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陕西省师大附中2013届高三上学期第一次模拟考试数学理试题


数学一模试题(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若复数 z ? ( x2 ? 2 x ? 3) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 A.3 2.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为 A. ? B.1 C.-3 D.1 或-3

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

3.若椭圆

x2 y 2 y2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 a2 b a b
B.

A. 3

5 2

C.

7 2

D.2

4.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 像,则只需将 f ( x ) 的图像

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图

? 个长度单位 6 ? B.向右平移 个长度单位 12 ? C.向左平移 个长度单位 6 ? D.向左平移 个长度单位 12
A.向右平移

5.设 p ∶

1 ? x2 ? 0 , q ∶ x2 ? x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的 | x | ?2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

6.新学期开始, 学校接受 6 名师大学生生到校实习 ,学校要把他们分配到三个年级,每个年级 2 人, 其中甲必须在高一年级,乙和丙均不能在高三年级,则不同的安排种数为 A.18 B.15 C.12 D.9
2 2 7.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB |

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 的值为 A. 2 B. 6 C. 2 或 ?2 D. 6 或 ? 6 8.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? A.1 B.2 C.3

a 2 ? x 2 ? x ? 2 的零点个数为
D.4

9. 在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x2 ? 2 的两点,经过两点引一条割线,有
2 2 平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆 5 x ? 5 y ? 36 相切,则抛物线的顶点坐标是

A. (-2,-9)

B. (0,-5)

C. (2,-9)

D. (1,-6)

10.已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x ) ? 2 f (2) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线

x ? 1 对称,且 f (1) ? 2 ,则 f (2013) ?
A.2 B.3 C.4 D.0

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为 20cm 的几何体的三视图,则 h= 12.已知 2+
3

cm

2 2 3 3 =2· , 3+ =3· , 3 3 8 8

4+

a a 4 4 =4· ,….若 8+ =8· t t 15 15
. 从中随 度是棉 中,其 维中任 概 率

( a , t 均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t = 13. 某 棉 纺 厂 为 了 了 解 一 批 棉 花 的 质 量 , 机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长 花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40] 频率分布直方图如图所示.从抽样的 100 根棉花纤 意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于 20mm 的 为 .

14. 在二项式 ( 3

3 x

? x) n 的展开式中, 各项的

系数和 .


比各项的二项式系数和大 992,则 n 的值为 15.不等式 3x ? 6 ? x ? 4 ? 2x 的解集为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (Ⅰ)求 ? 的值;

?
2

) cos( x ?

?
2

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?
2

) ? 3 为偶函数, 且 ? ? ?0, ? ?

(Ⅱ)若 x 为三角形 ABC 的一个内角,求满足 f ( x) ? 1 的 x 的值. 17. (本小题满分 12 分) 甲、乙两个盒子里各放有标号为 1,2,3,4 的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒中任取一小球, 记下号码 x 后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码 y . (Ⅰ)求 y ? 2 的概率; (Ⅱ)设随机变量 X ? x ? y ,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 18. (本题满分 12 分) 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, AD=PA=2, CD=2 2 ,E、F 分别是 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:平面 PCE ? 平面 PCD; (Ⅱ)求四面体 PEFC 的体积.

P

F

E
19. (本小题满分 12 分)

A

D

B

C

数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 n ?1 an

20. (本小题共 13 分) 已知 ?ABC 的边 AB 所在直线的方程

y

0) 为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , M (2, 满足 BM ? MC , , 点 T (?11) 在 AC 所在直线上且 AT ? AB ? 0 .
(Ⅰ)求 ?ABC 外接圆的方程;

T

C N
A

M

O

B

x

0) (Ⅱ)一动圆过点 N (?2, ,且与 ?ABC 的
外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹 ? 的方程; (Ⅲ)过点 A 斜率为 k 的直线与曲线 ? 交于相异的 P, Q 两点,满足 OP ? OQ ? 6 ,求 k 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)

??? ???? ?

设函数 f ( x ) ? e ?
x

k 2 x ? x. 2

(Ⅰ)若 k ? 0 ,求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 ,求实数 k 的取值范围.

数学一模(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 9 A 10 A

二、填空题: 11.4 12. 71 13.

3 10

14. 5

15. ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

三、解答题: 16.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?
?
2

)? 3

? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) ? 2sin(2 x ? ? ? ) 3
由 f ( x ) 为偶函数得 ? ?

?

?? ? k? ?

?
6

3

? k? ?

?

2

,k ?Z

,k ?Z

又 ? ? [0, ? ]?? ?

?
6

(Ⅱ)由 f ( x) ? 1 得 cos 2 x ? 又 x 为三角形内角, x ? (0, ? )

1 2

?x ?

?
6

或x ?

5? 6

17.解: (Ⅰ) P( y ? 2) ? P( x ? 2, y ? 2) ? P( x ? 2, y ? 2)

?

1 2 3 1 1 ? ? ? ? 4 5 4 5 4 (Ⅱ)随机变量 X 可取的值为 0,1,2,3
当 X =0 时, ( x, y) ? (1,1),(2, 2),(3,3),(4, 4)

? P( X ? 0) ?

1 2 1 2 1 2 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 5 4 5 4 5 4 5 5

当 X =1 时, ( x, y) ? (1, 2),(2,1),(2,3),(3, 2),(3, 4),(4,3)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? P( X ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 10 1 1 同理可得 P ( X ? 2) ? ; P( X ? 3) ? 5 10 ? 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 X

3

2 3 5 10 2 3 1 1 ? EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 5 10 5 10 18. 解(Ⅰ)? PA ? AD ? 2,? AF ? PD ? PA ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD ?

P

1 5

1 10

? PA ? CD ? AD ? CD,PA

? AF ? 平面PAD

? PD ? CD ? D, ?

? GE ? 平面PCD

? GE ? 平面PEC
(Ⅱ)由(2)知 GE ? 平面PCD,所以EG为四面体PEFC的高,

又GF // CD,所以GF ? PD 1 EG ? AF ? 2,GF ? CD ? 2 2 1 S ?PCF ? PD ? GF ? 2 2 1 2 2 得四面体PEFC的体积V ? S ?PCF ? EG ? 3 3
19.解: (Ⅰ)由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an 2 ①成立
*

∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①-②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?

∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 , 解得 a1 =1, ∴ an ? n .( n ? N )
*

(n ≥ 2)

(Ⅱ) 解:由(1)可知 bn ?

1 n2

?

1 1 1 1 ? ? ? 2 n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 20.解: (Ⅰ)? AT ? AB ? 0 ? AT ? AB ,从而直线 AC 的斜率为 ?3 . 所以 AC 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .即 3x ? y ? 2 ? 0 . ? x ? 3 y ? 6 ? 0, 由? 得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3x ? y ? 2 = 0 ???? ???? ? ? ? BM ? MC

? M (2,0)为Rt ?ABC外接圆的圆心
又 r ? AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .

( x ? 2)2 ? y 2 ? 8 . (Ⅱ)设动圆圆心为 P ,因为动圆过点 N ,且与 ?ABC 外接圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 .
所以 ?ABC 外接圆的方程为: 故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 2 ,半焦距 c ? 2 的双曲线的左支. 从而动圆圆心的轨迹方程 ? 为

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) . 2 2

(Ⅲ) PQ 直线方程为: y ? kx ? 2 ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 由?

? x 2 ? y 2 ? 2( x ? 0) ? y ? kx ? 2

得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 6 ? 0( x ? 0)

? ? ?1 ? k 2 ? 0 ? ?? ? 16k 2 ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ? 4k ? 解得: ? 2 ? k ? ?1 ? ? x1 ? x2 ? 2 ?0 k ?1 ? 6 ? ? x1 x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ? ? 2k 2 ? 2 ? ??? ???? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ?6 ? k ?1 ?
故 k 的取值范围为 (? 2, ?1)
x x 21.解: (Ⅰ) k ? 0 时, f ( x) ? e ? x , f '( x) ? e ?1 .

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (??, 0) 上单调减小,在 (0, ??) 上单调增加

故 f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 (Ⅱ) f '( x) ? e x ? kx ? 1 , f ??( x) ? e x ? k 当 k ? 1 时, f ??( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ?( x ) 在 ?0,??? 上递增, 而 f ?(0) ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,所以 f ( x ) 在 ?0,??? 上递增, 而 f (0) ? 1 ,于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 . 当 k ? 1 时,由 f ??( x) ? 0 得 x ? ln k 当 x ? (0,ln k ) 时, f ??( x) ? 0 ,所以 f ?( x ) 在 (0,ln k ) 上递减, 而 f ?(0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln k ) 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0,ln k ) 上递减, 而 f (0) ? 1 ,所以当 x ? (0,ln k ) 时, f ( x) ? 1 . 综上得 k 的取值范围为 (??,1] .


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