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等差数列通项公式练习


等差数列的练习
一、选择题 1.由 a1 ? 1, d ? 3 确定的等差数列 {an } ,当 an ? 268时,序号 n 等于( A.80 B.100 C.90 ) D.88

2.已知等差数列{ an }, a6 ? 2 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ? A.44 B.33 C.22 3.若正数 a,b,c 成公差不为零的等差数列,则 ( (A) lga,lgb,lgc 成等差数列 (C) 2a , 2b , 2c 成等差数列 D.11 )

(B) lga,lgb,lgc 成等比数列 (D) 2a , 2b , 2c 成等比数列

4.设 Sn 为公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S9 ? 3a8 ,则 A.15 B.17 C.19 D.21

S15 ?( 3a5



5.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 11 , S14 ? 217 ,则 a12 ? ( A. 18 B. 20 C. 21

) D. 22 )

6.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( (A)45 (B)43 (C)42 (D)40 ) 7.在等差数列 an ? 中, a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? ( A.5 B.8 C.10 D.14

?

8.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 等于 (A) 12 (B) 18 (C) 22 (D) 44

9.在各项都为正数的等差数列 {an } 中,若 a1+a2+ +a10=30,则 a5·a6 的最大值等于 ( ) A.3 B.6 C.9 D.36 )

(n ? 2) , 10. 已知等差数列 ?a n ?满足 a2 ? 3 , 则 n 的值为 ( an?1 ? 17 , S n ? 100,
A. 10 二、填空题 B. 9 C. 8 D. 11 .

11.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? 12.下列命题中,真命题的序号是 ① ?ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B .

②数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 1 ,则数列 ?an ?是等差数列. ③锐角三角形的三边长分别为 3,4, a ,则 a 的取值范围是 7 ? a ? 5 . ④等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0, S2m?1 ? 38 ,则 m=10.
2

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13 . 已 知 等 差 数 列 {an } 中 , a4 ? a6 ? 10 , 若 前 5 项 的 和 S5 ? 5 , 则 其 公 差 为 . 14.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1=2,a3+a5=22,那么 S3 等于 . 15.若等差数列 ?an ? 中,满足 a4 ? a6 ? a2010 ? a2012 ? 8 ,则 S2015 =_________. 三、解答题 16. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? , Sn 为其前 n 项和, a5 ? 10, S7 ? 56. 求数列 ?an ? 的通项公式;

17 . ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a2 ? 2 , Sn 为 其 前

n 项和,且

Sn ?

an (n ? 1) (n ? 1, 2 , 3, . ) 2
(2)求证: an ?

(1)求 a1 的值;

n an ?1 (n ? 2) ; n ?1

(3)判断数列 {an } 是否为等差数列,并说明理由.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:根据题意可知, an = 3n - 2 ,令 3n - 2 = 268 ,解得 n = 90 ,故选 C. 考点:等差数列. 2.C 【解析】 试题分析:由等差数列的前 n 项和公式,得 S11 ?

11?a1 ? a11 ? 11 ? 2a6 ? ? 22 ,故答案为 C. 2 2

考点:1、等差数列的前 n 项和公式;2、等差数列的性质. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 正 数 a , b , c 成 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 得 到 b-a=c-b=d , 只 要 判 断

2b ? 2a ? 2c ? 2b 即可. 因为正数 a, b, c 成公差不为零的等差数列, 设公差为 d, 则 b-a=c-b=d,
2c ? 2b ? 2c?b ? 2d , ? 2b?a ? 2c?b, ? 2a, 2b, 2c 成等比数列. 则 2b ? 2a ? 2b?a ? 2d , 故选 D.
考点:等差关系的确定. 4.A 【解析】 试题分析: 由等差数列的性质知 S9 ? 9a5 ,S15 ? 15a8 , 所以 选 A. 考点:等差数列的性质,等差数列的前 n 项和. 5.B 【解析】 试题分析: S14 ?

S15 15a8 a ? ? 45 ? 8 ? 15 , 3a5 3 ? S9 S9 9

14(a1 ? a14 ) ? 217,? a1 ? a14 ? 31, a3 ? a12 ? a1 ? a14 ? 31, a12 ? 20, 选 B . 2

考点:1.等差数列的求和公式;2.等差数列的性质. 6.C 【解析】 试题分析:

a2 ? a3 ? 13,?a1 ? d ? a1 ? 2d ? 13, a1 ? 2?d ? 3 ,

a4 ? a5 ? a6 ? 3a1 ? 12d ? 3? 2 ? 12 ? 3 ? 42
考点:本题考查等差数列通项公式 点评:将已知条件用基本量表示出来,解方程求出公差, a4 ? a5 ? a6 转化为基本量 7.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 a3 ? a5 ? 7 ? 10,? 2a4 ? 10 ,a4 ? 5 , 又 因 为 a1 ? 2,? d ? 1 , 所 以

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a7 ? a1 ? 6d ? 2 ? 6 ? 8 ,故答案 D.
考点:等差数列通项公式. 8.C 【解析】由等差数列的性质,得 a1 ? a11 ? a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 ? 考点:等差数列. 9.C 【解析】 试 题

11(a1 ? a11 ) 11? 2 ? 22 . 2















a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a10 ?

10 ? ?a1 ? a10 ? ? 5?a1 ? a10 ? ? 5?a5 ? a6 ? ? 30 2
2

? a ? a6 ? 所以 a5 ? a6 ? 6 ,又因为等差数列 {an } 各项都为正数,所以 a5 a 6 ? ? 5 ? ? 9, ? 2 ?
当且仅当 a5 ? a6 ? 3 时等号成立,所以 a5·a6 的最大值等于 9,故选 C. 考点:1、等差数列;2、基本不等式. 10.A. 【解析】 试题分析: ∵等差数列 {an } , ∴ Sn ?

(a1 ? an ) ? n (a2 ? an ?1 ) ? n ? ? 100 ? 10 n ? n ? 10 . 2 2

考点:1.等差数列的前 n 项和;2.等差数列的性质. 11.13 【解析】

试 题 分 析 : 由

S5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 5a3 a ? 5 , 所 以 d ? a3 ? a2 ? 2 , 2 得 3

a7 ? a2 ? (7 ? 2)d ? 3 ? 5 ? 2 ? 13.
考点:等差数列性质 12.①③④. 【解析】 试题分析:① ?ABC 中, A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ; ②若数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 1 ,则 a1 ? 0, a2 ? S2 ? S1 ? 1, a3 ? S3 ? S2 ? 3 ,所 以数列 ?an ?不是等差数列. ③锐角三角形的三边长分别为 3, 4,a , 则?

?a ? 3 ?a ? 9 ? 16
2

或?
2

?a ? 3
2 ?16 ? 9 ? a

, 解得 7 ? a ? 5 .

④等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn , am?1 ? am?1 ? 2am ? am ,? am ? 2 或 am ? 0 ,
答案第 2 页,总 5 页

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,解得 m ? 10 ;故选①③④. ? S2m?1 ? 2(2m ?1) ? 38 或 S 2 m?1 ? 0 (舍) 考点:命题真假的判定. 13.2 【解析】

试题分析:

a4 ? a6 ? 10 ? 2a5 ? 10 ? a5 ? 5 ,

S5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 5a3 ? 5 ? a3 ? 1, 2 公差为

a5 ? a3 5 ? 1 ? ? 2. 2 2
考点:等差数列性质 14.15 【 解 析 】 设 公 差 为 d , 则 a3 ? a5 ? 2a1 ? 6d ? 4 ? 6d ? 22 , 即 d ? 3 ; 则

S3 ? 2 ? 5 ? 8 ? 15 .
考点:等差数列. 15.4030 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 等 差 数 列 的 性 质 ,

a4 ? a2012 ? a6 +a2010 =a1 ? a2015 ,
a1 ? a
? 4
2

a4 ? a6 ? a2010 ? a2012 ? 8





, 0

1

S 2015 ?

2015 2015 (a1 ? a2015 ) ? ? 4 ? 4030 ; 2 2

考点:等差数列的性质; 16. (1) an ? 2n ; (2) n ? n ?
2

3n ?1 ? 3 . 2

【解析】 试题分析: (1)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在 于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用; (2) 等比数列基本量的求解是等比数列的一 类基本问题, 解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用, 尤其需 要注意的是,在使用等比数列的前 n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体 代换的思想简化运算过程; (3)解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质,不要把 两者的性质搞混了. 试题解析:解: (1)由 S7 ? 7a4 ? 56 ? a4 ? 8. 公差 d ? a5 ? a4 ? 2,

a1 ? a5 ? 4d ? 2, an ? 2n;
(2) bn ? 2n ? 3n , Tn ? (2 ? 31 ) ? (4 ? 32 ) ? (6 ? 33 ) ?

? (2n ? 3n )

答案第 3 页,总 5 页

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Tn ? (2 ? 4 ?

? 2n) ? (3 ? 32 ?

? 3n ) ?

n(2 ? 2n) 3 ? (1 ? 3n ) ? 2 1? 3

? n2 ? n ?

3n ?1 ? 3 . 2

考点:1、等差数列的通项公式;2、分组求和. 17. (1) a1 ? 1 ;(2)详见解析;(3)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据 n ? 2 时 S2 ? a1 ? a2 可求得 a1 .(2)根据 n ≥ 2 时 an ? Sn ? Sn?1 即可 证得 an ?

n an ?1 (n ? 2) .(3)由(2)可求得 ?an ? 的通项公式,根据通项公式可证得 ?an ? n ?1

是否为等差数列. 试题解析: (1)解:由题意知: S 2 ? 所以 a2 ? 2a1 . 因为 a2 ? 2 , 所以 a1 ? 1 . 3分

3a2 3a ,即 a1 ? a2 ? 2 . 2 2
2分

an (n ? 1) (n ? 1, 2,3, ) , 2 a ( n ? 1 ? 1) 所以 S n ?1 ? n ?1 ( n ≥ 2 ). 2
(2)证明: 因为 S n ? 因为 an ? Sn ? Sn?1 ,

4分 6分

(n ? 1) an ? nan ?1 ,即 (n ? 1)an ? nan?1 . 2 因为 n ≥ 2 , n an ?1 . 所以 an ? n ?1
所以 an ? (3)数列 {an } 是等差数列.理由如下: 由(2)得: 所以

8分 9分

an an ?1 ? (n ? 2,3, 4, ) . n n ?1
11 分

an ? a1 ? 1(n ? 2) ,即 an ? n(n ? 2) . n

由(1)知: a1 ? 1 ,所以 an ? n(n ? 1) . 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列. 13 分

答案第 4 页,总 5 页

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考点:1 数列中 an 与 Sn 间的关系式;2 等差数列的定义. 18. 【解析】 试题分析: (1) 利用的等差数列和等比数列的通项公式即可得出; (2) 等比数列的判定方法: 定义法:若

an ?1 2 则 ?an ? 是等比数列; 中项公式法: 若数列 ?an ? 中,an?1 ? an ? an?2 , 则 ?an ? ? q 是常数, an
是等比数列; 通项公式法: 若数列通项公式可写成 an ? c ? q n?1 c, q为不等于 0的常数 ;熟记等比数列前 , n 项和公式, 注意利用性质把数列转化,利用等比数列前 n 项和; 试题解析: (1)设数列{an}的公比为 q>0, 由条件,q3,3q2,q4 成等差数列,∴6q2=q3+q4 解得 q=-3,或 q=2, ∵q>0,∴取 q=2. ∴数列{an}的通项公式为 an=1×2n?1=2n?1.所以, (2)记 bn ? an ?1 ? ?an ,则 bn ? 2n ? ? ? 2n ?1 若

?

?

an ? 2n?1 (n ? N *)

6分

? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件;
bn

b 若 ? ? 2 , 则 n ?1 ? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2,
此时 S n ?

2?? (1 ? 2 n ) ? (2 ? ? )( 2 n ? 1) 1? 2

又, S6=63,所以 2 ? ? ? 1? ? ? 1

考点:等差数列和等比数列的通项公式及其定义和其前 n 项和公式

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