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2014年高二理科数学期末考试模拟试题一


2014 年高二理科数学期末考试模拟试题一
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若复数 (a 2 ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1

2. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 在点(0,1)处的切线方程为 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

7 7 6 3. 若 Cx ,则 x 的值分别是 ? C11 ? C11

A. x ? 13

B. x ? 12

C. x ? 11

D. x ? 10

4. (1 ? 2 x) 4 展开式中含 x 项的系数 A.32 B.4 C.-8 D.-32

5. 观察按下列顺序排列的等式: 9× 0+1=1, 9× 1+2=11, 9× 2+3=21, 9× 3+4=31, ……, 猜想第 n (n? N *) 个等式应为 A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C. 9n ? (n ? 1) ? 10n ? 1 B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10

6. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项,不同的报名方法的种数是 A.64 B.81 C.24
y

D.12
2

7. 曲线 y ? x 2 和曲线 y ? x 围成一个叶形图, 其面积是 A.1 B.
1 2

y?x

1

y? x

C.

1 3

D.

2 3

O

1

x

8. i 是虚数单位,则复数 A.1

2i ? 1 的虚部等于 1? i

B. ?1

C. i

D. ?i

9. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,应该
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A.假设三内角都不大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60°

B.假设三内角至多有两个大于 60° D.假设三内角都大于 60°

10. 若 AB 是过二次曲线中心的任一条弦,M 是二次曲线上异于 A、B 的任一点,且 AM、BM 均与 坐标轴不平行,则对于椭圆 结论是 K AM K BM 等于
b2 a2 a2 b2 a2 b2 x2 y 2 b2 K K ? ? ? ? 1 , 有 , AM BM a2 a 2 b2

类似地,对于双曲线

y 2 x2 ? ? 1 ,正确的 a 2 b2

A. ?a 2b2

B.

C.

?

D.

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 计算:
(1 ? i )(1 ? 2i ) =__________. 1? i

12. 已知(x2 + 1) (2x-1)9 = a0 + a1x + … + a11x11,则 a1 + a2 + … + a11 的值为

.

13. 6 名队员站成一排,如果甲不能在排头,乙不能在排尾,则共有________多少种排法(用数字作 答) . 14. 观察下列式子: 1 ? 当 n ? 2 时,有 15. 已知函数 f ( x) 满足,f (0) ?
1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ……,则可以猜想: 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4


1 1 , f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,?x ? R ,f / ( x) ? e x , 则不等式 f ( x) ? e x ? 2 2

(e ? 2.718...)的解集为_______.

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,且 f (1) ? 2 ,若 n ? N? ,求 f (n)

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17 (本小题满分 12 分) 在二项式( x +

1 n ) 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项. 4 2? x

18 (本小题满分 12 分) 已知 a 、 b 、 c 是正实数, a ? b ? c ? 1 ,求证 ab ? bc ? ac ? 9abc .

19(本小题满分 12 分) 某企业生产一品牌电视投入成本是 3600 元/台.当电视售价为 4800 元/台时,月销售 a 万台;根 据市场分析的结果表明,如果电视销售价提高的百分率为 x (0 ? x ? 1) ,那么月销售量减少的百分率 为 x 2 .记销售价提高的百分率为 x 时,电视企业的月利润是 y (元) . (Ⅰ)写出月利润 y (元)与 x 的函数关系式; (Ⅱ)试确定电视销售价,使得电视企业的月利润最大.

20 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? m ln x ? a . (Ⅰ)当 a =0 时, f ( x) ? 0 在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.
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(Ⅱ)当 m =2 时,若函数 f ( x) 在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.

21 (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=- x3+bx2+cx+bc. (Ⅰ)若函数 f (x)在 x =1 处 有极值-
4 ,试确定 b 、c 的 值; 3
1 3

(Ⅱ)若 b ? 1 , f ( x) 存在单调递增区间,求 c 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 g ( x) ? f ( x) ?
m 是 [0, ??) 上的减函数,求实数m的最小值. x ?1

2014 年高二理科数学期末考试模拟试题一答案及评分标准 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A 9 1 0

二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11 2 ? i 15 12 3 13 504 14

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 16 解:∵ f (2) ? f (1) f (1) ? 4 , f (3) ? f (1) f (2) ? 8 , (2 分) 猜想 f (n) ? 2n (6 分)下面用数学归纳法证明 (7 分) , 若 n ? k 正确,即 f (k ) ? 2k , (8 分)那么 n ? k ? 1 时 (11 分)

若 n ? 1 ,显然成立

f (k ? 1) ? f (1) f (k ) ? 2 ? 2k ? 2k ?1 也成立。
故对 n ? N? ,有 f (n) ? 2n

(12 分)

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17.解:前三项系数为 C 0 n, 由已知 = + ,





(2 分)

即 n2-9n+8=0,解得:n =8 或 n =1(舍去) . (6 分)

展开式的通项为
1 r 8? r r Tr+1= C 8 ·2 x (2· x ) ? r = C 8 r ·x
4
5 8? r 4

,r =0,1,…,8,

(8 分)

5 ∵8- r ∈Z 且 0≤r≤8,r∈Z,∴r =0,r =4,r =8, 4
1 -2 3 ∴展开式中 x 的有理项为 T1= x8 ,T5= 35 8 x ,T9= 256 x

(10 分) (12 分)
ab ? bc ? ac ?9 abc

18证明:∵ a 、 b 、 c 是正实数,∴欲证 ab ? bc ? ac ? 9abc ,只须证
1 1 1 即 ? ? ?9 a b c

(2分)

∵a ?b ? c ?1



1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c ? ? ? ? ? a b c a b c

(5分)

= (1 ?

b c a c a b ? ) ? ( ? 1 ? ) ? ( ? ? 1) a a b b c c

b a c a c b =3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b a c b c

(8分)

∵ ∴

b a b a c a c b ? ?2 ? ? 2 ,同理: ? ? 2 , ? ? 2 . (11分) a c b c a b a b
1 1 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 .成立 a b c

故有 ab ? bc ? ac ? 9abc 19 解:

( l2 分)

2 (Ⅰ)依题意,销售价提高后为 4800(1+ x )元/台,月销售量为 a(1 ? x ) 台(1 分)



y? a ( 1? 2 x )[4800 ? (x 1? )

3 6 0 0( ] 0? x ? 1 ) (3 分)
(6 分)

即 y ? 1200a(?4x3 ? x2 ? 4x ? 1) (0 ? x ? 1) (Ⅱ) y / ? 1200a(?12x2 ? 2x ? 4)

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1 2 令 y? ? 0 ,得 6 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? , x ? ? ( 舍去) . 2 3

(8 分)

1 1 当 0 ? x ? 时, y? ? 0; 当 ? x ? 1时, y? ? 0. 2 2

(10 分)

当x ?

1 时, y 取得最大值. 2 3 ? 7200 元 2

此时销售价为 4800 ?

答:电视的销售价为 7200 元时,电视企业的月利润最大. 20.解:(1)∵ x ? 1 ,由 f ( x) ? 0 ,得 m ? 令 g ( x) ?
x ln x ? 1 ,则 g ' ( x) ? ln x (ln x) 2 x 恒成立, ln x

(12 分)

(1分)

(2分)

当 x ∈(1, e )时, g ' ( x) ? 0 , x ∈( e ,+∞)时, g ' ( x ) >0 故 g ( x) 在(1, e )递减,在( e ,+∞)递增,(4分) 故当 x = e 时, g ( x) 最小值为 g (e) ? e (2)由已知可知 f ( x) ? x ? 2ln x ? a , ∴m ? e (6分)

∵函数 f ( x) 在[1,3]恰有两个不同零点,相当于函数 (7分)

? ( x) ? x ? 2 ln x 与直线 y ? a 有两个不同的交点
? ' ( x) ? 1 ?
2 x?2 ? x x

∴当 x ∈(1,2)时, ? ( x) ? 0 , ? ( x) 递减 ∴当 x ∈(2,3)时, ? ( x) ? 0 , ? ( x) 递增 ∴ ? (1)=1, ? (3)= 3 ? 2 ln 3 , ? (2)= 2 ? 2 ln 2 ? (1) ? ? (3) (10分)

? ( x) 图象如图所示
∵ ? ( x) ? x ? 2 ln x 与直线 y ? a 有两个不同的交点 ∴ 2 ? 2ln 2 ? a ? 3 ? 2ln 3 (12分)
1 3

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4 ? ?b ? 1 ?b ? ?1 ? f (1) ? ? 22.解:(1)解 ? 或? . 3 得? c ? ? 1 c ? 3 / ? ? ? f (1) ? 0 ?

(2 分)

?b ? 1 1 若? , f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 , f ?( x) ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 3 ?c ? ?1
f ( x) 在 R 上单调递减,在 x ? 1 处无极值;

?b ? ?1 1 若? , f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 , f ?( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ?1)( x ? 3) , 3 ?c ? 3 ?b ? ?1 直接讨论知, f ( x) 在 x ? 1 处有极大值,所以 ? 为所求. ?c ? 3
(4 分)

1 (Ⅱ)若 b ? 1 ,则 f ( x) ? ? x 2 ? x 2 ? cx ? c , f / ( x) ? ? x2 ? 2x ? c 3

当 ? ? 4 ? 4c ? 0 时,即 c ? ?1 , f / ( x) ? 0
f ( x) 在 R 上是单调减函数,不存在单调区间

(6 分)

? 当 ? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? ?1 时, f / ( x) 在 ? ?1 ? 1 ? c ,1 ? 1 ? c ? 为正
f ( x) 在此区间上为单调增函数,

∴ f ( x) 存在单调递增区间, c 的取值范围是 c ? ?1 (8 分)
1 1 m (Ⅲ)∵ f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 3 ,∴ g ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? 3 ? 3 3 x ?1

由题意知 g / ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ?

m ? 0 , x ??0, ??? ( x ? 1) 2

(10 分)*

令 t ? ( x ? 1)2 ,则 t ??1, ??? ,则有 m ? ?t 2 ? 4t t ??1, ??? 恒成立(13 分) 即 m ? 4 ,故实数m的最小值为4. (14分)

另解;接*式 m ? ( x ? 1)2 (? x2 ? 2x ? 3) , x ??0, ??? , 令 h( x) ? ( x ? 1)2 (? x2 ? 2x ? 3) ,则 h / ( x) = ?4( x ? 1)( x2 ? 2x ?1) 当 x ? 2 ? 1 , h( x) 取最大值,且最大值为4,得 m ? 4

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