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新课标2012-2013学年高二下学期期末考试 数学(理)试题


2012-2013 学年度下学期期末考试

高二数学(理)试题【新课标】
时量:110 分钟 满分:150 分 一、选择题(本题 8 个小题,共 40 分) 1.“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”是“ x ? 1 ” 的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 )条件. D.既不充分也不必要 ( ).

2.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 是 A. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1
3 2

B. ?x ? R,sin x ? 1 D. ?x ? R,sin x ? 1 ) 。 C. 1 D. 7 )A. 6 和-10 B. –

3.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,则 f '( ?1) ? ( A. ?7 4. 已知向量 a 6 和 10 B. ?1

? (2,?3,5) 与 b ? (4, x, y ) 平行,则 x,y 的值为 (
D. 6 和 10
2

C. –6 和-10

5.已知曲线 C 的方程为 x ? x ? y ? 1 ? 0 ,则下列各点中在曲线 C 上的点是( A.(0,1) B.(-1,3) C.(1,1) D.(-1,2)



6、已知 P 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 , F2 是椭圆的焦点 ,则 | PF1 | ? | PF2 |? ( ) 3
B.3 C. 3 D. 2 3

A.6

7、双曲线 A. y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 ( 4 9
B. y ? ?



3 x 2

2 9 4 x C. y ? ? x D. y ? ? x 3 4 9

8. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB. 则 y1y2 等于( ) A – 4p2 B 4p2 C – 2p2 二、填空题: (本题共有 7 小题,共 35 分) 9.已知 a ? (?3, 2,5), b ? (1,5, ?1), 则 2a ? b ? 10.函数 y ? xInx 在 x ? 1 处的切线方程为 D 2p2 . .

?

?

? ?

? ? ? ? 1 11.异面直线 m 与 n 上的单位向量分别为 a , b , 且 a ? b ? , 2 则两异面直线 m 与 n 所成角的大小为________.

12 .抛物线的标准方程为 y ? 4 x ,则它的准线方程为
2



13.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,离心率为 2 的双曲线方程为 25 9



14.已知点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离的比为 为 。

1 ,则点 M 的轨迹方程 2

x2 y 2 ? ? 1 的 弦 PQ 被 点 M (4, 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 15 . 如 果 椭 圆 36 9
是 . 三 解答题: (本题 6 小题,共 75 分) 16.已知 c ? 0 ,设命题 p :不等式 x 2 ? 2cx ? c ? 0 对一切x ? R恒成立 (12 分) 命题 q : 方程 x 2 ? 2 x ? 2c ? 0 没有实根, 如果命题 p 为真命题, q 为假命题, c 的 且 求 取值范围. 17、 (12 分)已知空间三点 A ? 0, 2,3? , B ? ?2,1, 6 ? , C ?1, ?1,5 ? . (1)求 cos AB, AC

??? ???? ?

(2)求以 AB,AC 为边的平行四边形的面积。

18. (12 分)如图,边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的 交点 为 M, AC ? BC ,且 AC=BC. (1)求证: AM ? 平面 EBC;.c.o (2 求二面角 A ? EB ? C 的大小.
E D

M

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 处都取得极值。 3 A
B

C

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间[-2,2]的最大值与最小值。

20、 (13 分)图中是抛物线形 拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米. (1)试如图所示建立坐标系,求这条抛物线的方程; (2)当水下降 1 米后,水面宽多少? 21、 (14 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,焦点是(0, 2 )(0, ? 2 ) , ,又点 A (1, 2)

在椭圆 M 上. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 l 的斜率为 2 ,若直线 l 与椭圆 M 交于 B 、 C 两点,求 ?ABC 面积的最大值.

参考答案
一、 选择题: 1 题号 答案 B

2 C

3 B

4 B

5 A

6 D

7 A

8 A

二.填空题: 9.(-7,-1,11) 10. x ? y ? 1 ? 0 11. 60? 12. x ? ?1

13.

x2 y2 ? ?1 4 12

14.

? x ? 1?

2

? y 2 ? 4 即 x2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0

15. x ? 2 y ? 8 ? 0 三.解答题:

18.解: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,

? EA ? AC , AM ? EC ,
∵平面 ACDE ? 平面 ABC , ? EA ? 平面 ABC , ∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴, 分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 设 EA ? AC ? BC ? 2 ,则

A(0,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), E (0,0,2) ,

? M 是正方形 ACDE 的对角线的交点,

? M (0,1,1) .
z (1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2) , CB ? E2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) , ( D

? AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,
? AM ? EC , AM ? CB
? AM ? 平面 EBC .
A x

M y C B

(2) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n ? AE ? 0 且 n ? AB ? 0 .
?(0,0,2) ? ( x, y, z ) ? 0, ?? ?(2,2,0) ? ( x, y, z ) ? 0.
即?

? z ? 0, ? x ? y ? 0.

取 y ? ?1 ,则 x ? 1 , 则 n ? (1,?1,0) . 又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,

? cos n, AM ?

1 ?? , 2 n ? AM
? 1 , 2

n ? AM

设二面角 A ? EB ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos n, AM ∴二面角 A ? EB ? C 等于 60? . (1) , (2)均可用几何法 19.解: (1)f(x)=x3+ax2+bx,f?(x)=3x2+2ax+b

???1 分 ???3 分

2 12 4 由 f?( - )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 3 9 3 1 得 a= - ,b=-2 2 1 经检验,a= - ,b=-2 符合题意 2

???????5 分

所以,所求的函数解析式为f ( x) ? x 3 ?

1 2 x ? 2x 2

??6 分

(2)由(1)得 f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) , 列表如下: x f?(x) (-2, - +

???7 分

2 2 ) - 3 3
0

(-

2 , 1) 3

1 0

(1,2) +



极大 f(x) ? 值 ?

极小 值 ? ????9 分

2 22 3 ????11 分 且f (?2) ? ?6, f (? ) ? , f (1) ? ? , f (0) ? 0 3 27 2 2 22 所以当x ? ?? 2,2?时,f ( x) max ? f (? ) ? , f ( x) min ? f (?2) ? 6 ???12 分 3 27
20.解(1) x 2 ? ?2 y (2) 此时水面宽为 2 6 米.

y2 x2 21.解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为 (0, ? 2) ,故设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1. a a ?2
将点 A(1, 2) 代入方程得

2 1 ? 2 ? 1 ,整理得 a 4 ? 5a 2 ? 4 ? 0 , 2 a a ?2

解得 a 2 ? 4 或 a 2 ? 1 (舍).故所求椭圆方程为 (Ⅱ)设直线 BC 的方 程为 y ?
2

y 2 x2 ? ? 1. 4 2

2 x ? m ,设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ),
2

代入椭圆方程并化简得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 , 由 ? ? 8m ? 16(m ? 4) ? 8(8 ? m ) ? 0 ,可得 m 2 ? 8 ①.
2 2 2

由 x1 ? x 2 ? ?

2 m2 ? 4 , m, x1 x 2 ? 2 4

故 BC ?

3 x1 ? x2 ?

3 ? 16 ? 2m 2 . 2
m 3
,

又点 A 到 BC 的距离为 d ?

故 S ?ABC

1 ? BC ? d ? 2

m 2 (16 ? 2m 2 ) 1 2m 2 ? (16 ? 2m 2 ) ? ? ? 2, 4 2 4 2

当且仅当 2m 2 ? 16 ? 2m 2 ,即 m ? ?2 时取等号(满足①式)(基本不等式) 所以 ?ABC 面积的最大值为 2 .


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