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江苏省扬州市中学2015-2016高二数学期末模拟试题


江苏省扬州市中学 2015-2016 高二数学期末模拟试题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的方差: s 2 ?
2 2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? , ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

其中 x 为样本平均数.棱柱的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高;棱锥的体积

V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ”的否命题是 ▲ .
Read x If x ? 1 Then y ? 2x ?1 Else y ? x3 End If Print y
第(2)题图

2.右图给出的是一个算法的伪代码,若输入值为 2, 则y= ▲ .

3.取一根长度为 30cm 的绳子,拉直后在任意位置剪断,
那么剪得两段的长都不小于 10cm 的概率为 ▲ .

1 2

4788 01
开始
第(4)题图

4.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了 该运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该 组数据的方差为 ▲ . 5.如右图,该程序运行后输出的结果为 ▲ .

a ? 1, b ? 1 b ? 2b
6.若正四棱锥的底面边长为 2 3cm ,体积为 4cm3 , 则它的侧面积为
2



cm 2 .

a ? a ?1

7.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点恰好是双曲线 右焦点,则双曲线的渐近线方程为

x y ? ? 1的 2 a 3
▲ .

2

2

a?3
N 输出 b

Y

第(5)题图

结束

1

8.从集合 {?1,1, 2} 中随机选取一个数记为 m ,从集合 {?1, 2} 中随机选取一个数记为 n ,则

方程

x2 y 2 ? ? 1 表示双曲线的概率为 m n



.

1 ▲ . x ? cos x, x ? [0, 2? ] 的单调减区间为 2 10.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ▲ .
9.函数 y ? (填写所有正确命题的序号) ①m ? ? ,n ? ? ,m ? n ? ? ? ? ;

? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ? ? // ? ; ③ l // ? , m // ? , ? // ? ? l // m ; ④? ? ? ,? ? ? ? m , n ? m ? n ? ? .
②l ? 11.设 f ( x) ? ▲ 12.已知双曲线

ex ,其中 a 为正实数,若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 a 的取值范围为 1 ? ax 2
.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1 , F2 ,其上一点 P 满足 PF1 ? 5PF2 ,则 16 9
▲ .

点 P 到右准线的距离为

13.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 3 ,且 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则不等式

f (2 x) ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 的解集为
14.已知椭圆



.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 e .设 A,B 为椭圆上关

于原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的 圆上.设直线 AB 的斜率为 k,若 0 ? k ?

3 ,则 e 的取值范围为



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必 ........ 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)已知命题 p:|x-3|≤2,命题 q:(x-m+1)(x-m-1)≤0, (1)当 m=0 时,是否存在 x 的值,使得“p∧q”是真命题,若存在,求出满足条件的 x 的 集合,若不存在,说明理由。 (2)若?p 是?q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

2

16. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , 1 ?ADC ? 90°, BC ? AD , PA ? PD , M , N 分别为 AD 和 PC 的中点. 2 P PA // (1)求证: 平面 MNB ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 PMB .
N

D M
A B
(第 16 题图)

C

17. (本题满分 15 分)已知点 A(2,0),点 B(-2,0),点 P 是平面内一动点,直线 PA,PB 斜 3 率之积为- . 4 1 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点? ?2,0?作直线 l,与轨迹 C 交于 E,F 两点,线 段 EF 的中点为 M,求直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

18. (本题满分 15 分) 某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路 (如图所示) .在点 A 与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧 边缘种植绿化 .. 带;从点 C 到点 B 设计为沿弧 BC 的弧形小路,在路的一侧 边缘种植绿化带. (注:小路及 .. 绿化带的宽度忽略不计). C (1)设 ?BAC ? x (弧度) ,将绿化带总长度表示为 x 的函数 s ( x) ; (2)试确定 x 的值,使得绿化带总长度最大. x ? A O
(第 18 题)

B

3

19. (本题满分 16 分)已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 (2, 3 ) ,且它的离心率 a2 b2

e?

1 .直线 l : y ? kx ? t 与椭圆 C1 交于 M 、 N 两点. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)当 k ? 值;

3 时,求证: M 、 N 两点的横坐标的平方和为定 2

(3)若直线 l 与圆 C2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 相切,椭圆上一点 P 满足 OM ? ON ? ? OP ,求 实数 ? 的取值范围.

20. (本题满分 16 分)设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数; 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

(3)若对任意 b ? a

? 0,

4

参考答案
1. 若x ? 0, 则 x2 ? 0 7. y ? ? 3 x 11. 0 ? a ? 1 12. 8. 2. 8 3.

1 2

9. (

? 5?
6 , 6

1 3

4. 5

5. 4 10.②

6. 8 3

) (区间写开闭都对)

8 1 13. ( , ??) 14. [ 3 ? 1,1) 5 2 15、 【答案】解: 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. q:m-1≤x≤m+1, (1)m=0 时,q:-1≤x≤1, “p∧q”是真命题,∴ x ?{1} 。
(2)?p:x<1 或 x>5. ∴?q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵?p 是?q 的充分而不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ∴2≤m≤4. ? ?m+1≤5. 16、 【答案】证明: (1)连接 AC 交 MB 于 Q ,连接 NQ , MC .

因为 AM // BC , AM ? 点.

1 AD ? BC ,所以四边形 ABCM 是平行四边形,所以 Q 是 AC 的中 2

又 N 是 PC 的中点,所以 NQ // PA .因为 NQ ? 平面 MNB , PA ? 平面 MNB ,所以 PA // 平 面 MNB . (2)因为 PA ? PD , AM ? MD ,所以 PM ? AD . 因为 MD // BC , MD ? BC ,所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 MB // DC , 因为 ?ADC ? 90°,即 AD ? DC ,所以 AD ? MB . 因为 PM ? MB ? M , PM , MB ? 平面平面 PMB , 所以 AD ? 平面 PMB .因为 AD ? 平面 PAD ,所以平面 PAD ? 平面 PMB . 17、 【答案】解 (1)设 P 点的坐标为(x,y), y y 3 x2 y2 依题意得 · =- (x≠± 2),化简并整理得 + =1(x≠± 2). 4 4 3 x-2 x+2 x2 y2 ∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 + =1(x≠± 2). 4 3 1 ? 1 (2)依题意得,直线 l 过点? ?2,0?,且斜率不为零,故可设其方程为 x=my+2.

?x=my+2 由? x y ? 4 + 3 =1
2 2

1 ,消去 x 得 4(3m2+4)y2+12my-45=0,

5

y1+y2 3m 3m 设 E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),∴y1+y2=- 2 ,∴y0= =- , 2 3m +4 2?3m2+4? 1 2 y0 m ∴x0=my0+ = 2 ,∴k= = , 2 3m +4 x0-2 4m2+4 ①当 m=0 时,k=0, ②当 m≠0 时,k= 4 4 ,又|4m+ |=4|m|+ ≥8, 4 m |m| 4m+ m 1

1 1 1 1 1 - , ?. ∴0<|k|≤ , ∴- ≤k≤ , 且 k≠0, 综合①②, 直线 AM 的斜率 k 的取值范围是? ? 8 8? 8 8 8 18、 【答案】解: (1)如图,连接 BC ,设圆心为 O ,连接 CO . 在直角三角形 ABC 中, AB ? 100 , ?BAC ? x , 所以 AC ? 100 cos x . 由于 ?BOC ? 2?BAC ? 2 x ,所以弧 BC 的长为 50 ? 2 x ? 100 x . ????????3 分 所以 s( x) ? 2 ? 100cos x ? 100 x , 即 s( x) ? 200cos x ? 100 x , x ? (0, π ) . 2 (2)s?( x) ? 100(?2sin x ? 1) , 令 s?( x) ? 0 ,则 x ? π , 6 分 列表如下: ???????????7 分 ???????????9 分 ??????????? 11

x
s?( x) s ( x)

π (0, ) 6
+
?

π 6
0 极大值

π π ( , ) 6 2
?
?

所以,当 x ? π 时, s ( x) 取极大值,即为最大值. 6 分 答:当 x ? π 时,绿化带总长度最大. 6 分 19、 【答案】解:(1) 设椭圆的标准方程为

???????????14

???????????15

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

6

3 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 2 ? ? ?a ? 8 c 1 由已知得: ? , 解得 ? 2 ? ? ? ?b ? 6 ?a 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? ?

,所以椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 。 8 6

? 3 y? x?t ? ? 2 2 2 (2) 由 ? ,得 6 x ? 4 3tx ? 4t ? 24 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 2 2 ?x ? y ?1 ? 6 ?8
则 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?
2 2 2

4 3t 2 4t 2 ? 24 ) ? 2? ? 8 ,为定值 6 6

(3)因为直线 l:y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相切 所以,

|t ?k | 1? k 2

? 1 ? 2k ?

1? t 2 (t ? 0) t

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 24 ? 0 把 y ? kx ? t 代入 8 6
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

8kt ; 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? ; 3 ? 4k 2 x1 ? x 2 ? ?

因为, ? OP ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, P ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ( 3 ? 4 k ) ? ( 3 ? 4 k ) ? ? ?

又因为点 P 在椭圆上, 所以,

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 , (3 ? 4k 2 ) 2 ?2 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2
2 因为 t ? 0

? ?2 ?

2t 2 2 ? . 2 1 2 1 3 ? 4k ( 2 ) ? 2 ?1 t t

所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1, 2 t t

所以

0 ? ?2 ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2,0) ? (0, 2 ) 。
e ,易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) x

20、 【答案】 (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ?

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;

7

当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增;

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 , e

? f ( x) 的极小值为 2
(2)? 函数 g ( x) ? f ?( x) ? 令 g ( x) ? 0 ,得 m ? ?

x 1 m x ? ? ? ( x ? 0) , 3 x x2 3

1 3 1 x ? x( x ? 0) ,设 ? ( x) ? ? x3 ? x( x ? 0) , 3 3

???( x) ? ? x2 ? 1 ? ?( x ?1)( x ? 1) ,
当 x ? (0,1) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以 x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 ? ( x) 的最大值点,

1 2 ? ? ( x) 的最大值为 ? (1) ? ? ? 1 ? 。 3 3
又 ? (0) ? 0 ,结合 y= ? ( x) 的图像(如图) ,可知 ① 当m ? ②当 m ?

2 时,函数 g ( x) 无零点; 3

2 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点;④ m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; 3 2 2 综上所述,当 m ? 时,函数 g ( x) 无零点;当 m ? 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一个 3 3 2 零点;当 0 ? m ? 时,函数 g ( x) 有两个零点. 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立。 (3)对任意 b ? a ? 0, b?a m 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ? ? x( x ? 0) ,?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减; x 1 m 1 1 ? h?( x) ? ? 2 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立,? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立; x x 2 4 1 1 1 1 ? x) ( =0 仅在 x ? 时成立) ? m ? (对 m ? , h ,?m 的取值范围是 [ , ??) 。 4 2 4 4

8


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