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2013重庆高考数学文科试题及解析


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)
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一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一个选项是符合题目要求的.zhangwlx
1.已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B={2,3} ,则 ? U ( A ? B) ? (A) {1,3, 4} (B) {3, 4} (C) {3} (D) {4}

2.命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 (A)对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 (C)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0

(B)不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 (D)存在 x0 ? R ,都有 x0 ? 0

3.函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
(B) (2, ??) (C) (2,3) ? (3, ??) (D) (2, 4) ? (4, ??)

(A) (??, 2)

2 2 4.设 P 是圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 上的动点, Q 是直线 x ? ?3 上的动点,则 PQ 的最小值为 zhangwlx

(A)6

(B)4

(C)3

(D)2

5.执行如题(5)图所示的程序框图,则输出的 k 的值是

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 6.下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的 概率为

(A)0.2

(B)0.4

(C)0.5

(D)0.6

7.关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? (A)

5 2

(B)

7 2

(C)

15 4

(D)

15 2

8.某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为

(A) 180

(B) 200
3

(C) 220

(D) 240

9.已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? (A) ?5 (B) ?1 (C) 3 (D) 4

10.设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 600 的直线 A1 B1 和 A2 B2 ,使

A1 B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的
取值范围是 zhangwlx (A) (

2 3 , 2] 3

(B) [

2 3 , 2) 3

(C) (

2 3 , ??) 3

(D) [

2 3 , ??) 3

二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上.
11.已知复数 z ? 1 ? 2i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 12.若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? . . . . .

13.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为

??? ? ??? ? 14. OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数 k ?
2

15. 0 ? ? ? ? , 设 不等式 8 x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立, a 的取值范围为 则

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设数列 ? an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ;zhangwlx (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)(Ⅲ)小问各 2 分) 、 从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元) 的数据资料,算得

? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 , ? xi2 ? 720 .
i ?1

10

10

10

10

i ?1

i ?1

i ?1

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx ,

2 i

? nx

2

y ? ? 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a .

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 9 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)设 a ? 3 , S 为△ ABC 的面积,求 S ? 3cos B cos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如 题 ( 19 ) 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 底 面 A B C D PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 , ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3

.zhangwlx

(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积 为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本 为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元( ? 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域;zhangwlx (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx 21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上 的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交 2

参考答案

1.D.[解析] 因为 A∪B={1,2,3} ,所以? U(A∪B)={4},故选 D. 2.A.[解析] 根据定义可知命题的否定为:存在 x0∈,使得 x2<0,故选 A. 0
?x-2>0, ? 3.C.[解析] 由题可知? 所以 x>2 且 x≠3,故选 C. ? ?x-2≠1,

4.B.[解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径.因为圆的圆心为(3,-1),半径为 2,所以|PQ|的 最小值 d=3-(-3)-2=4. 5.C.[解析] 第一次循环 s=1+(1-1)2=1,k=2;第二次循环 s=1+(2-1)2=2,k=3;第三次循环 s=2 +(3-1)2=6,k=4;第四次循环 s=6+(4-1)2=15,k=5;第五次循环 s=15+(5-1)2=31,结束循环, 所以输出的 k 的值是 5,故选 C. 4 6.B.[解析] 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为 4,所以数据落在区间[22,30)内的频率为 10 =0.4,故选 B. 7.A.z[解析] 由条件知 x1,x2 为方程 x2-2ax-8a2=0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a2,由(x2-x1)2 5 =(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得 a= (负值舍去),故选 A. 2 8.D.[解析] 该几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底为 2,下底为 8,高为 4,其腰为 5 的等腰梯 1 形,所以底面面积和为 (2+8)×4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200,所以该直四棱柱 2 的表面积为 S=40+200=240,故选 D. 1 9.C.[解析] 因为 f(lg(log210))=f?lg?lg 2??=f(-lg(lg 2))=5,又因为 f(x)+f(-x)=8,所以 f(-lg(lg2))+ ? ? ?? f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C. b 3 b 10.A.[解析] 设双曲线的焦点在 x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足 < ≤ 3,所 a 3 a b 2 1 b 2 4 2 以 <?a? ≤3, <1+?a? ≤4,即有 ? ? 3 ? ? 3 3 <e≤2. 11. 5 .[解析] |z|= 12+22= 5.ha 12. 9-2 7 7 7 .[解析] 设公差为 d,则 d= = ,所以 c-a=2d= . 2 5-1 4 2 3< b 2 c 1+?a? ≤2.又双曲线的离心率为 e= = ? ? a b 2 2 1+?a? ,所以 ? ? 3 3

13.

2 .[解析] 三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共 6 种, 3

4 2 其中甲、乙相邻的排法有 4 种,所以甲、乙相邻而站的概率为 = . 6 3 → → → → → → → 14. 4 .[解析] 因为AB=OB-OA=(1,k-1),且OA⊥AB,所以OA· =0,即-3× AB 1+1× (k-1)=0,解 得 k=4. 15. [0,

?
6

] ?[

5? , ? ] .[解析] 根据二次函数的图像可得Δ =(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即 2sin2 α-cos 6

π 1 1 2 2 2 2α≤0,转化为 2sin α-(1-2sin α)≤0,即 4sin α≤1,即- ≤sin α≤ .因为 0≤α≤π,故 α∈?0, 6? ? ? 2 2 ?5π ? ∪? ,π?. ?6 ? 16.解: (Ⅰ)由题设知 ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,

1 ? 3n 1 n ? (3 ? 1). 所以 an =3 , Sn ? 1? 3 2
n ?1

(Ⅱ) b1 ? a2 ? 3 , b3 ? 1 ? 3 ? 9 ? 13 , b3 ? b1 ? 10 ? 2d ,所以公差 d ? 5 , 故 T20 ? 20 ? 3 ?

20 ?19 ? 5 ? 1010 . 2
1 n 80 1 n 20 xi ? ? 8 , y ? ? yi ? ?2 ? 10 n i ?1 n i ?1 10 ,
lxy ? ? xi yi ? nx y ? 184 ? 10 ? 8 ? 2 ? 24
i ?1 n

17.解: (Ⅰ)由题意知 n ? 10 , x ?
n



lxx ? ? xi2 ? nx ? 720 ? 10 ? 82 ? 80
2 i ?1



b?
由此得

lxy lxx

?

24 ? 0.3 , a ? y ? bx ? 2 ? 0.3 ? 8 ? ?0.4 , 80

故所求回归方程为 y ? 0.3x ? 0.4 . (Ⅱ)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加( b ? 0.3 ? 0 ,故 x 与 y 之间是正相关.) (Ⅲ)将 x ? 7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y ? 0.3 ? 7 ? 0.4 ? 1.7 (千元). 18.解: (Ⅰ)由余弦定理得 cos A ? 又因 0 ? A ? ? ,所以 A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 3 ? ?? . 2bc 2bc 2

5? . 6
1 ,又由正弦定理及 a ? 3 得, 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ?

1 1 a sin B S ? bc sin A ? ? ? a sin C ? 3sin B sin C , 2 2 sin A
因此, S ? 3cos B cos C ? 3(sin B sin C ? cos B cos C ) ? 3cos( B ? C) , 所以,当 B=C,即 B ?

??A
2

?

?
12

时, S ? 3cos B cos C 取得最大值 3.

19. 【解析】 (Ⅰ)证明:因 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直,所以 BD⊥平 面 PAC.

(Ⅱ)解:三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S? BCD ? 由 PA⊥底面 ABCD,得 VP ? BCD ?

1 1 2? BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 ? 2 ? sin ? 3. 2 2 3

1 1 ? S? BCD ? PA ? ? 3 ? 2 3 ? 2. 3 3 1 1 1 1 1 1 PA ,故 VF ? BCD ? ? S? BCD ? PA ? ? 3 ? ? 2 3 ? . 8 3 8 3 8 4 1 7 ? . 4 4
2

由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为

所以 VP ? BDF ? VP ? BCD ? VF ? BCD ? 2 ?

20.解: (Ⅰ)因为蓄水池侧面积的总成本为 100 ? 2? rh ? 200? rh 元,底面的总成本为 160? r 元,所以 蓄水池的总成本为( 200? rh ? 160? r )元.又题意据 200? rh ? 160? r ? 12000? ,
2 2

所以 h ?

1 ? (300 ? 4r 2 ) ,从而 V( r ) ? ? r 2 h ? (300r ? 4r 3 ) . 5r 5

因 r ? 0 ,又由 h ? 0 可得 r ? 5 3 ,故函数 V( r ) 的定义域为 (0,5 3) . (Ⅱ)因 V( r ) ?

?
5

(300r ? 4r 3 ) ,故 V(?r ) ?

?
5

(300 ? 12r 2 ) .令 V(?r ) ? 0 ,解得 r1 ? 5, r2 ? ?5(因 r2 ? ?5

不在定义域内,舍去). 当 r ? (0,5) 时, V(? ) ? 0 ,故 V( r ) 在 (0,5) 上为增函数;当 r ? (5,5 3) 时, V(? ) ? 0 ,故 V( r ) 在 (5,5 3) 上 r r 为减函数. 由此可知, V( r ) 在 r ? 5 处取得最大值,此时 h ? 8 .即当 r ? 5 , h ? 8 时,该蓄水池的体积最大. 21.解: (Ⅰ)由题意知点 A(?c, 2) 在椭圆上,则

( ?c ) 2 2 2 4 ? 2 ? 1 .从而 e 2 ? 2 ? 1. 2 a b b

由e ?

b2 x2 y2 2 4 2 ? 16 .故该椭圆的标准方程为 ? ? 1. 得b ? ? 8 ,从而 a 2 ? 2 1 ? e2 16 8 1 ? e2

(Ⅱ)由椭圆的对称性,可设 Q ( x0 , 0) .又设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,则
2 | QM |2 ? ( x ? x0 ) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 8(1 ?

x2 1 2 ) ? ( x ? 2 x0 )2 ? x0 ? 8 ( x ? [?4, 4]) 16 2

设 P( x1 , y1 ) , 由题意, 是椭圆上到 Q 的距离最小的点, P 因此, 上式当 x ? x1 时取最小值, 又因 x1 ? (?4, 4) , 所以上式当 x ? 2 x0 时取最小值,从而 x1 ? 2 x0 ,且 | QP | ? 8 ? x0 .
2 2

由对称性知 P?( x1 , ? y1 ) ,故 | PP? |?| 2 y1 | ,所以

S?

x2 1 1 2 2 2 | 2 y1 || x1 ? x0 |? ? 2 8(1 ? 1 ) | x0 | ? 2 (4 ? x0 ) x0 ? 2 ?( x0 ? 2) 2 ? 4 . 2 2 16

当 x0 ? ? 2 时, ?PP?Q 的面积 S 取到最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q ( ? 2, 0) ,半径 | QP |? 8 ? x0 ?
2

6 ,因此,这样的圆有两个,其标准

方程分别为 ( x ? 2) ? y ? 6 , ( x ? 2) ? y ? 6 .
2 2

2

2


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