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四川省资阳市2014-2015学年高二数学上学期期末质量检测试题 理


四川省资阳市 2014-2015 学年高二上学期学期期末质量检测数学 (理) 试题(含答案)
本试题卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分. 第一部分 1 至 2 页,第二 部分 3 至 8 页. 全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟. 第一部分(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第一部分前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 0 ”的否命题是 (A)若 x ? 1 ,则 x ? 0 (B)若 x ? 1 ,则 x ? 0 (C)若 x ? 1 ,则 x ? 0 (D)若 x ? 1 ,则 x ? 0 2.水平放置的 ?ABC 由“斜二测画法”画得的直观图如图所示, 已知 A ' C ' ? 3, B ' C ' ? 2 , 则 AB 边 的实际长度为 (A) 5
5 (B) 5 (C) 2

y'

B' x'

O'(C')

A'

(D) 2
6 3 6 3

3.已知向量 a ? (1, ?3, 2), b ? (?2,1,1) ,则 | 2a ? b |? (A) 50 (B) 14
5

(C) 5 2

(D) 14

5

5

5

正(主)视图

侧(左)视图

4. 某几何体的三视图如图所示,它的表面积为 (A) 30π (C) 51π (B) 36π (D) 33π
俯视图

5.设 l、m、n 是三条不同的直线, ?、? 、? 是三个

-1-

不同的平面,给出下列四个命题:
? ? , m ∥ n ,则 l ∥ n ; ①若 l ∥ ? , l ? ? , ? ? ? ? m, n ?

②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m, n 是两条异面直线, l ? m, l ? n, n ? ? , m ? ? 且 ? ∥ ? ,则 l ? ? ; ④若 l ? ? , m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ,则 ? ? ? ; 其中正确命题的序号是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

2 6.若命题“ ?x0 ? R ,使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是

(A) [2, 6] (C) (2,6)

(B) [?6, ?2] (D) (?6, ?2)
A B

P

E D C

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面
ABCD , E 是 PC 的中点, AB ? 2, AD ? 2 2, PA ? 2 ,则异面直

线 BC 与 AE 所成的角的大小为
π π (A) 6 (B) 4 π π 3 (C) (D) 2

8.执行如图所示的程序框图,在集合

A ? {x ? R ?10 ? x ? 10}
开始 输入x 否 y=x+3 x≥0? 是 y=x-5 是 x>0? 否 y=0

中随机地取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间
(?5,3) 内的概率为
2 (A) 3 3 (B) 4

4 5 5 (C) (D) 6

9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 C 的 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使
得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取 值范围是

输出y 结束

-2-

4 [0, ] (A) 3

4 (0, ) (B) 3
E

4 4 4 [? , ] (0, ] (C) 3 3 (D) 3

10.如图所示,五面体 ABCDE 中,正 ?ABC 的边长为 1 , AE ? 平面 ABC , CD ∥ AE ,且 角为 ? , AE ? k (k ? 0) ,若
CD ? 1 AE 2 .设 CE 与平面 ABE 所成的
D

? ?[ , ]

π π 6 4 ,则当 k 取最大值时,平面

C B

A

BDE 与平面 ABC 所成角的正切值为
2 (A) 2

(B) 1 (D) 3

(C) 2

-3-

资阳市 2014—2015 学年度高中二年级第一学期期末质量检测 理 科 数 学 第二部分(非选择题 共 100 分) 三 16 17 18 19 20 21

题号 得分



总分

总分人

注意事项: 1.第二部分共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中横 线上.
乙 11.在“2013 唱响资阳”电视歌手大赛中,七位 6 2 选手打出的分数的茎叶图如右图所示,则甲、乙 2 8 7 6 8 4 6 8 2 6 9 位数之和为 . 4 5 9 2 12. 执 行如图所示 的程序后 ,输出 的 i 的值 13.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若最中间一个小 1 10 长方形的面积等于其它 个小长方形的面积之和的 4 ,且样本容量 甲

评委给甲、乙两名 两名选手得分的中
8



.

为 160 ,则最中间一组的频数为___

.

2 14. 已 知 关 于 x 的 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 , 设 集 合

i=1 WHILE i<=10 i=i+5 WEND PRINT i END

A ? {?1,1, 2,3, 4,5} , B ? {?2, ?1,1, 2,3, 4} ,分别从集合 A 和集合 B 中随机取一个数记为 a 和 b ,则函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数的概率为_________.

15.已知矩形 ABCD 的长 AB ? 4 ,宽 AD ? 3 ,将其沿对角线 BD 折起,得到四面体 A ? BCD , 如图所示,

-4-

D

4

C 4 D

C

3

3 3

3

A

4

B

A

4

B

给出下列结论:
72 ①四面体 A ? BCD 体积的最大值为 5 ;

②四面体 A ? BCD 外接球的表面积恒为定值; ③若 E、F 分别为棱 AC、BD 的中点,则恒有 EF ? AC 且 EF ? BD ;
16 A ? BD ? C AB 、 CD ④当二面角 为直二面角时,直线 所成角的余弦值为 25 ; 14 ? ⑤当二面角 A ? BD ? C 的大小为 60 时,棱 AC 的长为 5 .

其中正确的结论有

(请写出所有正确结论的序号).

三、解答题: (本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

16.(本题满分 12 分) 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是底面 ABCD 对角线的交点. (Ⅰ)求证: BD ? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.
D O A B C

D1

C1

A1

B1

-5-

17.(本题满分 12 分) 设 p : 实数 x 满足 a ? x ? 3a ,其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2 ? x ? 3 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 如图所示, 等腰梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上, 顶点 A 与顶点 B 关于原点 O 对称, 且底边 AB y 和 CD 的长分别为 6 和 2 6 ,高为 3 . (Ⅰ)求等腰梯形 ABCD 的外接圆 E 的方程;
E D C

(Ⅱ)若点 N 的坐标为 (5, 2) ,点 M 在圆 E 上运动, 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

A

O

B

x

-6-

19.(本题满分 12 分)
频率/组距

某高校在 2014 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如 下表所示. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组
[160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 160 165 170 175 180185 成绩

频数
5
n

频率
0.050
0.350

30

p
0.200
0.100

20
10

100 1.000 n , p (Ⅰ)求频率分布表中 的值,并补充完整相应的频率分布直方图; 4 5 组中用分层抽样的方法 (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、、 4 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? 抽取 6 名学生进入第二轮面试,则第 3、、

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定从 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第
4 组至少有 1 名学生被甲考官面试的概率.

-7-

20.(本题满分 13 分) 如图,正四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,点 P 在侧
S

棱 SD 上,且 SP ? 3PD . (Ⅰ)求证: AC ? SD ; (Ⅱ)求二面角 P ? AC ? D 的大小;
A P D

(Ⅲ)侧棱 SC 上是否存在一点 E ,使得 BE ∥ 平面 PAC .
SE EC 若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
B C

-8-

21.(本题满分 14 分) 已知点 P 到点 A(?2, 0) 的距离是点 P 到点 B(1, 0) 的距离的 2 倍. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;
2 2 (Ⅱ)若点 P 与点 Q 关于点 (2,1) 对称,点 C (3, 0) ,求 | QA | ? | QC | 的最大值和最小值.

(Ⅲ)若过点 A 的直线交第(Ⅱ)问中的点 Q 的轨迹于 E ( x1 , y1 )、F ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 两点,且
??? ? ??? ? FA ? ? EA ,求 ? 的取值范围.

-9-

(Ⅱ) 【解】如图,连接 ,由(Ⅰ)知, 平面 . ∴ 为 在平面 内的射影. ∴ 为直线 与平面 所成的角. 8 分 在 中,∵ , ∴ , 10 分 又∵ ,∴ , ∴直线 与平面 所成的角为 . 12 分 【说明】该题用向量法解答可参照评分标准相应给分。 17. 【解】 (Ⅰ)当 时, 实数 满足 , 1 分
- 10 -

∵ 为真,∴ , 4 分 ∴实数 的取值范围为 . 5分 (Ⅱ)设 , 6 分 ∵ 是 的充分不必要条件, ,∴ , 11 分 ∴实数 的取值范围为 . 12 分 18. 【解】 (Ⅰ)设 , 由已知可得: , 2 分 由 得: , 4分 ∴圆 的圆心为 ,半径为 , ∴圆 的方程为: . 6分 (Ⅱ)设 , 7 分 ∵ 为线段 的中点,∴ , 9 分 代入点 所在圆的方程得: , 11 分 ∴点 的轨迹方程为 . 12 分 19. 【解】 (Ⅰ)由题意可知: 第 组的频数为 , 第 组的频率为 . 2 分 频率分布直方图如图所示: 4分 (Ⅱ)因为第 组共有 名学生,所以利用分层抽样在 名学生中抽取 名学生, 每组分别为:第 组: 名,第 组: 名,第 组: 名, 所以第 组分别抽取 名、 名、 名. 7分 (Ⅲ)设第 组的 名学生分别为 ,第 组的 名学生分别为 ,第 组的 名学生为 ,则从 名 学生中抽 名学生有如下 种可能: 9分 其中第 组的 名学生至少有 位学生入选的有 种可能, 11 分 所以第 组的 名学生至少有 名学生被甲考官面试的概率为 . 【说明】该题用其它解法可参照评分标准相应给分。 20.连接 交 于 , ∵四棱锥 是正四棱锥,且底面是正方形, ∴ , 所以建立如图所示的直角坐标系 . 1 分 设 ,由已知可得: , 所以 2分 设 ,则 ∵ ,∴ , ∴ ,∴ . 3分 (Ⅰ) 【证明】∵ , ∴,∴ . 5 分

12 分

- 11 -

(Ⅱ) 【解】设 为平面 的一个法向量,则: ∴ , 7分 令 ,得: ,显然 为平面 的一个法向量, 设二面角 的大小为 ,则 , 又由图可知二面角 为锐二面角,所以 ,∴ . 所以二面角 的大小为 . 9分 (Ⅲ) 【解】假设在侧棱 上存在一点 ,使得 平面 . 由 ,得: , 11 分 由(Ⅱ)知, 为平面 的一个法向量, ∵ 平面 ,∴ ,即: 即: ,∴ , 所以当 时, 平面 . 13 分 【说明】该题用几何法解答可参照评分标准相应给分。 21. 【解】 (Ⅰ)设点 ,由题意可得: ,即 , 所以点 的轨迹方程为 . 4分 (Ⅱ)设 ,由题可得 , , 代入上式消去可得: , 即 的轨迹方程为 , 6 分 即 . 令 ,所以 , 由已知可知:直线 与圆 有公共点, 所以 , 因此, 的最大值为 ,最小值为 . 9 分

- 12 -


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