3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

第2章 平面解析几何初步


第2章

平面解析几何初步

2.1 直线与方程
如图 2—1—2(1) ,已知两点 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,如果 x1 ? x 2 ,那么直线 P Q 的斜率 (slope)为
k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 ) .

例 1

如 图 2—1—3 , 直 线 l1 , l 2, l 3都 经 过 点 P ( 3 , 2 )又 l1 , l 2 , l 3 分 别 经 过 点 ,

Q 1 ( ? 2, ? 1), Q 2 ( 4, ? 2 ), Q 3 ( ? 3, 2 ) ,试计算直线 l1 , l 2 , l 3 的斜率.

例 2 经过点(3,2)画直线,使直线的斜率分别为: (1)
3 4



(2) ?

4 5

.

在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时 针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角 (inclination), 并规定: 与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 0 ? 由定义可知,直线的倾斜角 ? 的取值范围是
0? ? ? ? 180? .
1

当直线的斜率为正时,直线的倾斜角为锐角(图 2—1—5(1),此时, )
k ? ?y ?x ? BN AN ? ta n ? .

当直线的斜率为负时,直线的倾斜角为钝角(图 2—1—5(2),此时, )
k ? ?y ?x ? BN ? AN ? ? ta n ? ? ? ta n (1 8 0 ? ? ? ).

练习 1.分别求经过下列两点的直线的斜率: (1) (2,3)(4,5) , ; (3) (―3,―1)(2,―1) , ; (2) (-2,3)(2,1) , ; (3) (―1,3)( 3 ,― 3 ) ,

2.根据下列条件,分析画出经过点 P ,且斜率为 k 的直线: (1) P (1, 2 ), k ? 3 ; (3) P ( ? 1, 3), k ? 0 ; (2) P ( 2 , 4 ), k ? ?
3 4



(3) P ( ? 2, 0 ), 斜率不存在.

3.设过点 A 的直线的斜率为 k , 试分别根据上列条件写出直线上另一点 B 的坐标 (答案 不惟一) : (1) k ? 4, A (1, 2 ); (3) k ? ?
3 2 , A ( 2 , ? 4 );

(2) k ? ? 2, A ( ? 2, ? 3); (4) k ?
4 3 , A ( ? 3, 2 ).

4.分别判断下列三点是否在同一直线上: (1) (0,2) (2,5)(3,7) , ; (2) (―1,4)(2,1)(―2,5). , ,

若直线 l 经过点 A ( ? 1, 3) ,斜率为 ? 2 ,点 P 在直线 l 上运动,那么点 P 的坐标 ( x , y ) 满 足什么条件(图 2—1—6)?
2

一般地,设直线 l 经过点 P1 ( x1 , y 1 ) ,斜率为 k ,直线 l 上任意一点 P 的坐标是 ( x , y ) . 当点 P ( x , y ) (不同于点 P1 )在直线 l 上运动时, P P1 的斜率恒等于 k ,即
y ? y1 x ? x1 ? k,



y ? y 1 ? k ( x ? x1 ) .

可以验证:直线 l 上的每个点(包括点 P1 )的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个 方程的解为坐标的点都在直线 l 上.这个方程就是过点 P1 ,斜率为 k 的直线 l 的方程. 方程 叫做直线的点斜式方程. 当直线 l 与 x 轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示.但因为 l 上每一点的横 坐标都等于 x1 ,所以它的方程是
x ? x1 y ? y 1 ? k ( x ? x1 )

例 1 已知一直线经过点 P ( ? 2, 3) ,斜率为 2,求这条直线的方程.

例 2 已知直线 l 的斜率为 k ,与 y 轴的交点是 P (0 , b ) ,求直线 l 的方程.

练习 1.根据下列条件,分别写出直线的方程: (1)经过点 ( 4, ? 2 ) ,斜率为 3;

3

(2)经过点 (3,1) ,斜率为

1 2



(3)斜率为 ? 2 ,在 y 轴上的截距为 ? 2 ;
3 2

(4)斜率为

,与 x 轴交点的横坐标为 ? 7 . ).

2.直线 y ? k ( x ? 1)( k ? 0 ) 的图象可能是(

3.若一直线经过点 P (1, 2 ) ,且斜率与直线 y ? ? 2 x ? 3 的斜率相等,则该直线的方程 是 . 4.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗?斜截式方程可以改写成点斜式方程吗?

思考 (1)方程
y ? y1 x ? x1 y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? y1 x 2 ? x1

的左、右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图表?

(2)方程

?

和方程

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

表示同一图形吗?

例 1 已知直线 l 经过两点 A ( a , 0 ), B (0, b ) , 其中 a b ? 0 , 求直线 l 的方程 (图 2—1—8) .

例 2 已知三角形的顶点是 A ( ? 5, 0 ), B (3, ? 3), C (0, 2 ) (图 2—1—9) ,试求这个三角形 三边所在直线的方程.
4

练习 1.分别写出经过下列两点的直线的方程: (1) (1,3)(-1,2) , ; 2.已知两点 A (3, 2 ), B (8,1 2 ) . (1)求出直线 A B 的方程; (2)若点 C ( ? 2 , a ) 在直线 A B 上,求实数 a 的值. 3.求过点 M (3, ? 4 ) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 4.回答下列问题: (1)任一条直线都有 x 轴上的截距和 y 轴上的截距吗? (2)如果两条直线有相同的斜率,但在 x 轴上的截距不同,那么它们在 y 轴上的截距 可能相同吗? (3)如果两条直线在 y 轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在 x 轴上的截距可 能相同吗? (4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗? (2) (0,3)(-2,0). ,

思考 平面内任意一条直线是否都可以用形如 A x ? B y ? C ? 0 ( A , B 不全为 0)的方程来表 示?

例 1 求直线
l : 3 x ? 5 y ? 15 ? 0

的斜率以及它在 x 轴、 y 轴上的截距,并作图.

例 2 设直线 l 的方程为
x ? my ? 2m ? 6 ? 0 ,

根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距是 ? 3 ; (2)直线 l 的斜率是 1.
5

练习 1.如果直线 3 x ? 2 y ? 6 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,那么有( A. k ? ? C. k ? ?
3 2 ,b ? 3

).

B. k ? ? D. k ? ?
2 3

2 3

, b ? ?3

3 2

, b ? ?3

,b ? 2

2.直线 5 x ? 2 y ? 1 0 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b ,则( A. a ? 2, b ? 5 C. a ? ? 2 , b ? 5 B. a ? 2, b ? ? 5 D. a ? ? 2 , b ? ? 5

).

3.设直线 l 的方程为 A x ? B y ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0) ,根据下列条件,求出 A , B , C 应满足的条件: (1)直线 l 过原点; (3)直线 l 垂直于 y 轴; (2)直线 l 垂直于 x 轴; (3)直线 l 与两条坐标轴都相交.

4.写出下列图中各条直线的方程,并化为一般式:

习题 2.1(1) 1.根据下列条件,分别写出直线的方程: (1)过点 (3, ? 2 ) ,斜率为
3 3



(2)过点 ( ? 3, 0 ) ,且与 x 轴垂直; (3)斜率为 ? 4 ,且在 y 轴上的截距为 7;
6

(4)经过点 ( ? 1, 8), ( 4, ? 2 ) . 2.写出过点 P (3,1) ,且分别满足下列条件的直线 l 的方程; (1)直线 l 垂直于 x 轴; (2)直线 l 垂直于 y 轴; (3)直线 l 过原点. 3.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积: (1) 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ; (2) 5 x ? 3 y ? 2 ? 0 . 4.一根弹簧挂 4kg 的物体时,长 20cm.在弹性限度内,所挂物体的质量每增加 1kg,弹 簧伸长 1.5cm.试写出弹簧的长度 l (cm)和所挂物体质量 m (kg)之间的关系. 5.一根铁棒在 40℃时长 12.506m,在 80℃时长 12.512m.已知长度 l (m)和温度 t (℃) 之间的关系可以用直线方程来表示,试求出这个方程,并根据这个方程求出这根铁棒在 100℃时的长度. 6.已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6,以菱形的中心为坐标原点,较长对角线所在 的直线为 x 轴,建立直角坐标系,求出菱形各边所在直线的方程. 7.直线 l 经过点 (3, ? 1) ,且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线 l 的方程. 8.设直线 l 的方程为 2 x ? ( k ? 3) y ? 2 k ? 6 ? 0 ( k ? 3) ,根据下列条件分别确定 k 的值; (1)直线 l 的斜率为-1; (2)直线 l 在 x 轴、 y 轴上截距之和等于 0. 9.设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2 ) ,当 k 取任意实数时,这样的直线具有什么共同的 特点? 10. 已 知 两 条 直 线 a 1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a 2 x ? b 2 y ? 1 ? 0 都 过 点 A (1, 2 ) , 求 过 两 点
P1 ( a 1 , b1 ), P2 ( a 2 , b 2 ) 的直线的方程.

11.“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度, 这个词与直线的斜率 有何关系?坡度为 4%的道路很陡吗?调查一些山路或桥面的坡 度,并与同学交流.

7

例 1 求证:顺次连结 A ( 2 , ? 3), B ? 5, ?
?

?

7? ? , C ( 2 , 3), D ( ? 4 , 4 ) 四点所得的四边形是梯形 2?

(图 2—1—12).

例 2 求过点 A ( 2 , ? 3) ,且与直线
2x ? y ? 5 ? 0

平行的直线的方程.

思考 如果两条直线 l1 , l 2 中的一条斜率不存在, 那么这两条直线什么时候互相垂直?逆命题成 立吗? 例 3 (1)已知四点 A (5, 3), B (1 0, 6 ), C (3, ? 4 ), D ( ? 6,1 1) ,求证: A B ? C D ; (2)已知直线 l1 的斜率 k 1 ?
3 4

,直线 l 2 经过点,且 l1 ? l 2 ,求实数 a 的值.

例4

如图 2—1—14,已知三角形的顶点为 A ( 2, 4 ), B (1, ? 2 ), C ( ? 2, 3) ,求 B C 边长的

高 A D 所在直线的方程.

例 5 在路边安装路灯,路宽 23m,灯杆长 2.5m,且与灯柱成 120°角.路灯采用锥形
8

灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时,灯罩轴线正好通 过道路路面的中线?(精确到 0.01m) 习题 1.分别判断下列直线 A B 与 C D 是否平行: (1) A (3, ? 1), B ( ? 1,1) ; (2) A ( 2 , ? 4 ), B ( ? 3 , ? 4 ) ;
C ( ? 3, 5), D (5,1) ;

C (0,1), D ( 4,1).
1 7 , ) ,求证:四边形 A B C D 是梯形. 3 2

2.已知 A ( ? 4 , ? 2 ), B (1, ? 1), C (5, 5 ), D ( ?

3.以 A ( ? 1,1), B ( 2, ? 1), C (1, 4 ) 为顶点的三角形是( A.锐有三角形 B.直角三角形

). C.钝角三角形

4.求过点 A ( 2 , 3) ,且分别适合下列条件的直线的方程: (1)平行于直线 2 x ? 5 y ? 3 ? 0 ; (2)垂直于直线 x ? y ? 2 ? 0 .

例 1 分别判断下列直线 l1 与 l 2 是否相交,若相交,求出它们的交点: (1) l1 : 2 x ? y ? 7 , (2) l1 : 2 x ? 6 y ? 4 ? 0, (3) l1 : 4 x ? 2 y ? 4 ? 0,
l 2 : 3 x ? 2 y ? 7 ? 0; l 2 : 4 x ? 1 2 y ? 8 ? 0;

l2 : y ? ? 2 x ? 3 .

例 2 直线 l 经过原点,且经过另两条直线
2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0

的交点,求直线 l 的方程.

例 3 某商品的市场需求量 y1(万件) 市场供应量 y 2(万 、 件)与市场价格 x (元/件)分别近似地满足下列关系:
y1 ? ? x ? 7 0, y 2 ? 2 x ? 2 0 .

当 y 1 ? y 2 时的市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称
9

为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量; (2)若要使平衡需求量增加 4 万件,政府对每件商品应给予多少元补贴?

思考 已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l 2 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,那么方程 x ? y ? 1 ? ? ( x ? 2 y ? 4 ) ? 0 ( ? 为任意实数)表示的直线有什么特点? 习题 1.与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 相交的直线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 6 ? 0 C. y ? 2 x ? 5 B. y ? 2 x D. y ? ? 2 x ? 3
1 2 ? 0 相交于一点,则 k 的值

).

2.若三角直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? k y ? k ? 等于( A.-2 ) B. ?
1 2

C.2

D.

1 2

3. 已 知 直 线 l 经 过 两 条 直 线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 与 直 线
3 x ? y ? 1 ? 0 平行,求直线 l 的方程.

4.在例 3 中,求当每件商品征税 3 元时新的平衡价格.

习题 2.1(2) 1.分别求满足下列条件的直线的方程: (1)经过点 A (3, 2 ) ,且与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行; (2)经过点 B (3, 0 ) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直; (3)经过点 C ( 2 , ? 3) ,且平行于过两点 M (1, 2 ) 和 M ( ? 1, ? 5) 的直线. 2.三角形三个项点是 A ( 4, 0 ), B (6, 7 ), C (0, 3) ,求 A B 边上高所在直线的方程. 3.根据下列条件,求直线的方程:

10

(1)斜率为-2,且过两条直线 3 x ? y ? 4 ? 0 和 x ? y ? 4 ? 0 的交点; (2)过两条直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? 2 y ? 9 ? 0 的交点和原点; ( 3 ) 过 两 条 直 线 2 x ? 2 y ? 10 ? 0 和 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 垂 直 于 直 线
3x ? 2 y ? 4 ? 0 ;

(4) 过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点, 且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 . 4.三条直线 a x ? 2 y ? 8 ? 0 , 4 x ? 3 y ? 1 0 和 2 x ? y ? 1 0 相交于一点,求 a 的值. 5.已知 A ( ? 1, 3), B (3, ? 2 ), C (6, ? 1), D ( 2, 4 ) ,求证:四边形 A B C D 为平行四边形. 6.已知两条直线 a x ? 2 a y ? 1 ? 0 和 ( a ? 1) x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 互相垂直,求垂足的坐标. 7.已知两条直线 l1 : (3 ? m ) x ? 4 y ? 5 ? 3 m , l 2 : 2 x ? (5 ? m ) y ? 8 , m 为何值时,l1 与 当
l2 : (1)相交?(2)平行?(3)垂直?

8.已知三条直线 x ? y ? 1 ? 0, 2 x ? y ? 8 ? 0 和 a x ? 3 y ? 5 ? 0 共有三个不同的交点, 求 实数 a 满足的条件. 9.试证明:如果两条直线斜率的乘积等于-1,那么它们互相垂直. 10.(1)已知直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ,且直线 l1 // l ,求证:直线 l1 的方程总可以写出
A x ? B y ? C 1 ? 0 (C 1 ? C ) ;

(2)已知直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ,且直线 l 2 ? l ,求证:直线 l 2 的方程总可以写成
Bx ? Ay ? C2 ? 0 .

11.直线 l1 和 l 2 的方程分别是 A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 和 A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,其中 A1 , B 1 不全 为 0, A 2 , B 2 也不全为 0.试探求: (1)当 l1 // l 2 时,直线方程中的系数应满足什么关系? (2)当 l1 ? l 2 时,直线方程中的系数应满足什么关系? 例 1 (1)求 A ( ? 1, 3), B ( 2, 5) 两点间的距离; (2)已知 A (0,1 0 ), B ( a , ? 5) 两点间的距离是 17,求实数 a 的值.
11

例 2 已知 ? A B C 的顶点坐标为 A ( ? 1, 5), B ( ? 2, ? 1), C ( 4, 7 ) ,求 B C 边上的中线 A M 的长和 A M 所在直线的方程.

例 3 已知 ? A B C 是直角三角形,斜边 B C 的中点为 M ,建立适当的直角坐标系,证 明: A M ?
1 2 BC .

习题 1.求线段 A B 的长及其中点的坐标: (1) A (8,1 0 ), B ( ? 4, 4 ) ; (2) A ( ? 3 , 2 ), B ( ? 2 , 3 ) . 2.已知 ? A B C 的顶点坐标为 A (3, 2 ), B (1, 0 ), C ( 2 ? 的长. 3.已知两点 P (1, ? 4 ), A (3, 2 ) ,求点 A 关于点 P 的对称点 B 的坐标. 思考 你还能通过其他途径求点 P 到直线 l 的距离吗? 例 1 求点 P ( ? 1, 2 ) 到下列直线的距离: (1) 2 x ? y ? 1 0 ? 0 ; (2) 3 x ? 2 .
3 ,1 ? 3 ) , A B 边上的中心 C M 求

例 2 求两条平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 与 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 之间的距离.

例 3 建立适当的直角坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等 于一腰上的高.

习题 1.求下列点 P 到直线 l 的距离: (1) P (3, ? 2 ), l : 3 x ? 4 y ? 2 5 ? 0 ;

12

(2) P ( ? 2,1), l : 3 y ? 5 ? 0 . 2.求下列两条平行直线之间的距离: (1) 5 x ? 1 2 y ? 2 ? 0 与 5 x ? 1 2 y ? 1 5 ? 0 ; (2) 6 x ? 4 y ? 5 ? 0 与 y ?
3 2 x.

3.直线 l 经过原点,且点 M (5, 0 ) 到直线 l 的距离等于 3,求直线 l 的方程. 习题 2.1(3) 1.求 A , B 两点之间的距离: (1) A ( ? 2, 0 ), B ( ? 2, ? 3); (3) A (3, 5), B ( ? 3, 3) . 2.已知点 P ( ? 1, 2 ) ,分别求点 P 关于原点、 x 轴和 y 轴的对称点的坐标. 3.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,线段 A B 的中点 M 的坐标是 ( 2, ? 1) ,求线段 A B 的长度. 4.已知 A , B 两点都在直线 y ? x ? 1 上,且 A , B 两点横坐标之差为 2 ,求 A , B 之间的 距离. 5.已知两点 A ( 2 , 3), B (? 1, 4 ) ,点 P ( x , y ) 到点 A , B 的距离相等,求实数 x , y 满足的条 件. 6.已知点 P ( x , y ) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, O 是原点,求 O P 的最小值. 7.求点 P 到直线 l 的距离: (1) P ( 2,1), l : 2 x ? 3 ? 0 ; (2) P ( ? 3, 4 ), l : 3 x ? 4 y ? 3 0 ? 0 . 8.直线 l 到两条平行直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,求直线 l 的方程. 9.直线 l 在 y 轴上截距为 10,且原点到直线 l 的距离是 8,求直线 l 的方程. 10.点 P 在直线 3 x ? y ? 5 ? 0 上, 且点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 , 求点 P 的 坐标.
13

(2) A (0, ? 3), B ( ? 3, ? 3) ;

11.已知 A (7, 8), B (10, 4), C (2, ?4) ,求 ? A B C 的面积. 12.已知直线 l 经过点 ( ? 2, 3) ,且原点到直线 l 的距离是 2,求直线 l 的方程. 13.在 ? A B C 中,点 E , F 分别为 A B , A C 的中点,建立适当的直角坐标系,证明:
E F // B C ,且 E F ?

1 2

BC .

14.过点 P (3, 0 ) 作直线 l ,使它被两条相交直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 所截得的 线段恰好被 P 点平分,求直线 l 的方程. 15.已知光线通过点 A ( ? 2, 3) ,经 x 轴反射,其反射光线通过点 B (5, 7 ) ,求入射光线和 反射光线所在直线的方程. 16.已知光线通过点 A ( 2 , 3) ,经直线 x ? y ? 1 ? 0 反射,其反射光线通过点 B (1,1) ,求 入射光线和反射光线所在直线的方程. 17.在直线 x ? 2 y ? 0 上求一点 P ,使它到原点的距离与到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离相 等. 18.已知直线 l : y ? 3 x ? 3 ,求: (1)直线 l 关于点 M (3, 2 ) 对称的直线的方程; (2)直线 x ? y ? 2 ? 0 关于 l 对称的直线的方程. 19.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和. 20.求证:两点 A ( a , b ) , B ( b , a ) 关于直线 y ? x 对称. 21.已知 M ( ? 1, 3) , N (6, 2 ) ,点 P 在 x 轴上,且使 P M ? P N 取最上值,求点 P 的坐 标. 22.某人上午 8 时从山下大本营出发登山,下午 4 时到达山顶.次日上午 8 时从山顶沿原 路返回,下午 4 时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山,那么两天中他 可能在同一时刻经过途中同一地点吗?如果他在上山、 下山过程中不是匀速行进, 他还可能 在同一时刻经过途中同一地点吗?

2.2 圆与方程
14

例 1 求圆心 C ( 2 , ? 3) ,且经过坐标原点的圆的方程.

例 2 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽 为 2.7m,高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?

思考 假设货车的最大宽度为 a m,那么货车要驶入该隧道,限高为多少? 例 3 已知 ? A B C 顶点的坐标为 A ( 4, 3), B (5, 2 ), C (1, 0 ) ,求 ? A B C 外接圆的方程. 思考 本题还有其他解法吗

例 4 某圆拱梁的示意图如图 2—2—4 所示.该圆拱的跨度 A B 是 36m, 拱高 O P 是 6m, 在建造时,每隔 3m 需要一个支柱支撑,求支柱 A 2 P2 的长(精确到 0.01m).

习题 1.写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径为 6; (2)经过点 P (6 , 3) ,圆心为 C ( 2 , ? 2 ) . 2.求以点 C ( ? 1, ? 5) 为圆心,并且和 y 轴相切的圆的方程. 3.已知点 A ( ? 4, ? 5), B (5, ? 1) ,求以线段 A B 为直径的圆的方程. 4.下列方程各表示什么图形?若表示圆,则求其圆心和半径: (1) x ? y ? 4 x ? 0 ;
2 2

(2) x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 .
2 2

5.求经过点 A ( 4,1), B ( ? 6, 3), C (3, 0 ) 的圆的方程. 6. 如 果 方 程 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 ) 所 表 示 的 曲 线 关 于 直 线
2 2 2 2

15

y ? x 对称,那么必有(

). B. D ? F C. E ? F D. D ? E ? F

A. D ? E 习题 2.2(1)

1.求满足下列条件的圆的方程: (1)过点 P ( ? 2 , 2 ) ,圆心是 C (3, 0 ); (2)与两坐标轴都相切,且圆心在直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 上; (3)经过点 A (3, 5) 和 B ( ? 3, 7 ) ,且圆心在 x 轴上. 2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是 A (5, 6 ), C (3, ? 4 ) ,求这个圆的方程. 3.已知半径为 5 的圆过点 P ( ? 3, 4 ) ,且圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,求这个圆的方程. 4.求经过三点 A ( ? 1, 5), B (5, 5), C (6, ? 2 ) 的圆的方程. 5.已知圆 x ? y ? 4 x ? 2 b y ? b ? 0 与 x 轴相切,求 b 的值.
2 2 2

6.求过两点 A (0, 4 ), B ( 4, 6 ) ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上的圆的标准方程. 7.已知点 P (1,1) 在圆 ( x ? a ) ? ( y ? a ) ? 4 的内部,求实数 a 的取值范围.
2 2

8.画出方程 x ? 1 ?
2 2

1? y

2

表示的曲线.

9.求圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程. 10.已知点 M ( x , y ) 与两个定点 O (0, 0 ), A (3, 0 ) 的距离之比为 足什么关系?画出满足条件的点 M 所形成的曲线. 11.河道上有一座圆拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面为 9m,拱圈内水面宽 22m. 一条船在水面以上部分高 6.5m,船顶部宽 4m,故通行无阻.近日水位暴涨了 2.7m,为此, 必须加得船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少?
1 2

, 那么点 M 的坐标应满

例 1 求直线 4 x ? 3 y ? 0 和圆 x ? y ? 1 0 0 的公共点坐标,并判断它们的位置关系.
2 2

16

例 2 自点 A ( ? 1, 4 ) 作圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 1 的切线 l ,求切线 l 的方程.
2 2

例 3 求直线 x ?

3 y ? 2 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长.
2 2

习题 1.判断下列各组中直线 l 与圆 C 的位置关系: (1) l : x ? y ? 1 ? 0 , (2) l : 4 x ? 3 y ? 8 ? 0, (3) l : x ? y ? 4 ? 0 ,
2 2

C :x ? y ? 4;
2 2

C : x ? ( y ? 1) ? 1;
2 2

C : x ? y ? 2x ? 0 .
2 2

2.若直线 a x ? b y ? 1 与圆 x ? y ? 1 相交,则点 P ( a , b ) 与圆的位置关系是( A.在圆上
2 2



B.在圆外

C.在圆内

D.不能确定

3.(1)求过圆 x ? y ? 4 上一点 (1, 3 ) 的圆的切线方程; (2)求过原点且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1 相切的直线的方程.
2 2

4.求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 4 截得的弦长.
2 2

5.从圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 外一点 P ( 2 , 3) 向圆引切线,求切线长.
2 2

例 1 判断下列两圆的位置关系: (1) ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 1 与 ( x ? 2 ) ? ( y ? 5) ? 1 6 ;
2 2 2 2

(2) x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与 x ? y ? 6 y ? 2 7 ? 0 .
2 2 2 2

例 2 求过点 A (0 , 6 ) 且与圆 C : x ? y ? 1 0 x ? 1 0 y ? 0 切于原点的圆的方程.
2 2

习题 1.判断下列两个圆的位置关系: (1) ( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 1 与 ( x ? 7 ) ? ( y ? 1) ? 3 6 ;
2 2 2 2

17

(2) 2 x ? 2 y ? 3 x ? 2 y ? 0 与 3 x ? 3 y ? x ? y ? 0 .
2 2 2 2

2.已知圆 x ? y ? m 与圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 1 1 ? 0 相交,求实数 m 的取值范围.
2 2 2 2

习题 2.2(2) 1.过点 P ( ? 3, ? 4 ) 作直线 l ,当 l 的斜率为何值时, (1)直线 l 将圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 平分?
2 2

(2)直线 l 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 相切?
2 2

(3)直线 l 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交,且所截得的弦长为 2?
2 2

2.已知过点 A ( ? 1, ? 1) 的直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 6 ? 0 相交, 求直线 l 斜率的取值
2 2

范围. 3.求半径为 1 3 ,且与直线 2 x ? 3 y ? 1 0 ? 0 切于点 P ( 2, 2 ) 的圆的方程. 4.已知以 C ( ? 4 , 3) 为圆心的圆与圆 x ? y ? 1 相切,求圆 C 的方程.
2 2

5.求圆心在 y 轴上,且与直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 1 2 ? 0 ,直线 l 2 : 3 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 都相切的 圆的方程. 6.已知一个圆经过直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,
2 2

并且有最小面积,求此圆的方程. 7.已知圆 C 的方程是 x ? y ? r ,求证:经过圆 C 上一点 M ( x 0 , y 0 ) 的切线方程
2 2 2

x0 x ? y0 y ? r .
2

8.已知圆 C : x ? y ? r ,直线 l : a x ? b y ? r .
2 2 2
2

(1)当点 P ( a , b ) 在圆 C 上时,直线 l 与圆 C 具有怎样的位置关系? (2)当点 P ( a , b ) 在圆 C 外时,直线 l 具有什么特点?

2.3 空间直角坐标系
例 1 在空间直角坐标系中,作出点 P (5, 4, 6 ) .

18

例 2 如图 2—3—4,在长方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中, A B ? 1 2, A D ? 8, A A ? ? 5 . 以这 个长方体的顶点 A 为坐标原点,射线 A B , A D , A A ? 分别为 x 轴、 y 轴和 x 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.

思考 在空间直角坐标系中, x 轴上的点、 xO y 平面内的点的坐标分别具有什么特点? 例 3 (1)在空间直角坐标系 O ? xyz 中,画出不共线的 3 个点 P , Q , R ,使得这 3 个 点的坐标都满足 z ? 3 ,并画出图形; (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.

习题 1.在空间直角坐标系中,画出下列各点:
A (0, 0, 3), B (1, 2, 3), C ( 2, 0, 4 ), D ( ? 1, 2, ? 2 ).

2.在长方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中,A B ? 6, A D ? 4, A A ? ? 7 .以这个长方体的顶点 B 为 坐标原点,射线 A B , B C , B B ? 分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求 长方体各个顶点的坐标. 3.写出空间直角坐标系 yO z 平面内的点的坐标应满足的条件. 例 1 求空间两点 P1 (3, ? 2, 5), P2 (6, 0 ? 1) 间的距离 P1 P2 .

例 2 平面上到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是单位圆, 其方程为 x ? y ? 1 .在空间
2 2

中,到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是什么?试写出它的方程.

19

思考

连 结 平 面 上 两 点 P1 ( x1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) 的 线 段 P1 P2 的 中 点 M 的 坐 标 为

? x1 ? x 2 y 1 ? y 2 ? , 那么, 已知空间中两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 线段 P1 P2 的中点 M ? ?, 2 2 ? ?

的坐标是什么呢? 练习 1.运用两点间距离公式求图 2—3—4 中线段 O C ?, B ?C 的长度. 2.一个长方体的 8 个顶点的坐标为(0,0,0)(0,1,0) , (3,0,0)(3,1,0)(3, , , 1,9)(3,0,9)(0,0,0)(0,1,9). , , , (1)在空间直角坐标系中画出这个长方体; (2)求这个长方体的体积. 3.已知正四棱锥 P ? A B C D 的底面边长为 5 2 ,侧棱长为 13,试建立适当的空间直角 坐标系,写出各顶点的坐标. 4.已知 A ( 2, 5, ? 6 ), 在 y 轴上求一点 P ,使 P A ? 7 . 5.已知空间三点 A ( ? 1, 0,1), B ( 2, 4, 3), C (5, 8, 5) , 求证: A , B , C 在同一条直线上. 6.(1)求点 P ( 4, ? 3, 7 ) 关于 xO y 平面的对称点的坐标; (2)求点 P ( 2,1, 4 ) 关于坐标原点的对称点的坐标; (3)求点 P (3, ? 2, 4 ) 关于点 A (0 ,1, ? 3) 的对称点的坐标. 7.在你的教室或房间里建立适当的空间直角坐标系, 以此确定电灯、 门锁或开关的位置, 写出相应的坐标. 复习题 1.已知直线 a x ? 3 y ? 5 ? 0 经过点 A ( 2,1) ,求实数 a 的值. 2.已知过两点 A ( ? a , 3), B (5, ? a ) 的直线的斜率为 1,求 a 的值及这两点间的距离. 3.如果 A C ? 0, B C ? 0 ,那么直线 A x ? B y ? C ? 0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ). D.第四象限

20

4.已知直线 m x ? n y ? 1 ? 0 经过第一、三、四象限,求实数 m , n 满足的条件. 5.已知直线 l 过点 P ( ? 5, ? 4 ) ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 个平方单位,求 直线 l 的方程. 6.直线过点 P (5, 6 ) ,它在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍,求此直线的方程. 7.已知直线 x ? a y ? 2 a ? 2 与直线 a x ? y ? a ? 1 平行,求实数 a 的值. 9.已知点 A 与点 P (1, ? 1) 的距离为 5,且到 y 轴的距离等于 4,求 A 点的坐标. 10.已知两条平行直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 和 2 x ? 3 y ? a ? 0 之间的距离等于 2, 求实数 a 的 值. 11.求圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 被直线 x ? y ? 5 ? 0 所截得的弦的长度.
2 2

12.求与点 A (3 2,1 0 ), B ( 4 2, 0 ), C (0, ) 的距离都相等的点的坐标. 13.求与圆 C : x ? ( y ? 5) ? 3 相切,且在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线的方程.
2 2

14.判断两圆 x ? y ? x ? 2 y ? 2 0 ? 0 与 x ? y ? 2 5 的位置关系.
2 2 2 2

15.过点 P (1, 2 ) 作一直线 l ,使直线 l 与点 M ( 2 , 3) 和点 N ( 4, ? 5) 的距离相等,求直线 l 的方程. 16.在空间直角坐标系中作出下列点,并求两点间的距离和连结两点的线段的中点坐标: (1) A ( ? 2, 4, ? 1), B ( 4, ? 6, 7 ); (2) C (8, 3, ? 2 ), D ( ? 4, 5, 2 ).

17.河北省赵县的赵州桥,是世界上历史最悠久的石拱桥,赵州桥的跨度约为 37.4 m, 圆拱高约为 7.2m,试写出这个圆拱所在的圆的方程.

18.已知平面内两点 A ( ? 4,1), B (3, ? 1) ,直线 y ? kx ? 2 与线段 A B 恒有公共点,求实数
k 的取值范围.

21

19.求证:无论 k 取任何实数,直线 (1 ? 4 k ) x ? 2 ( ? 3 k ) y ? ( 2 ? 1 4 k ) ? 0 必经过一个定 点,并求出定点的坐标. 20. 设 集 合 M ? { ( x , y ) | x ?
2 2

y ?

4 } ,N ?

{x y ( ,

) ?( |x

2

? ) y ( 1 ?

2

?1 ) r
2

r .当 0 )} ? (

M ? N ? N 时,求实数 r 的取值范围.

21.已知点 M (1, 3), N (5, ? 2 ), 在 x 轴上取一点 P ,使得 | P M ? P N | 最大,求 P 点的坐 标. 22.如图, 在矩形 A B C D 中, 已知 A B ? 3 A D , E , F 为 A B 的两个三等分点,A C , D F 交 于点 G,建立适当的直角坐标系,证明: E G ? D F .

23. 已 知 ? A B C 的 一 条 内 角 平 分 线 C D 的 方 程 为 2 x ? y ? 1 ? 0 , 两 个 顶 点 为
A (1, 2 ), B ( ? 1, ? 1) ,求第三个顶点 C 的坐标.

24.若直角 y ? x ? b 与曲线 x ?

1 ? y 恰有一个公共点,求实数 b 的取值范围.
2

25.在直角坐标系中,已知射线 O A : x ? y ? 0 ( x ? 0 ), O B : 3 x ? 3 y ? 0 ( x ? 0 ) ,过点
P (1, 0 ) 作直线分别交射线 O A , O B 于点 A , B .

(1)当 A B 中点为 P 时,求直线 A B 的方程; (2)当 A B 中点在直线 y ?
1 2 x 上时,求直线 A B 的方程.

26.已知点 P 在 xO y 平面内,点 A 的坐标为(0,0,4) P A ? 5 ,那么,满足此条件 , 的点 P 组成什么曲线? 27.已知圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 是否存在斜率为 1 的直线 l , 使以 l 被圆 C 截得的
2 2

弦 A B 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 28.把函数 y ? f ( x ) 在 x ? a 和 x ? b 之间的一段图象近似地看做直线, 且设 a ? c ? b , 试用 f ( a ), f ( b ) 来估计 f ( c ) .

22


推荐相关:

第二章 平面解析几何初步答案

第二章 平面解析几何初步答案_数学_高中教育_教育专区。第 2 章 平面解析几何初步解析 1.相交 解析:因为 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,所以点 P (3,...


必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...必修2-第2-3章 平面解析... 4页 免费 高中数学必修二 知识点总... 8页...


数学:第2章《平面解析几何初步》教材分析(必修2)

数学:第2章平面解析几何初步》教材分析(必修2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第 2 章平面解析几何初步》教材分析目标定位: 1.解析几何把代数的知识和...


第2章 平面解析几何初步

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教材分析 第 2 章 平面解析几何初步南京市教学研究室 目标定位: 1.解析几何把代数的知识和方法系统地用于研究几何图形的性质,...


第2章 平面解析几何初步

第2章 平面解析几何初步_数学_高中教育_教育专区。第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程如图 2—1—2(1) ,已知两点 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 ...


苏教版高中数学必修2教案:第2章 平面解析几何初步第1课时第二章 平面解析几何初步

苏教版高中数学必修2教案:第2章 平面解析几何初步第1课时第二章 平面解析几何初步_数学_高中教育_教育专区。第一课时 一、知识结构 直线方程的 几种形式 第二章...


高一数学(必修2)第2章平面解析几何初步-点到直线的距离1配套练习

高一数学(必修2)第2章平面解析几何初步-点到直线的距离1配套练习_数学_高中教育_教育专区。高一数学(必修2)第2章平面解析几何初步-点到直线的距离1配套练习点...


第2章 平面解析几何初步复习与小结

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 第2章 平面解析几何初步复习与小结 1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用; 2.掌握典型题型及其处理方法. ...


数学必修1第二章平面解析几何初步单元检测题及答案

数学必修1第二章平面解析几何初步单元检测题及答案_数学_高中教育_教育专区。数学必修1第一章立体几何初步单元检测题及答案数学必修1第二章平面解析几何初步单元检测...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com