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3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(高中数学人教A版选修2-3)


3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

复习 1 .上节学习了回归分析的基本方法.线性 回归模型y=bx+a+e不同于一次函数y=bx+ a ,含有 __________ ,y为 随机误差e ,其中 x 为 ________ 解释变量 预报变量. ________

2.回归直线一定过点( x , y ),此为 样本点的中心 _____________ .
3. R 表达式中的 ? (yi- y )2 为确定的
2 i= 1 n

残差平方和 数, ? (yi-^ y i)2 称为____________.
n i= 1

4.
2 相关指数: R ? 1?

2 ? ( y ? y ) ? i i i ?1 n

n

★其中:

?( y
i ?1

i

? y)

2

(1)在含有一个解释变量的线性模型中,R2恰好等于相 关系数r的平方. (2)R2取值越大(越接近1),则残差平方和越小,即模 型的拟合效果越好.(实际上就是:|r|越大,则|e|越小)

3

新课

对于性别变量 , 其取值为男和女两种 .这 种变量的不同 " 值" 表示个体所属的不同 类 别 , 像这类变量称为 分类变量 .在现实 生活中, 分类变量是大量存在的 , 例如 是 否吸烟 ,宗教信仰 ,国籍, 等等. 在日常生活中 , 我们常常关心两个分类 变 量之间是否有关系 .例如, 吸烟与肺癌是否 有关系? 性 别对于是否喜欢数学课 程 有 影响? 等等.

两种变量:
?定量变量:体重、身高、温度、考试成绩等等。 ? 变量 ?分类变量:性别、是否吸烟、是否患肺癌、 ? 宗教信仰、国籍等等。 ?
在日常生活中,我们常常关心分类变量之间是否有关系: 例如,吸烟是否与患肺癌有关系? 性别是否对于喜欢数学课程有影响等等?

研究两个变量的相关关系:
?定量变量——回归分析(画散点图、相关系数r、 ? 变量 ? 相关指数R 2、残差分析) ?分类变量—— 独立性检验 ?

本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。

探究

列联表

为了调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机 地调查了9965人,得到如下结果(单位:人)
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计

不吸烟
吸烟 总计

7775
2099 9874

42
49 91

7817
2148 9965

在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
说明:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异,吸烟者患 肺癌的可能性大。

通过图形直观判断两个分类变量是否相关: 1、列联表 2、三维柱形图
不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

3、二维条形图
8000 7000 6000 不患肺癌 患肺癌

5000
4000

不吸烟 不 患 肺 癌 患肺癌

3000 2000 1000

吸烟

从三维柱形图能清晰看出 各个频数的相对大小。

0

不吸烟

吸烟

从二维条形图能看出,吸烟者中 患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。

4、等高条形图
1 0.9

0.8

患肺癌 比例

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

不患肺癌 比例
不吸烟
不吸烟

0.1

0

吸烟

吸烟

等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。

某企业为了考察同一种产品在甲、乙两条生产线的 产品合格率,同时各抽取100件产品,其中甲线中 合格产品的个数为97,乙线中合格产品的个数为95。 请做出列联表,三维柱形图与二维条形图。

合格
甲生产线 乙生产线 总计 97 95 192

不合格
3 5 8

总计
100 100 200

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

甲生产线 乙生产线

合格

不合格

不合格 甲生产线 乙生产线 合格

0

100

200

300

? 1 . 2×2 列联表是传统的调查研究中最常 用的方法之一,用于研究两个变量之间相 互独立还是存在某种关联性,它适用于分 析两个变量之间的关系. ? 2 .在实际问题中,判断两个分类变量的 关系的可靠性时,一般利用随机变量 K2来 确定,而不利用三维柱形图和二维条形 图.

? 练习:1.下面是一个2×2列联表 y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 7 20 27 b 41 100 合计 ? 则表中a、b处的值分别为 ( ? A.94、96 B.52、50 ? C.52、59 D.54、52 ? [答案] C

)

? 2.用K2统计量进行独立性检验时,使用的 表称为 ____________ ,要求表中的四个数 据____________. ? [答案] 2×2列联表 均大于5

? 某学校对学生课外活动内容进行调查,结 果整理成下表: 体育 文娱 总计 23 44 男生 21 6 29 35 女生 52 79 总计 27
? 利用图形判断学生课外活动的类别与性别 是否有关系?

? [解析] 某等高条形图如图所示.

? 由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文 娱在性别上有较大差异,说明课外活动的 类别与性别在某种程度上有关系.

上面我们通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和 患肺癌有关,那么事实是否真的如此呢?这需要用统计观点 来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”, 为此先假设

H0:吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟,B表示不患肺癌,则“吸烟与患肺癌没有关系” 等价于“吸烟与患肺癌独立”,即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B). 把表中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表 不吸烟 吸烟 总计

不患肺癌 a c a+c

患肺癌 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

不吸烟 吸烟 总计

不患肺癌 a c a+c

患肺癌 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

a a+b a+c ? ≈ × 其中n = a + b + c + d为样本容量,即 n n n

在表中,a恰好为事件AB发生的频数;a+b和a+c恰好分别为事 件A和B发生的频数。由于频率接近于概率,所以在H0成立的条 件下应该有 P(A) ? a + b , P(B) ? a + c , P(AB) ? a . n n n

(a+b+c+d)a ?(a+b)(a+c), ?

即ad ? bc
因此|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱; |ad-bc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分 析,我们构造一个随机变量-----卡方统计量

n(ad ? bc) K ? , (1) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2 2

其中n ? a ? b ? c ? d为样本容量。
根据表3-7中的数据,利用公式(1)计算得到K2的观测值为:

若 H0成立,即“吸烟与患肺癌没有关系”,则K2应很小。

9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099) k? ? 56.632 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91
2

( 2)

那么这个值到底能告诉我们什么呢?

在H0成立的情况下,统计学家估算出如下的概率

即在 H0 成立的情况下, K2 的值大于 6.635 的概率非常小,近似 于0.01。

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01.

(2)

也就是说,在H0成立的情况下,对随机变量 K2进行多次观 测,观测值超过6.635的频率约为0.01。

思考
如果K 2 ? 6.635,就断定H0不成立,这种判断出错的可能性有多大 ?

答:判断出错的概率为0.01

9965(7775 ? 49 ? 42 ? 2099 )2 现在观测值k ? ? 56.632太大了, 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91 在H 0成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01, 因此我们有99%的把握认为H 0不成立,即有99%的把握认为“吸烟 与患肺癌有关系”。

判断 H 0是否成立的规则
如果 k ? 6.635 ,就判断 H 0 不成立,即认为吸烟与 患肺癌有关系;否则,就判断 H 0 成立,即认为吸烟 与患肺癌有关系。

H0 在该规则下,把结论“H 0 成立”错判成“ P( K 2 ? 6.635) ? 0.01, 成立”的概率不会差过 即有99%的把握认为 H 0不成立。



独立性检验的定义
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两 个分类变量的独立性检验。

独立性检验的基本思想(类似反证法)
(1)假设结论不成立,即 H0 : “两个分类变量没有关系”. (2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由 观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上 说明 H 0 不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量 有关系”;如果k的值很小,则说明由样本观测数据没有发现 反对 H 0 的充分证据。
(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的 程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99%,即“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.

具体作法是: (1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0; (2)利用公式(1),由观测数据计算得到随机变量 K 2 的观测值; (3)如果 k ? k0 ,就以 (1 ? P( K ? k0 )) ?100%的把握认为“X 与Y有关系”;否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系” 的充分证据。
2

在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值:
P(K2 ? k0 ) 0.50

k0 k0

0.40 0.25 0.15 0.455 0.708 1.323 2.072 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.636 7.879

0.10 2.706 0.001 10.828

P(K2 ? k0 ) 0.05

P( K 2 ? k )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(1)如果k ? 10.828, 就有99.9%的把握认为" X 与Y 有关系" (2)如果k ? 7.879, 就有99.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (3)如果k ? 6.635, 就有99%的把握认为" X 与Y 有关系" (4)如果k ? 5.024, 就有97.5%的把握认为" X 与Y 有关系" (5)如果k ? 3.841, 就有95%的把握认为" X 与Y 有关系" (6)如果k ? 2.706, 就有90%的把握认为" X 与Y 有关系" (7)如果k ? 2.706, 就认为没有充分的证据显示 " X 与Y
有关系"

上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为”两个分类变量有关系”的方法称为两个 分类变量的独立性检验 独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法. 要确认”两个分类变量有关系”这一结论成立 的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结 论”两个分类变量没有关系”成立.在该假设下 我们构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数 据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度 上说明假设不合理.

一般地, 假设有两个分类变量X 和Y , 它们的值域分别为 {x1 , x2 }和{ y1 , y2 }, 其样本频数列联表(称为2 ? 2列联表)为 : y2 y1 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d

若要推断的结论为H1:”X与Y有关系”,可如下操作:

1.通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个 变量是否有关系,但是这种判断不精确.

x1 x2
总计

y1
a c a+c

y2
b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d 不吸烟 吸烟 总计

不患肺癌
a c a+c

患肺癌
b d b+d

总计
a+b c+d a+b+c+d

8000 7000 6000

a
主对角线

5000 4000 副对角线 3000 2000 1000 0 不患肺癌

c

d
患肺癌

b

不吸烟 吸烟

(1)在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad与 副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大,H1成立的 可能性就越大

2.利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系, 并且能较精确地给出这种判断的可靠程度. 具体做法是: 根据观测数据计算由

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

其中n ? a ? b ? c ? d为样本容量

给出的随机变量K2的值k,其值越大,说明”X与Y有关系” 成立的可能性越大.当得到的观测数据a,b,c,d都不小于 5时,可以通过查表来断言”X与Y有关系”的可信程度

自学导引
1.分类变量和列联表 (1)分类变量

不同类别,像这样的变 变量的不同“值”表示个体所属的_________
量称为分类变量.

(2)列联表 频数表 ,称为列联表. ①定义:列出的两个分类变量的_______
②2×2列联表 一般地,假设两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称2×2列联表)为

x1 x2 总计

y1 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+ b c+ d a+b+c+d

想一想:如何理解分类变量?
提示 (1)这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值 来理解.例如:对于性别变量,其取值有“男”和“女”两 种,这里的“变量”指的是“性别”,这里的“值”指的是“男” 或“女”.因此,这里说的“变量”和“值”不一定是取具体的

数值.
(2)分类变量是大量存在的.例如:吸烟变量有吸烟与不 吸烟两种类别,而国籍变量则有多种类别.

2.独立性检验 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法 定义 称为独立性检验
n? ad-bc?2 ? a+b??c+d??a+c?? b+d? K2=_______________________

公式

a+b+c+d 其中n=___________
①根据实际问题的需要,确定容许推断“两个分类变量 临界值k0 有关系”犯错误概率的上界α.然后查表确定 _________ 观测值 k 2的_________ ②利用公式计算随机变量 K k≥k0 具体 ③如果_______,就推断“X与Y有关系”,这种推断 步骤 犯错误的概率 _____________不超过α,否则就认为在犯错误的概率不 超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本 数据中_________________ 没有发现足够证据 支持结论“X与Y有关系”

3. 独立性检验临界值表
P(K2
≥ k0) k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

想一想:在K2运算时,在判断变量相关时,若K2的观测值k =56.632,则P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001,哪种 说法是正确的? 提示 两种说法均正确.

P(K2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前
提下,认为两变量相关; 而P(K2≥10.828)≈0.001的含义是在犯错误的概率不超过0.001 的前提下,认为两变量相关.

题型一

有关“相关的检验”

【例1】 某校对学生课外活动进行调查,结果整理成下表:
试用你所学过的知识进行分析,能否在犯错误的概率不 超过0.005的前提下,认为“喜欢体育还是文娱与性别有 关系”? 体育 男生 女生 总计 21 6 27 文娱 23 29 52 总计 44 35 79

[思路探索] 可用数据计算K2,再确定其中的具体关系.



判断方法如下:

假设H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”,若H0 成立,则K2应该很小. ∵a=21,b=23,c=6,d=29,n=79, n? ad-bc?2 ∴k= ? a+b??c+d??a+c?? b+d?
79×? 21×29-23×6?2 = ≈8.106. ? 21+23?×?6+29?×? 21+6?×? 23+29?

且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过 7.879,这就意味着:“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这 一结论成立的可能性小于0.005,即在犯错误的概率不超过

0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”.

规律方法

2 n ? ad - bc ? (1)利用 K2= 求出 K2 的 ? a+b??c+d??a+c?? b+d?

观测值 k 的值.再利用临界值的大小来判断假设是否成立. (2)解题时应注意准确代数与计算,不可错用公式,准确进行 比较与判断.

【变式1】 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有 关,对某年级学生作调查得到如下数据: 成绩优秀 兴趣浓厚的 兴趣不浓厚的 总计 64 22 86 成绩较差 30 73 103 总计 94 95 189

判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关?



由公式得 K2 的观测值

189×? 64× 73- 22× 30?2 k= ≈ 38.459. 86× 103× 95× 94 ∵ 38.459> 10.828,∴有 99.9% 的把握说学生学习数学的兴 趣与数学成绩是有关的.

题型二

有关“无关的检验”

【例2】 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关, 某同学调查了361名高二在校学生,调查结果如下:理科
对外语有兴趣的有138人,无兴趣的有98人,文科对外语 有兴趣的有73人,无兴趣的有52人.试分析学生选报文、 理科与对外语的兴趣是否有关? [思路探索] 要在选报文、理科与对外语有无兴趣之间有无

关系作出判断,可以运用独立性检验的方法进行判断.



列出2×2列联表 有兴趣 无兴趣 总计 理 138 98 236 文 73 52 125 总计 211 150 361

代入公式得 K2 的观测值 361×? 138× 52-73× 98?2 - k= ≈1.871× 10 4. 236× 125× 211×150 ∵ 1.871×10 4<2.706,∴可以认为学生选报文、理科与对


外语的兴趣无关.

规律方法

运用独立性检验的方法:

(1)列出2×2列联表,根据公式计算K2的观测值k.

(2)比较k与k0的大小作出结论.

【变式2】 某教育机构为了研究人具有大学专科以上学历(包 括大学专科)和对待教育改革态度的关系,随机抽取了392 名成年人进行调查,所得数据如下表所示: 支持教育 积极支持 不太赞成 改革情况 教育改革 教育改革 学历 大学专科以上学历 39 157

总计 196

大学专科以下学历
总计

29
68

167
324

196
392

对于教育机构的研究项目,根据上述数据能得出什么结 论.



根据列联表给出的数据,可计算出 K2 的观测值

392×? 39×167-29×157?2 k= ≈1.78, 196×196×68×324 因为 1.78<2.706,所以我们没有充分理由说“人具有大学专 科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革的态度有关”.

题型三

独立性检验的基本思想

【例3】 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸 (单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品.从两 个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸,结果

如下表:
甲厂
分 [29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10, 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 组 29.90) 频 12 63 86 182 92 61 4 数

乙厂
分 [29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10, 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 组 29.90) 频 29 71 85 159 76 62 18 数

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99%的
把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 甲厂 优质品 非优质品 总 计 乙厂 总计

2 n ? ad - bc ? 附:K2= , ? a+b??c+d??a+c?? b+d?

P(K2≥k0) k0 审题指导

0.05 3.841

0.01 6.635

(1)分别计算甲、乙两厂优质品的频数与500的

比值即为所求. (2)根据已知数据填充2×2列联表,进行独立性检验.
[规范解答] (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂 360 生产的零件的优质品率估计为 =72%; 500 (2 分)

乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的 320 优质品率估计为 =64%. 500 (4 分)

(2)

优质品
非优质品 总计

甲厂 360 140 500

乙厂 320 180 500

总计 680 320 1 000 (8分)

1 000×? 360×180-320×140?2 k= ≈7.353>6.635, (10 分) 500×500×680×320 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差 异”. (12 分)

【题后反思】 (1)解答此类题目的关键在于正确利用 K2= n? ad-bc?2 计算 k 的值,再用它与临界值的大 ? a+b??c+d??a+c?? b+d? 小作比较来判断假设检验是否成立,从而使问题得到解决. (2)此类题目规律性强,解题比较格式化,填表计算分析比较 即可,要熟悉其计算流程,不难理解掌握.

【变式3】 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:

干净水 不干净水 总计

得病 52 94 146

不得病 466 218 684

总计 518 312 830

(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关, 请说明理 由; (2)若饮用干净水得病5人,不得病50人,饮用不干净水 得病9人,不得病22人.按此样本数据分析这种疾病是否 与饮用水有关,并比较两种样本在反映总体时的差异.

解 得:

(1)假设 H0:传染病与饮用水无关.把表中数据代入公式

2 830 × ? 52 × 218 - 466 × 94 ? K2 的观测值 k= ≈ 54.21, 146× 684× 518×312

∵ 54.21> 10.828,所以拒绝 H0. 因此我们有 99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干 净水有关. (2)依题意得 2× 2 列联表:

干净水 不干净水 总计

得病 5 9 14

不得病 50 22 72

总计 55 31 86

2 86 × ? 5 × 22 - 50 × 9 ? 此时,K2 的观测值 k= ≈5.785. 14×72×55×31

由于5.785>5.024
所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有 关. 两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相 同结论,但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性,

(2)中我们只有97.5%的把握肯定.

例1.在研究某种新药对小白兔的防治效果时,得到下表 数据:
未用新药 用新药

总计

存活数 101 129 230

死亡数 38 20 58

总计 139 149 288

试分析新药对防治小白兔是否有效?

288 ? ?101? 20 ? 38 ?129 ? k? ? 8.658 ? 7.879 139 ?149 ? 230 ? 58
2

99.5%的把握判定新药对防治小白兔是有效的.


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