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2014创新设计(苏教版)第二章 第4讲 二次函数与幂函数


第4讲 二次函数与幂函数

抓住2个考点

突破4个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 y=xα(α∈R) 形如________________的函数称为幂函数,其中x是自变 量,α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象

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(3)五种常见幂函数的性质
函数 y=x 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

{x|x∈R 且 R [0,+∞) ___ ________ x≠0} {y|y∈R 且 R R [0,+∞) ____ [0,+∞) ____ _________ y≠0} 奇 偶 奇 ________ 奇 ___ ___ ___ 非奇非偶 ____ x∈[0,+ x∈(0,+ ∞)时,增 x 增 ∞)时, x 减 增 增 ____ ____ ∈(-∞,0] ∈(-∞, 时,减 0)时,减

R ___

R ___

定点

(0,0),(1,1)

(1,1)

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综上:若α>0,y=xα在(0,+∞)上是增函数,若α<0,y
=xα在(0,+∞)上是减函数.

2.二次函数 (1)二次函数的解析式
①二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0). a(x-h)2+k(a≠0) ②二次函数的顶点式为y=_________________,其中顶点 (h,k) 为_______. a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ③二次函数的两根式为y=____________________,其中

x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根(也就是函数的零
点).根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法 可求解析式.
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(2)二次函数的图象和性质
①二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为
2 ? b 4ac-b ? ? ? b - , ? 2a x=- 4a ? ? ? 2a ______________,对称轴方程为___________.熟练通过

配方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.

②在对称轴的两侧单调性相反.
③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.

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【助学· 微博】 一个考情解读 本讲在高考中,主要考查一次函数、二次函数、幂函数的

性质及应用,尤其是“三个二次”的联系与应用.重点考查
数形结合与等价转化两种数学思想.通过三者的相互转 化,考查函数与方程思想,对于二次函数的区间最值,尤

其是含参数的区间最值问题,要充分注意问题的特殊性以
简化运算,要求选择合理的标准分类讨论.

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与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2 + bx + c > 0 , a≠0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
?a>0, ? ? 2 ?b -4ac<0; ?

(2)ax2 + bx + c < 0 , a≠0 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
?a<0, ? ? 2 ?b -4ac<0. ?

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考点自测
1.若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x =1对称,则b=________. a+2 a+b 解析 对称轴 x=- =1,又 =1,∴b=6. 2 2 答案 6 2. (2012· 南京模拟)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数, 且当 x>0
1 时,f(x)=x ,则 f(-4)的值是________. 2 1 解析 f(-4)=-f(4)=-4 =-2. 2

答案

-2
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1 3.(2011· 陕西卷改编)函数 y=x 的图象是________. 3

解析

f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数.同时,当 0<x<1

1 1 时,x >x,当 x>1 时,x <x,知只有②符合. 3 3

答案



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4.设

? ? 1 α∈?-1,1,2,3?,则使函数 ? ?

y=xα 的定义域为 R,

且为奇函数的所有 α 值为________.
解析 当 α=1,3 时,y=xα 的定义域为 R 且为奇函数,符

1 合要求;当 α=-1 时,y=x的定义域为{x|x≠0,x∈R}, 1 1 不符合要求;当 α= 时,y=x 的定义域为[0,+∞),不 2 2 符合要求.

答案

1,3

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5. (2012· 南京三模)若函数

?x2-2x,x≥0, ? f(x)=? ?-x2+ax,x<0 ?

是奇函

数,则满足 f(x)>a 的 x 的取值范围是________. 解析 由 f(x)是奇函数,得 a=-2.若 x≥0,则由 f(x)

=x2-2x>-2,得 x≥0; 若 x<0,则由 f(x)=-x2-2x>-2,得-1- 3<x<0. 综上得 x>-1- 3.
答案 (-1- 3,+∞)

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考向一

幂函数的图象和性质

【例1】 幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称, 且当x>0时,函数是减函数,则m的值为________.

解析

由m2-2m-3<0,得-1<m<3,

又m∈Z,∴m=0,1,2. ∵m2-2m-3为偶数,经验证m=1符合题意. 答案 1 [方法总结] 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围, 当α>0时,幂函数在(0,+∞)上为增函数,当α<0时,幂 函数在(0,+∞)上为减函数,然后验证函数的奇偶性.
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【训练 1】 已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图象上,点
? ?- ?

1? 2, ?在幂函数 y=g(x)的图象上,若 f(x)=g(x),则 x 2?

=________.

解析

由题意,设 y=f(x)=xα, ,则 2=( 2)α,得 α=2,
β

1 设 y=g(x)=x ,则 =(- 2)β,得 β=-2.由 f(x)=g(x), 2 即 x2=x 2,解得 x=± 1.


答案

±1

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考向二

求二次函数的解析式

【例2】 已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且
f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x) 与y=f(x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析 式. ?1+m+n=3, ?m=2, ? ? 解 依题意得? m 解得? ?n=0, ? ?- 2 =-1, ? ∴f(x)=x2+2x. 设函数 y=f(x)图象上的任意一点 A(x0, 0), y 该点关于原点 的对称点为 B(x,y),则 x0=-x,y0=-y. ∵点 A(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上, ∴y0=x2+2x0,∴-y=x2-2x, 0 ∴y=-x2+2x,即 g(x)=-x2+2x.
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[方法总结] 求二次函数解析式一般都采用待定系数法,其 关键在于根据题设合理选用二次函数解析式的形式.一般 式在任何情况下都适用,其缺点是待定的字母较多,容易 引起混乱.顶点式一般需要先知道二次函数的顶点坐标,

而两根式则需要先知道图象与x轴的交点坐标.在解题
时,遵循的原则是出现字母越少越好.

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【训练2】 (2012· 扬州模拟)已知二次函数f(x)满足f(x+1)- f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈(-1,1)时,不等式mf(x)>x恒成立,求m的取值范
围. 解 (1)由题意,可设 f(x)=ax2+bx+1,于是由 f(x+1) -f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2ax+a+b =2x,得 a=1,b=-1,所以 f(x)=x2-x+1. x (2)当 x∈(-1,1)时, mf(x)>x 得 m> 2 由 (x2-x+1>0 x -x+1 x 1 恒成立).又∵ 2 = <1,∴m≥1. 1 x -x+1 x+x-1

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考向三

二次函数的图象与性质

【例3】 (2009· 江苏)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值; (3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演 算步骤)不等式h(x)≥1的解集.



(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0,由

a2≥1知a≤-1, 因此,a的取值范围为(-∞,-1].
a?2 2a2 ? ? ?3?x- ? + ,x>a ① 2 3? 3 则有 f(x)=2x +(x-a)|x-a|=? ? ??x+a?2-2a2,x≤a ② ?
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(2)记f(x)的最小值为g(a),

(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. ?a? 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f?3?= a ,若 x>a, ? ? 3 2 2 则由①知 f(x)≥ a . 3 2 2 2 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a > a .此时 g(a)= a , 3 3 2 ?-2a ,a≥0, ? 2 综上,得 g(a)=?2a ? 3 ,a<0. ?

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? ? 6? ? 2 (3)(ⅰ)当 a∈?-∞,- ?∪? ,+∞?时, 解集为(a, +∞); 2? ?2 ? ? ?a+ 3-2a2 ? ? 2 2? ? ? (ⅱ)当 a∈?- , ?时,解集为? ,+∞?; 2 2? ? 3 ? ? ? 6 2? (ⅲ)当 a∈?- ,- ?时,解集为 2 2? ? ? ? a- 3-2a2? ?a+ 3-2a2 ? ? ? ? ∪? ,+∞?. ?a, ? 3 3 ? ? ? ?

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[方法总结] 要善于应用二次函数图象解题,特别是求二次
函数在给定区间上的最值问题,借助图象讨论较为直 观.一般情况下,应首先采用配方法,将二次函数化为y

=a(x-m)2+n(a≠0)的形式,得顶点(m,n)或对称轴方程x
=m,再根据下面三个类型:①顶点固定,区间固定;② 顶点含参数,区间固定;③顶点固定,区间变动进行求 解.

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【训练3】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调

函数.
解 (1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

x∈[-5,5],所以x=1时,f(x)取得最小值1;

x=-5时,f(x)取得最大值37.
(2)因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5或-a≥5, 故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
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考向四

有关二次函数的综合问题

【例4】 若二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且

f(0)=1. (1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数 m的取值范围. 审题视点 对于(1),由f(0)=1可得c,利用f(x+1)-f(x)= 2x恒成立,可求出a,b,进而确定f(x)的解析式.对于 (2),可利用函数思想求得.

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(1)由 f(0)=1 得,c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.

又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即
?2a=2, ? 2ax+a+b=2x,∴? ?a+b=0, ? ?a=1 ? ∴? ?b=-1. ?

因此,f(x)=x2-x+1.

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(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1- m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)

=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min= g(1)=-m-1,由-m-1>0得,m<-1.因此满足条件的 实数m的取值范围是(-∞,-1). [方法总结] 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个 二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次” 的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二 次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路

的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成
立)问题是高考命题的热点.
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【训练 4】 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=
?f?x?,x>0, ? ? ?-f?x?,x<0. ?

若 f(-1)=0,且对任意实数 x 均有

f(x)≥0 成立.

(1)求F(x)的表达式;

(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取
值范围.

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(1)由 f(-1)=0,得 a-b+1=0,即 b=a+1,

所以 f(x)=ax2+(a+1)x+1.因为 f(x)≥0 恒成立,
?a>0, ? 所以? ?Δ=?a+1?2-4a≤0, ? ?a>0, ? 所以? ??a-1?2≤0. ?

故 a=1,从而 b=2,即 f(x)=x2+2x+1, 因此
?x2+2x+1,x>0, ? F(x)=? ?-x2-2x-1,x<0. ?

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(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. 因为 g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2 k-2 所以 ≤-2 或 ≥2,解得 k≤-2 或 k≥6. 2 2 所以 k 的取值范围是 k≤-2,或 k≥6.

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规范解答1

如何求解二次函数在某个闭区间上的最值

二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴 与区间的相对位置关系确定最值,当函数解析式中含有参 数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏解.

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言,首先确定
对称轴,然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论.

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【示例】 (2012· 济南模拟)已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区 间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x). [审题路线图] 求二次函数f(x)的对称轴,分对称轴在区 间的左侧、中间、右侧讨论.
[解答示范]
? a?2 ∵f(x)=-4?x-2? -4a, ? ?

?a ? ∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1 ? ?

分)

a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 2 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去);(4 分)
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a a ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时, 2 2 f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得 a= ∈(0,2);(7 分) 4 a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, 2 ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0, 解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0].(10 分) 5 综上所述,a= 或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值- 4 5. 105 2 ∴f(x)=-4x +5x- 或 f(x)=-4x2-20x-5.(12 分) 16
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[点评] 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性 质——最值在对称轴处取得,忽视对称轴与闭区间的位置 关系,不进行分类讨论.

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高考经典题组训练
?-x,x≤0, ? f(x)=? 2 ?x ,x>0, ?

1.(2011· 浙江卷改编)设函数

若 f(t)

=4,则实数 t=________.

解析

?t≤0, ? 由? ?-t=4, ?

?t>0, ? 或? 2 ?t =4. ?

解得 t=-4 或 t=2.

答案

-4或2

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2 . (2010· 津 卷 ) 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) , f(x) = 天
?g?x?+x+4,x<g?x?, ? ? ?g?x?-x,x≥g?x?, ?

则 f(x)的值域是________.

解析

?x2+x+2,x<-1或x>2, ? f(x)=? 2 ?x -x-2,-1≤x≤2. ?

所以当 x<-1 或 时,

x>2

? 1 ?2 7 时,f(x)=?x+2? + ∈(2,+∞);当-1≤x≤2 4 ? ?

? ? 1? 2 9 ? 9 f(x)= ?x-2? - ∈ ?-4,0?.所以 4 ? ? ? ?

? 9 ? f(x)的值域是 ?-4,0? ∪ ? ?

(2,+∞).

答案

? 9 ? ?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ?
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3.(2012· 江苏卷)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值 域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m +6),则实数c的值为________. a2 1 2 2 解析 由题意得 b- =0,所以 f(x)=x +ax+ a = 4 4 ? 1 ?2 ?x+ a? .又 f(x)<c 的解集为(m,m+6),所以 m+m+6 2 ? ? ? 1 ?2 1 =-a,即 m=- a-3,所以 c=f(m)= ?-2a-3? + 2 ? ? ? 1 ? 1 2 a?-2a-3?+ a =9. ? ? 4

答案

9

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4.(2010· 广东卷)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=
kf(x+2),其中k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达 式f(x)=x(x-2).

(1)求f(-1),f(2.5)的值;
(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3, 3]上的单调性.
解 f?0.5? 3 (1)f(-1)=kf(1)=-k,f(2.5)=f(0.5+2)= k =- . 4k

(2)当 2≤x≤3 时,0≤x-2≤1, f?x-2? ?x-2??x-4? 所以 f(x)= k = ; k
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当-2≤x<0 时,0≤x+2<2, 所以 f(x)=kf(x+2)=kx(x+2); 当-3≤x<-2 时,-1≤x+2<0, 所以 f(x)=kf(x+2)=k2f(x+4)=k2(x+2)(x+4). ?k ?x+2??x+4?,-3≤x<-2, ? ?kx?x+2?,-2≤x<0, 所以 f(x)=?x?x-2?,0≤x<2, ? ??x-2??x-4?,2≤x≤3. k ?
2

由于 k 是负值,所以可画出 y=f(x)的图象, 由图可知,f(x)在[-3,-1]和[1,3]上为增函数, 在[-1,1]上为减函数.

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