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高中数学全程复习方略第二章 圆锥曲线与方程 章末总结 阶段复习课(共57张PPT)


第二章 章末总结/阶段复习课

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【备选答案】 A.到两定点F1,F2的距离之差的

E A F G D C B

绝对值为常数2a(2a<|F1F2|) 的点的轨迹 C.相交
2 2

B.相切 D.离心率e=1

E.x ? y ?(a>b>0) 1 , 2 2

a b 2 y x2 ? 2 ?(a>b>0) 1 2 a b
F.当焦点在x轴上时x的 范围为x≥a,x≤-a

G.y2=〒2px(p>0), x2=〒2py(p>0)

圆锥曲线定义的应用
【技法点拨】 圆锥曲线定义的应用技巧 (1)在求点的轨迹问题时,若所求轨迹符合圆锥曲线的定义, 则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.

(2)焦点三角形问题,在椭圆和双曲线中,常涉及曲线上的
点与两焦点连接而成的“焦点三角形”,处理时常结合圆锥曲 线的定义及解三角形的知识解决. (3)在抛物线中,常利用定义,以达到“到焦点的距离”和 “到准线的距离”的相互转化.

【典例1】(1)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切, 则动圆圆心的轨迹为( (A)抛物线 (C)双曲线的一支 ) (B)双曲线 (D)椭圆

(2)(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是 该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的 距离为( (A)
3 4

) (B)1 (C)
5 4

(D)

7 4

【解析】(1)选C.x2+y2=1是以原点为圆心,半径为1的圆,x2+ y2-6x+5=0化为标准方程为(x-3)2+y2=4,是圆心为A(3,0), 半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,如图,则
|PO| r ? 1 ? ? | ? ? ? ? ? PA||PO| 1<|AO| 3,符合双曲线的定义,结 |PA| r ? 2? ?

合图形可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.

(2)选C.过A,B分别作准线l的垂线AD,BC,垂足分别为D,C,
M是线段AB的中点,MN垂直准线l于N,由于MN是梯形ABCD的中

位线,
y C N
·M

B

O
D
A

F

x

| ? 所以 MN = AD||BC| . 2

由抛物线的定义知|AD|+|BC|=|AF|+|BF|=3,所以|MN|=
3 又由于准线l的方程为 x= ? 1 , 所以线段AB中点到y轴的距离 , 4 2 为 3 ? 1=5, 2 4 4

故选C.

【思考】解答题1的注意问题及解答题2的关键点. 提示:(1)解答题1应注意由双曲线的定义判断是双曲线的一 支还是双曲线. (2)解答题2的关键点是作出图形后再利用抛物线的定义构造 几何图形求解.

圆锥曲线的方程 【技法点拨】 1.求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定 式,再定量”的步骤.

(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

(2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应

用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关 系,通过解方程得到量的大小.

2.求椭圆、双曲线的标准方程
最常用方法为定义法、待定系数法,求解时注意有两个定形条

件(如已知a,b,c,e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、
x 2 y2 焦点或准线等).对于双曲线要注意双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) a b 与渐近线 x ? y ? 0 的关系,这两条渐近线方程可以合并表示为 a b 2 2 x 2 y2 x y 一般地,与双曲线 2 ? 2 ? 1 有共同渐近线的双曲 ? 2 ? 0, 2 a b a b x 2 y2 线方程是 ? 2 ? ? ? ? ? 0 ?. 2 a b

3.求抛物线标准方程 需一个定位条件(如顶点坐标、焦点坐标或准线方程),以及 一个定形条件(即已知p).

4.几个注意点 (1)在求解对应圆锥曲线方程时,还要特别注意隐含条件, 如双曲线有c2=a2+b2,椭圆有a2=b2+c2. (2)“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念,“求轨

迹”除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨迹的形状,
这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如

指掌.

x 2 y2 【典例2】(1)已知点P(3,-4)是双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0) a b ??? ??? 渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若 EP?FP=0, 则双

曲线方程为(
x 2 y2 (A) ? ? 1 3 4 x 2 y2 (C) ? ? 1 9 16

)
x 2 y2 (B) ? ? 1 4 3 x 2 y2 (D) ? ? 1 16 9
2 . 过F1的直 2

(2)(2011·新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为

线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为____.

??? ??? 【解析】(1)选C.不妨设E(-c,0),F(c,0),则 EP ?FP ?

(3+c,-4)·(3-c,-4)=25-c2=0,所以c2=25.可排除A、B. 又由D中双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x, 点P不在其上,排除D,
4

故选C. (2)设椭圆方程为
x 2 y2 ? 2 = ? a ? b ? 0 ?. 1 2 a b 因为离心率为 2 , 2

2 b2 所以 ? 1? 2, 2 a

b 2 1 即a2=2b2. 解得 = , a2 2

又△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)

=2a+2a=4a,

所以4a=16,a=4,所以 b=2 2,
x 2 y2 所以椭圆方程为 ? = 1. 16 8

答案:x ? y =1
16 8

2

2

【想一想】解答题1的方法有哪些?解答题2的关键点是什么? 提示:(1)解答题1可利用排除法,也可利用待定系数法直接

求解.
(2)解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义

转化为与长轴长2a的关系.

圆锥曲线的性质及应用 【技法点拨】 圆锥曲线性质的求解方法 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,主要指图形的范围、对称 性,以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐 近线以及几何元素a,b,c,e之间的关系等.

1.离心率 求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形,寻找与a,b,c有

关的关系式.
对于求椭圆和双曲线的离心率,有两种方法: (1)代入法就是代入公式 e ? c 求离心率;(2)列方程法就
a

是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式,然后把这个关系式 整体转化为关于e的方程,解方程即可求出e值.

2.范围
解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系,如曲线方程中 x,y的范围.常用方法也有两个.(1)解不等式法,即根据题设 条件列出关于待求量的不等式,解不等式即得其取值范围; (2)求函数值域法,即把待求量表示成某一变量的函数,函 数的值域即为待求量的取值范围.

3.最值
圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图 形面积等.研究的常见途径有两个:(1)利用平面几何中的最 值结论;(2)把几何量用目标函数表示出来,再用函数或不 等式知识求最值.建立“目标函数”,借助代数方法求最值, 要特别注意自变量的取值范围.

【典例3】(2011·福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为
F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶ 3∶2,则曲线C的离心率等于(
1 3 (A) 或 2 2

)
3

(B) 2 或2 (D) 2 或 3
3 2

(C) 1 或2
2

【解析】选A.设|F1F2|=2c(c>0),
由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,

得 PF1 =8 c, 2 = 4 c, 且|PF1|>|PF2|, PF
3 3

若圆锥曲线C为椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=4c, 离心率 e= c = 1 ;
a 2

若圆锥曲线C为双曲线, 则 2a= PF1 ? PF2 = 4 c,离心率 e= c = 3 .
3 a 2

【归纳】解答本题的注意点. 提示:解答本题对已知条件利用时,要分类讨论,同时注意对 椭圆及双曲线定义的理解.

直线与圆锥曲线 【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解

的讨论,即联立方程组
?Ax ? By ? C ? 0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+ ? ? ?f(x, y) 0,

bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对 双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ =0外, 直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重 合时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情 况).

2.中点弦问题的常规处理方法 (1)通过方程组转化为一元二次方程,结合根与系数的关系及 中点坐标公式进行求解; (2)点差法,设出两端点的坐标,利用中点坐标公式求解; (3)中点转移法,先设出一个端点的坐标,再借助中点设出另

一个端点的坐标,而后消去二次项.

3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法
利用弦长公式求解:直线l:y=kx+b与圆锥曲线交于A(x1,y1)、

B(x2,y2),则弦长为
2 2 |AB|? (x1 ? x 2)? y1 ? y 2) ( 2 ? 1 ? k |x1 ? x| 2 2 ? 1 ? k 2 (x1 ? x 2)? 4x1x 2

1 ? 1 ? 2 y1 ? y| | 2. k

(1)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间距离 公式求解.

(2)利用圆锥曲线的定义求解:求经过圆锥曲线的焦点的弦的
长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两个焦半径之和求解.

【典例4】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且 点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点, 且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存

在,说明理由.

x 2 y2 【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为 2 ? 2 ?(a>b>0) 1 , a b

且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有 ?c ? 2 ?
| ? | ?2a ? AF||AF? ? 3 ? 5 ? 8, c ? 2, 解得 ? ? ?a ? 4,

又a2=b2+c2,所以b2=12,
x 2 y2 故椭圆C的方程为 ? ? 1. 16 12

(2)不存在.假设存在符合题意的直线l,其方程为 y ? 3 x ? t.
3 ? y ? x ? t, ? 2 由 ? 得3x2+3tx+t2-12=0, ? 2 x y2 ? ? ? 1, ? 16 12 ?
2

因为直线l与椭圆C有公共点, 所以Δ=(3t)2-4〓3(t2-12)≥0,
解得 ?4 3 ? t ? 4 3.

|t| ? 4, 另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得 9 ?1 4

从而

t ? ?2 13,

由于 ?2 13 ? ? 4 3,4 3], 所以符合题意的直线l不存在. [

【归纳】本题考查了哪几种能力?解题中容易忽视的地方是什 么?

提示:本题主要考查了运算求解能力、推理论证能力,解题中
容易忽略Δ≥0,而导致出错.

分类讨论思想

【技法点拨】
分类讨论思想的认识及应用 分类讨论思想,实际上是“化整为零,各个击破,再积零为整” 的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技 巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重不漏地讨论.

【典例5】椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e ? 3 ,
2

已知点 P(0, 3 ) 到这个椭圆上点的最远距离为 7,求这个椭圆方
2

程,并求椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标.
x 2 y2 【解析】设椭圆方程为 2 ? 2 ?(a>b>0) 1 , a b c 3 3 ?e ? ? ,? c 2 ? a 2 , a 2 4 2 y2 2=b2+c2得a=2b,故椭圆方程可化为 x 由a ? 2 ?(b>0)设M(x,y) 1 , 2 4b b

是椭圆上任意一点,则x2=4b2-4y2.

3 2 9 9 2 ? PM| ? x 2 ? y ? ) ? 4b 2 ? 4y 2 ? y 2 ? 3y ? ? ?3y 2 ? 3y ? ? 4b 2 | ( 2 4 4 1 2 ? ?(y ? )? 3 ? 4b 2 . 3 2 1 ∵-b≤y≤b(讨论 与[-b,b]间的关系), 2 若 b ? 1 , 则当 y ? ? 1 时, PM| ? 3 ? 4b2 ? 7,? b ? 1. | max 2 2

若 0<b<1 , 则当y=-b时,
2

3 2 |PM| ? (b ? ) ? 7, max 2 3 3 1 ? b ? | 7, b ? 7 ? 与b< 矛盾. | ? 2 2 2 x2 综上所述b=1,故所求椭圆方程为: ? y 2 ? 1. 4 1 y ? PM| ? 7 时, ? ? ,? x ? ? 3. | max 2

∴椭圆上到P点的距离为 7 的点有两个,分别为 ( 3, 1 ), ?
2 1 ( ? 3, ). ? 2

【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的?
提示:分类讨论解题的一般步骤为:

①确定分类标准及对象;
②进行合理地分类; ③逐类进行讨论; ④归结各类结果.

1.方程2x2-5x+2=0的两个根可分别作为( (A)一椭圆和一双曲线的离心率 (B)两抛物线的离心率 (C)一椭圆和一抛物线的离心率 (D)两椭圆的离心率

)

1 又由椭圆离 【解析】选A.方程2x2-5x+2=0的两个根分别为 2, , 2

心率大于0小于1,双曲线离心率大于1,抛物线离心率等于1可 得,选A.

x 2 y2 x 2 y2 2.椭圆 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则a的值 4 a2 a 2

是( (A)2

) (B)1 (C) 2 (D)3

x 2 y2 x 2 y2 【解析】选B.因椭圆 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦 4 a a 2

点,所以有0<a<2且4-a2=a+2得a2+a-2=0,得a=1.

3.求过定点A(-5,0)且与圆x2+y2-10x-11=0相外切的动圆的

圆心轨迹是(

)
x 2 y2 (B) ? ?(x ? ?3) 1 9 16 x 2 y2 (D) ? ?(x ? ?3) 1 16 9

x 2 y2 (A) ? ?(x ? 3) 1 16 9 x 2 y2 (C) ? ?(x ? 3) 1 9 16

【解析】选B.x2+y2-10x-11=0化为标准形式是(x-5)2+y2= 36,则圆心为B(5,0),半径为6,设动圆的圆心为M(x,y), 则当两圆外切时,有|MB|=6+|MA|,则|MB|-|MA|=6,

符合双曲线定义,M为双曲线左支,其中2a=6,2c=10,则b=4,
x 2 y2 所以双曲线方程为 ? ?(x ? ?3). 1 9 16

4.(2012·新课标全国高考)等轴双曲线C的中心在原点,焦

点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=
4 3,则C的实轴长为(

)

(A) 2

(B)2 2

(C)4

(D)8

x 2 y2 【解析】选C.设双曲线的方程为 2 ? 2 ?(a ? 0),抛物线的准 1 a a

线为x=-4,且 AB ? 4 3, 故可得 A( ? 4,2 3),B( ? 4, ?2 3), 将点A坐 标代入双曲线方程得a2=4,故a=2,故实轴长为4.

5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(?2 3,, 0) 且长轴长是短 轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是_______. 【解析】依题意,得 c=2 3, 2a=2·2b,即a=2b,又a2=b2+

c2,解之得a=4,b=2.∴椭圆标准方程为
x 2 y2 答案: ? =1 16 4

x 2 y2 ? = 1. 16 4

x 2 y2 6.设双曲线: 2 ? ?(a>0) 的焦点为F1,F2,离心率为2,则 1 a 3

双曲线的渐近线方程是________. 【解析】由已知双曲线的离心率为2得,
2

y x 2 y2 代入双曲线方程 2 ? ? 1中得, x 2 ? ? 1,所以渐近线方程为 3 a 3

a2 ? 3 ? 2, 解得a2=1, a

3x ? y ? 0和 3x ? y ? 0.

答案: 3x ? y ? 0和 3x ? y ? 0

x2 7.直线l:y=kx+1与曲线C: ? y 2 ? 1 交于M,N两点,当|MN| 2 4 2 时,求直线l的方程. ? 3 ? y ? kx ? 1 【解析】由 ? 2 消去y得(1+2k2)x2+4kx=0,解得x1= ?x 2 ? ? y ?1 ?2 ?4k (x1,x2分别为M、N的横坐标),由|MN|= 0, x 2 ? 1 ? 2k 2
?4k 4 2 解得k=〒1,代入y=kx+1 2 1 ? k |x1 ? x| 1 ? k 2 | ? ? |? , 2 2 1 ? 2k 3

得x+y-1=0或x-y+1=0, 综上所述,所求直线方程是x+y-1=0或x-y+1=0.

x2 y2 x2 y2 8.已知椭圆 ? 2 ? 1 有公共的焦点. ? 2 ? 1 和双曲线 2 2 2m 3n 3m 5n

(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)直线l过焦点且垂直于x轴,若直线l与双曲线的渐近线围

成的三角形的面积为 3 , 求双曲线的方程.
4

【解析】(1)依题意,有3m2-5n2=2m2+3n2, 即m2=8n2,即双曲线方程为
x2 y2 ? ?1 , 16n 2 3n 2

x2 y2 故双曲线的渐近线方程是 ? 2 ? 0, 2 16n 3n

即 y ? ? 3 x.
4

(2)不妨设渐近线 y ? ? 3 x 与直线l:x=c交于点A、B,则
4
|AB| ? 3c 1 3 3 解得c=1. ,S△OAB ? c? c ? , 2 2 2 4 a 4 19 19

即a2+b2=1,又 b ? 3 ,a 2 ? 16 , b 2 ? 3 ,
19x 2 19y 2 ∴双曲线的方程为 ? ? 1. 16 3


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