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第四篇 三角函数、解三角形第6讲 正弦定理和余弦定理


第6讲

正弦定理和余弦定理

1.考查正、余弦定理的推导过程. 2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法. 【复习指导】 1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法. 2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦 定理的优化选择.

基础梳理 a b c 1.正弦定理:sin A=sin B=sin C=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦 定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R等形式,以解决不同的三角形问题. 2.余弦定理:a2 =b2 +c2 -2bccos_A,b2 =a2 +c2 -2accos_B,c2 =a2 +b2 - b2+c2-a2 a2+c2-b2 2abcos_C.余弦定理可以变形为:cos A= 2bc ,cos B= 2ac ,cos C a2+b2-c2 = 2ab . 1 1 1 abc 1 3.S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· 是三角形外接圆 r(R 半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. 4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A, 则

A 为锐角

A 为钝角或

直角 图形 关系 式 解的 个数 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b

无解

一解

两解

一解

一解

无解

一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角 也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或 角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两 解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三 边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)在△ABC 中, A=60° B=75° a=10, c 等于( , , 则 A.5 2 10 6 C. 3 B.10 2 D.5 6 ).

解析 由 A+B+C=180° ,知 C=45° , a c 由正弦定理得:sin A=sin C, 即 10 c 10 6 = .∴c= 3 . 3 2 2 2

答案 C

sin A cos B 2.在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为( A.30° B.45° C.60° D.90°

).

解析 由正弦定理知: sin A cos B . sin A= sin B ,∴sin B=cos B,∴B=45° 答案 B 3.(2011· 郑州联考)在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° ).

解析 由余弦定理得:cos A= ∵0<A<π,∴A=60° . 答案 C

b2+c2-a2 1+4-3 1 = = , 2bc 2×1×2 2

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为( A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

).

1 解析 ∵cos C=3,0<C<π, 2 2 ∴sin C= 3 , 1 ∴S△ABC=2absin C 1 2 2 =2×3 2×2 3× 3 =4 3. 答案 C 5. 已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab, 则此三角形的最大内角为________. 解析 ∵a2+b2-c2=- 3ab, a2+b2-c2 3 ∴cos C= 2ab =- 2 , 故 C=150° 为三角形的最大内角. 答案 150°

考向一

利用正弦定理解三角形

【例 1】?在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三 角形,但要注意解的判断. a b 3 2 解 由正弦定理得sin A=sin B,sin A=sin 45° , ∴sin A= 3 . 2

∵a>b,∴A=60° A=120° 或 . 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° , 6+ 2 bsin C c= sin B = 2 ; 当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° , 6- 2 bsin C c= sin B = 2 . (1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代 入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意 讨论该角,这是解题的难点,应引起注意. π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B=4,tan A=2,则 sin A= ________;a=________. 解析 因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角, sin A 且cos A=2,sin2A+cos2A=1, 2 5 联立解得 sin A= 5 , a b 再由正弦定理得sin A=sin B, 代入数据解得 a=2 10.

答案

2 5 5

2 10 考向二 利用余弦定理解三角形

cos B b 【例 2】?在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos C=- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. cos B b [审题视点] 由cos C=- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. 2a+c 解 (1)由余弦定理知:cos B= a2+b2-c2 cos C= 2ab . cos B b 将上式代入cos C=- 得: 2a+c a2+c2-b2 2ab b 2ac ·2+b2-c2=-2a+c, a 整理得:a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= 2ac = 2ac =-2. 2 ∵B 为三角形的内角,∴B=3π. (2)将 b= 13,a+c=4, 2 B=3π 代入 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B, 1? ? ∴13=16-2ac?1-2?,∴ac=3. ? ? 1 3 3 ∴S△ABC=2acsin B= 4 . (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解 答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程 中的运用. a2+c2-b2 2ac ,

【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分 A 别为 a,b,c,且 2cos2 2 +cos A=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. A 解 (1)由 2cos2 2 +cos A=0, 得 1+cos A+cos A=0, 1 即 cos A=-2, 2π ∵0<A<π,∴A= 3 . (2)由余弦定理得, 2π a2=b2+c2-2bccos A,A= 3 , 则 a2=(b+c)2-bc, 又 a=2 3,b+c=4, 有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC=2bcsin A= 3. 考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状

【例 3】?在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC 的形 状. [审题视点] 首先边化角或角化边,再整理化简即可判断. 解 由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, 得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)], 即 b2sin Acos B=a2cos Asin B, 即 sin2Bsin Acos B=sin2Acos Bsin B,所以 sin 2B=sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角. 故 0<2A<2π,0<2B<2π. 故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B=2.

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统 一. 即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之 间的关系式; 或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三 边的关系. a b c 【训练 3】 在△ABC 中,若cos A=cos B=cos C;则△ABC 是( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ).

解析 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半 径). sin A sin B sin C ∴cos A=cos B=cos C. 即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C. 答案 B 考向三 正、余弦定理的综合应用

【例 3】?在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, π C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于 a,b 的方程,通 过方程组求解;第(2)问根据 sin C+sin(B-A)=2sin 2A 进行三角恒等变换,将角 的关系转换为边的关系,求出边 a,b 的值即可解决问题. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4. 1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 2 absin C= 3,得 ab=4,联立方程组
2 2 ?a +b -ab=4, ?a=2, ? 解得? ?ab=4, ?b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A.

π π 当 cos A=0,即 A=2时,B=6, 4 3 2 3 a= 3 ,b= 3 ; 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A, 由正弦定理,得 b=2a.
2 2 ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?b=2a,

?a=2 3 3, ? 解得? ?b=4 3 3. ?
1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2a bsin C= 3 . 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这 些等式就可以把有限的条件纳入到方程中,通过解方程组获得更多的元素,再通 过这些新的条件解决问题. 【训练 3】 (2011· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a, 4 b,c,且 cos B=5,b=2. (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值. 4 3 解 (1)因为 cos B=5,所以 sin B=5. a b a 10 由正弦定理sin A=sin B,可得sin 30° 3 , = 5 所以 a=3. 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S=2ac· B,sin B=5, sin 3 所以10ac=3,ac=10. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 8 得 4=a2+c2-5ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20.

所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以 a+c=2 10.

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现 “会而不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑 三角形中的边角条件. 【示例】?(2011· 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a = 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根. 实录 由 1+2cos(B+C)=0, 1 π 知 cos A=2,∴A=3, a b 根据正弦定理sin A=sin B得: sin B= bsin A 2 π 3π a = 2 ,∴B=4或 4 .

以下解答过程略. 正解 ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A, π ∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A=3. a b 在△ABC 中,根据正弦定理sin A=sin B, ∴sin B= bsin A 2 = . a 2

π 5 ∵a>b,∴B=4,∴C=π-(A+B)=12π. ∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A 6+ 2 2 1 2 3 = 2 ×2+ 2 × 2 = 4 .

∴BC 边上的高为 bsin C= 2×

6+ 2 3+1 4 = 2 .

【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, asin Asin B+bcos2 A= 2a. b (1)求a; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得,

sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故 sin B= 2sin A,所以a= 2. (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cos B= 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos2B=2,又 cos B>0,故 cos B= 2 ,所以 B=45° . ?1+ 3?a 2c .


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