年高一下学期期中考试 数学


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2015 级高一下期半期考试

数 学 试 题 卷

2013.5

数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一.选择题: (共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.请将唯一正确的选项选出来,并涂在机读卡 上的相应位置) 1.已知 a ? ( 2,1) , b ? (3,?1) ,则 a ? b ? ( A ?5,0? B
? ?

?

?

) D ?1,2?

??1,0?

C

??1,2?

2. 已知某单位有职工 120 人,其中男职工 90 人。现在采用分层抽样(按男女分层)抽取一个 样本,若样本中有 3 名女职工,则样本容量为( ) 。 A 9 B 12 C 10 D 15 3. 已知实数 a , b 满足 a ? b ? 0, b ? 0 ,则 a, b, ?a, ?b 的大小关系是( A C )

a ? ?b ? b ? ?a a ? ?b ? ?a ? b

B D

a ? b ? ?b ? ?a a ? b ? ?a ? ?b


4. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A 3 B 4 C 5 D 6 5. △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 c ?
? b ? 6 , B ? 1 2 ,则边 a 等于( 0

2,

a ? 16
a ? a ?i ?1



A

6

B

3

C

2

D 2 )

2 6.数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,对所有的 n ? 2 都有 a1 a 2 ?? a n ? n ,则 a4 ? a5 ? (

A

3 5

B

5 3

C

9 25

D

25 9
?

7. 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 向 量 m ? ( a ? c, a ? b) ,
?

n ? (b, a ? c) ,若 m ∥ n ,则 ?C ? (
A

?

?



? 6

B

? 3

C

? 2

D

2? 3

8. 已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 ? ?102 , a2 ? a4 ? a6 ? ?99 ,以 S n 表示 ?an ? 的前

n 项和,则使得 S n 达到最小值的 n 是(
A 37 和 38 B 38
2 ? ?

) 37 D 36 和 37
?

C
?

9.在 △ ABC 中, AC ? BC? AC , BA ? ?? 2,?3?, BC ? ?m,1? ,则 m 的值等于( A



8

B ?8

C

2 3

D ?

2 3

10.(原创)已知不等式 (2a ? b ? c)(a ? c) ? 2n ? (a ? b)(b ? c)(t ? 2n ? 1) 对任意 a ? b ? c 及

n? N 恒成立,则实数 t 的取值范围为(
A

) C

(??,2 ? 2 2 ]

B

(??,4 2 ?1]

[4 2 ?1,??)

D [2 ? 2 2 ,??)

二.填空题: (共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.请将最简答案填在答题卷相应的位置)

1 ,则数列 {an } 的公比为________. 4 12. 样本中共有五个个体,其值分别为 a ,0,1,2,3,,若该样本的平均值为 1,则其方差为
11. 在等比数列 {an } 中, a3 ? 2 , a6 ? ______________.

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 13. 若 实 数 x, y 满 足 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? x ? y 的 最 大 值 为 ? x?0 ?
_____________. 14.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA? (OB? OC ) 的最小值 是 15.(原创)记 n 项正项数列为 a1 , a2 ,? ? ?, an ,其前 n 项积为 Tn ,定义 lg(T1 ? T2 ? ? ? Tn ) 为“相对 叠乘积” ,如果有 2013 项的正项数列 a1 , a2 ,? ? ?, a2013 的“相对叠乘积”为 2013 ,则有 2014 项 的数列 10, a1 , a2 ,? ? ?, a2013 的“相对叠乘积”为_______。 三.解答题: (共 6 小题,其中 16~18 每小题 13 分,19~21 每小题 12 分,共 75 分.请将每 题的解答过程写在答题卷相应的答题框内)
? ? ?

16.(本小题满分 13 分)已知单位向量 a , b 满足 (2 a ? 3 b ) ? (2 a ? b ) ? 3 。 (1)求 a ? b ; (2) 求 2 a ? b 的值。
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

17.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且满足 S6 ? 42 ,
a5 ? a7 ? 24 .

(1)求数列 ?an ? 的通项 a n 及前 n 项和 S n ; (2)令 bn ? 2? an ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 13 分)在 ?ABC中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 2 ,向量
?

a ? (sin(A ? B),1), b ? (1, sin B ? sin C ) ,且 a ? b 。

?

?

?

(1)求角 A ; (2)求 ?ABC面积的最大值。

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1) 若 a ? 0 ,解不等式 f ( x) ? 1 ; (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? ?1

ax ? 2 (a ? R) x?2

20.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 an ?1 ? an ?
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n

1 (n ? N ? ) 2n

21. (原创) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?满足: n an?1 ? 2an ? an?1 ? 0 , (n ? 2, n ? N ) , a

a1 ? 1 , 前 n 项 和 为 S n 的 数 列 ?bn ? 满 足 : b1 ? 1, bn ?

2an ? an an ?1 (n ? 2, n ? N ) , 又 1 ? 2an an?1

cn ?

S n ?1 (n ? 2, n ? N ) 。 bn

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)证明: 2 ? (1 ?

1 1 1 8 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (n ? 2, n ? N ) ; c2 c3 cn 3

2013 年重庆一中高 2015 级高一下期半期考试(本部)

数 学 答 案
一:选择题 二:填空题 三:解答题 1---5 CBAAC 6---10 DBDBA 1 11、 ; 12、2; 13、3; 2
?2 ? ? ? ? ?2

2013.5

14、-2;

15、 4027

16、解: (1)由条件 4 a ? 2 a ? b ? 6 a ? b ? 3 b ? 3 ,即 4 ? 4 a? b ? 3 ? 3 ,
? ? 1 ? a ? b ? ? .................................6 分 2
? ? ? ? 1 (2) 2 a ? b ? 4 a ? 4 a ? b ? b ? 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 , 2

? ?

?

?2

2

2

所以 2 a ? b ? 7 .................................13 分 17、解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为, s6 ? 42 , a5 ? a7 ? 24 , ,所以

?

?

6?5 ? ?6a1 ? d ? 42 ,解得 a1 ? 2, d ? 2 ,.................................4 分 ? 2 ? 2a1 ? 10d ? 24 ?
所以 an ? 2n , S n ? 2n ?
n?n ? 1? ? 2 ? n 2 ? n ;.................................8 分 2

(2) bn ? 2?an ? 2?2n

1? 1? ?1 ? n ? 1? 4 4 ? 1? ? 4?n ,所以 Tn ? ? ? ?1 ? n ? ..............................13 分 1 3? 4 ? 1? 4
?

18、解: (1)? a ? b ,?sin( A ? B) ?1 ? (sin B ? sin C ) ?1 ? 0 , 化简得 sin A cos B ? cos A sin B ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 , 1 即 sin B ? 2 cos A sin B ,因 sin B ? 0 ,故 cos A ? ,又 0? ? A ? 180 ? , 2 所以 A ? 60 ? .................................6 分 (2)由余弦定理得 cos 60? ?
b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,?b 2 ? c 2 ? 4 ? bc ? 2bc ? 4 ,故 2bc 2

?

bc ? 4, 当 b ? c 时取等号;面积 S ?

1 3 3 bc sin 60? ? bc ? ?4 ? 3 , 2 4 4

当 b ? c 时面积有最大值 3 。................................13 分 19、解:(1) f ( x) ? 1 ?
?2 2 ?1? ?1 x?2 x?2

? x ? 2 ? 2, x ? 2 ? ?2 ? x ? 2 ? 2, x ? 2 ,
故解得原不等式的解集为 ? 0,2? ? ? 2,4? ;.................................4 分 (2)原式 ?
ax ? 2 ax ? 2 ? x ? 2 (a ? 1) x ? 4 ?1 ? 0 ? ?0 ? ?0 x?2 x?2 x?2

? ?(a ? 1) x ? 4??x ? 2? ? 0 且 x ? 2 ,.......................6 分
当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,原不等式 ? ( x ? 解得
4 )( x ? 2) ? 0 且 x ? 2 , a ?1

4 ? x ? 2 ...............................................................7 分 a ?1 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,原不等式 ? x ? 2 ? 0 ? x ? 2 ...................... .8 分 4 )( x ? 2) ? 0 且 x ? 2 ,.......9 分 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,原不等式 ? ( x ? a ?1 4 4 ? 当 ? 1 ? a ? 1 时, 2 ? ,解出 x ? 2或x ? ; a ?1 a ?1

? 当 a ? 1 时, ? ( x ? 2)2 ? 0且x ? 2 ? x ? 2 ;..............................10 分 ? 当 a ? 1 时, 2 ?
4 4 ,解出 x ? 2或x ? ;...................... .11 分. a ?1 a ?1

? 4 ? 综上:当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 ? x ? x ? 2? ; ? a ?1 ?
当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 ?x x ? 2?;

? ? 4 当 ? 1 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 2? ; a ?1 ? ?
当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ?x x ? 2?;

? ? 4 当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 2? ;............................12 分 a ?1 ? ?

1 ? ? an ? an ?1 ? 2 n ?1 ? 1 1 1 1 ? 20.解、 (1)当 n ? 2 时, ?an ?1 ? an ? 2 ? 2 n ? 2 ? an ? a1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 ? ??? ? 1 ? a2 ? a1 ? 2 ?
1 1? n 1 1 1 2 ? 2(1 ? 1 ) , an ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? 1 2n 2 2 2 1? 2 1 当 n ? 1 时, an ? 2(1 ? ) ? 1 ,成立, 2 1 所以通项 a n ? 2(1 ? n ) (n ? N ? ) .................................5 分 2 n (2) bn ? nan ? 2 n ? n ?1 ,则 2 1 2 3 n Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n) ? ( 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) 2 2 2 2 1 2 3 n 令 An ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ..........................?, 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 则 An ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n .........................?, 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 - n ? 2? n?2 ? ? ?得 An ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 所以 An ? 4 ? n ?1 , 2 n(1 ? n) n?2 n?2 ? 4 ? n ?1 ? n 2 ? n ? 4 ? n ?1 .................................12 分 则 Sn ? 2 ? 2 2 2

21、解: (1)由条件得 an an?1 ? 2an ? an?1 ? 0 ? an?1 ? 2an ? an an?1 ,易知 an ? 0 ,两 边同除以 an an ?1 得
1 1 1 1 1 ? 2? ? 1 ? ? 1 ? 2( ? 1) ,又 ? 1 ? 2 ,故 an an ?1 an an ?1 a1

1 1 ? 1 ? 2 n ? an ? n (n ? N ? ) 。.................................4 分 2 ?1 an

(2)因为: 1 ?

b S ?b S 1 ? 1 ? n ? n?1 n ? n (n ? 2, n ? N ) ,所以 cn S n ?1 S n ?1 S n?1

(1 ?

S 1 1 1 S S S S )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? n ? S n ,........................6 分 c2 c3 cn S1 S 2 S n ?2 S n ?1 S1

8 , 3 2 1 1 ? n ? n ?1 n 2n ? 3 2n ? 1 由条件 bn ? 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? n ? n 1 1 (2 ? 1)(2n?1 ? 1) ? 2 (2 ? 1)(2n?1 ? 1) 1 ? 2 ? n ? n ?1 2 ?1 2 ?1
故只需证 2 ? S n ?

1 1 2n ? 2( n ?1 ? n ) (n ? 2, n ? N ) ? n n?1 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1)(2 ? 1)
一方面:当 n ? 2 时 S 2 ? 2 ? 当 n ? 3, n ? N 时,

8 3

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn
? 1 ? 1 ? 2( 1 1 1 1 ? 3 ) ? ? ? ? ? 2( n ?1 ? n ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 1 8 ? 2? ? n ? .................................11 分 3 2 ?1 3
2

另一方面:当 n ? 2, n ? N 时, bn ? 0 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 1 ? 1 ? 2 所以当 n ? 2, n ? N 时 2 ? (1 ?

1 1 1 8 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ..............12 分 c2 c3 cn 3

班次

姓名

顺序号

考号

— — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — — —封 — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — —

答案

题号

17.(13 分)

三.解答题.(共 75 分) 16.(13 分)

在在在在

11

二.填空题.(每题 5 分,共 25 分)

是在

数 学 答 题 卷
12 13 14 15

2013 年重庆一中高 2015 级高一下期半期考试

18.(13 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

班次

姓名

顺序号

考号

— — — — — — — — — — — — 密— — — — — — — — — 封— — — — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — —

21.(12 分)

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