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第十三节 导数在研究函数中的应用(二)


第十三节

导数在研究函数中的应用(二)

题号 答案

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1.f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( A.-2 B.0 C.2 D.4

)

解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)=0,可得 x=0 或 2(舍 去),当-1≤x<0 时,f′(x)>0,当 0<x≤1 时,f′(x)<0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2.故选 C. 答案:C 2 .已知函数 f(x)= ( ) 1 ,则 y = f(x)的图象大致为 x-ln (x+1)

解析:令 g(x)=x-ln (x+1),则 g′(x)=1-

1 x = , x+1 x+1

由 g′(x)>0,得 x>0,即函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 由 g′(x)<0 得-1<x<0,即函数 g(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当 x=0 时,函数 g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0, 于是对任意的 x∈ (-1,0)∪ (0,+∞),有 g(x)≥0,故排除 B、D, 因函数 g(x)在(-1, 0)上单调递减, 则函数 f(x)在(-1, 0)上递增, 故排除 C,故选 A.

答案:A 3.把长 100 cm 的铁丝分成两段,各围成一个正方形,当两正 方形面积之和最小时,两段长分别为( )

A.20,80 B.40,60 C.50,50 D.30,70 解析:设一段长为 x,则另一段长为 100-x,
?x?2 ?100-x?2 1 2 ? = [x +(100-x)2] ∴ S=?4? +? 16 ? ? ? 4 ?

1 = (2x2-200x+10 000). 16 令 S′=0,得 答案:C 4. (2013· 淄博一检)已知 a≤ 则 a 的最大值为( ) 1-x ?1 ? +ln x 对任意 x∈?2,2?恒成立, x ? ? 1 (4x-200)=0,∴ x=50. 16

A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 设 f(x)= 1-x -x+x-1 1 +ln x, 则 f′(x)= + = x x2 x

x-1 ?1 ? ?1 ? ? ,1?时, ? ,1?上单调 f′(x) < 0 , 故函数 f(x) 在 2 .当 x∈ x ?2 ? ?2 ? 递减;当 x∈ (1,2]时,f′(x)>0,故函数 f(x)在(1,2]上单 调递增,∴ f(x)min=f(1)=0,∴ a≤0,即 a 的最大值为 0. 答案:A 5.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图象如图所示,则 f(x)在[-2,1]上的最小值为( A.-1 B.0 C.2 D.3 解析:易知 f(x)为二次函数,且常数项为 0,设 f(x)=ax2+bx, )

则 f′(x)=2ax+b.由图得导函数的表达式为 f′(x)=2x+2,所以 f(x)= x2+2x.当 x=-1 时,f(x)在[-2,1]上有最小值-1.故选 A. 答案:A 1 7 6.已知函数 f(x)= x3-x2- x,则 f(-a2)与 f(-1)的大小关系 2 2 为( ) A.f(-a2)≤f(-1) B.f(-a2)<f(-1) C.f(-a2)≥f(-1) D.f(-a2)与 f(-1)的大小关系不确定 答案:A 7.(2013· 辽宁营口二模)若函数 f(x)=x3-3x+m 有三个不同的 零点,则实数 m 的取值范围是( )

A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.[-2,2] D.(-2,2) 解析:由函数 f(x)=x3-3x+m 有三个不同的零点, 则函数 f(x)有两个极值点,极小值小于 0,极大值大于 0. 由 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0, 解得 x1=1,x2=-1, 所以函数 f(x)的两个极值点为 x1=1,x2=-1. 由于 x∈ (-∞,-1)时,f′(x)>0;x∈ (-1,1)时,f′(x)<0;x∈ (1, +∞)时 f′(x)>0, 所以函数的极小值 f(1)=m-2 和极大值 f(-1)=m+2. 在(-∞,-1)时,f(x)是从-∞开始递增的,x∈ (1,+∞)时,f(x) 是递增向+∞的,所以能保证有三个零点.

?m+2>0, ? 因为函数 f(x)=x3-3x+m 有三个不同的零点, 所以? ?m-2<0, ?

解之得-2<m<2.故选 D. 答案:D 8.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是____________.
2 2 2(x -1) 解析: 首先考虑定义域(0, +∞), 由 f′(x)=2x- = ≤0 x x

及 x>0 知,0<x≤1. 答案:(0,1] 9.已知 f(x)=-x2+mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函 数 f(x)的极大值,则 m 的取值范围是__________. m m 解析:f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0,则 x= ,由题设得 ∈ [-2, 2 2 -1],故 m∈ [-4,-2]. 答案:[-4,-2] 10.(2014· 岳阳模拟)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对 应值如表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,

x f(x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2]; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数;

③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题为________(填写序号). 解析:由 y=f′(x)的图象知,y=f(x)在(-1,0)上递增,在(0,2) 上递减,在(2,4)上递增,在(4,5)上递减,故② 正确;当 x=0 与 x =4 时,y=f(x)取极大值,当 x=2 时,y=f(x)取极小值,因为 f(2) 的值不确定,故① ④ 不正确;对于③ ,t 的最大值为 5. 答案:② 11.已知函数 f(x)=xln x. (1)若对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤x2-ax+2 恒成立,求实 数 a 的取值范围; 1 2 (2)试判断函数 y=ln x- x+ 是否有零点?若有,求出零点的 e ex 个数;若无,请说明理由. 解析:(1)由 f(x)≤x2-ax+2 得 xln x≤x2-ax+2, 2 ∵ x>0,∴ a≤x-ln x+ , x 2 令 g(x)=x-ln x+ , x
2 1 2 x -x-2 (x-2)(x+1) g′(x)=1- - 2= = (x>0). x x x2 x2

当 x∈ (0,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈ (2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, ∴ g(x)min=g(2)=3-ln 2, 2 ∵ 对一切 x∈ (0,+∞),都有 a≤x-ln x+ 恒成立, x ∴ a∈ (-∞,3-ln 2].

1 2 x 2 x 2 (2)令 ln x- x+ =0,则 xln x= x- ,即 f(x)= x- . e ex e e e e
?1? 1 由题知当 x∈ (0,+∞)时,f(x)min=f?e?=- . e ? ?

1-x x 2 设 h(x)= x- (x>0),则 h′(x)= x . e e e 当 x∈ (0,1)时,h′(x)>0,h(x)单调递增; 当 x∈ (1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 1 ∴ h(x)max=h(1)=- . e 1 2 ∴ 对一切 x∈ (0,+∞),f(x)>h(x),即 ln x- x+ >0. e ex 1 2 ∴ 函数 y=ln x- x+ 没有零点. e ex 12. 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是 4 500 元/台. 当笔记本电脑的售价为 6 000 元/台时, 月销售量为 a 台. 市 场分析的结果表明,如果笔记本电脑的售价提高的百分率为 x(0<x<1), 那么月销售量减少的百分率为 x2.记售价提高的百分率为 x 时,电脑企业的月利润是 y 元. (1)写出月利润 y 与 x 的函数关系式. (2)如何确定这种笔记本电脑的售价,可使得该公司的月利润最 大? 解析:(1)依题意,售价提高后变为 6 000(1+x)元/台,月销售量 为 a(1-x2)台,则 y=a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500],即 y=1 500a(- 4x3-x2+4x+1),0<x<1. (2)由(1)知 y′=1 500a(-12x2-2x+4), 令 y′=0,得 6x2+x-2=0,

1 2 解得 x= 或 x=- (舍去). 2 3 1 当 0<x< 时,y′>0; 2 1 当 <x<1 时,y′<0. 2 1 故当 x= 时,y 取得最大值. 2 3 此时售价为 6 000× =9 000(元). 2 故笔记本电脑的售价为 9 000 元/台时,该公司的月利润最大.


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