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【步步高】2016高考数学大一轮复习 14.4不等式的证明试题 理 苏教版


【步步高】 2016 高考数学大一轮复习 14.4 不等式的证明试题 理 苏 教版
1 1 1 * 1.求证: 2+ 2+?+ 2<2(n∈R ). 1 2 n 1 证明 ∵ 2< 1

k k(k-1) k-1 k



1

1 - ,

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 2+ 2+?+ 2<1+(1- )+( - )+?+( - ) 1 2 n 2 2 3 n-1 n 1 1 =1+(1- )=2- <2.

n

n

18 2 2 2 2.已知 x +2y +3z = ,求 3x+2y+z 的最小值. 17 解 ∵(x +2y +3z )?3 +? 2? +?
2 2 2 2 2

? ?

? 1 ?2? ?? ? 3? ?

? ≥?3x+ 2y· 2+ 3z· ?

1 ?2 2 ? =(3x+2y+z) , 3?
2

当且仅当 x=3y=9z 时,等号成立.∴(3x+2y+z) ≤12, 即-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当 x=- ,y=- ,z=- 时, 17 17 17 3x+2y+z=-2 3,∴最小值为-2 3. 3.设正实数 a、b 满足 a +ab +b =3,求证:a+b ≤2. 证明 由 a +ab +b =3,得 ab =(a+b ) -3, 又正实数 a、b 满足 a+b ≥2 ab , ?a+b ? -1 即 ab ≤ ,当且仅当 a=b 时取“=”. 4 ?a+b ? -1 2 -1 ∴(a+b ) -3≤ ,∴a+b ≤2. 4 4 . 已 知 an = 1×2 + 2×3 + 3×4 + ? + n?n+1? (n ∈ N ) , 求 证 : <an<
* -1 2 -1 2 -1 -1 2 -1 -2 -1 -1 2 2 -1 -2 -1

n?n+1?
2

n?n+2?
2

.
2

证明 ∵ n?n+1?= n +n,∴ n?n+1?>n, ∴an= 1×2+ 2×3+?+ n?n+1?>1+2+3+?+n=

n?n+1?
2

.

1

∵ n?n+1?<

n+?n+1?
2



1+2 2+3 3+4 n+?n+1? ∴an< + + +?+ 2 2 2 2 1 n+1 n?n+2? = +(2+3+?+n)+ = . 2 2 2 综上得:

n?n+1?
2

<an<

n?n+2?
2

.

5.已知 x,y,z 均为正数. 求证: + +

x y z 1 1 1 ≥ + + . yz zx xy x y z

证明 因为 x、y、z 均为正数. 所以 +

x y 1?x y? 2 = ? + ?≥ , yz zx z?y x? z y z 2 z x 2 ≥ , + ≥ , zx xy x xy yz y

同理可得 +

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, 得 + +

x y z 1 1 1 ≥ + + . yz zx xy x y z

6.已知 a、b 都是正实数,且 ab=2.求证:(1+2a)(1+b)≥9. 证明 法一 因为 a、b 都是正实数,且 ab=2, 所以 2a+b≥2 2ab=4. 所以(1+2a)(1+b)=1+2a+b+2ab≥9. 法二 因为 a、b 都是正实数, 所以由柯西不等式可知 (1+2a)(1+b)=[1 +( 2a) ][1 +( b) ]≥(1+ 2ab) . 又 ab=2,所以(1+ 2ab) =9.所以(1+2a)(1+b)≥9. 法三 因为 ab=2,
2 2 2 2 2 2

? 2? ? 1? 所以(1+2a)(1+b)=(1+2a)?1+ ?=5+2?a+ ?. ?
a?

?

a?

1 因为 a 为正实数,所以 a+ ≥2

a

a· =2. a

1

所以(1+2a)(1+b)≥9. 法四 因 为 a 、 b 都 是 正 实 数 , 所 以 (1 + 2a)(1 + b) = (1 + a + a)· ?1+ + ? ? 2 2?

?

b b?

2

3 b2 3 a2b2 3 2 ≥3· a ·3· =9· . 4 4 又 ab=2,所以(1+2a)(1+b)≥9. 7.设实数 x、y、z 满足 x+2y-3z=7,求 x +y +z 的最小值. 证明 由柯西不等式,得(x +y +z )·[1 +2 +(-3) ]≥(x+2y-3z) . 7 2 2 2 ∵x+2y-3z=7,∴x +y +z ≥ . 2 当且仅当 x= = 时取等号, 2 -3 1 3 即 x= ,y=1,z=- 时取等号. 2 2 7 2 2 2 ∴x +y +z 的最小值为 . 2 8.已知 m、n 是正数,证明: + ≥m +n . 证明 ∵ + -m -n =
3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y

z

m3 n3 n m

2

2

m3 n3 n m mn

2

2

m3-n3 n3-m3 + n m
2 2 2

?m -n ??m-n? ?m-n? ?m +mn+n ? = = ,

mn

∵m、n 均为正实数, ?m-n? ?m +mn+n ? m n 2 2 ∴ ≥0,∴ + ≥m +n .
2 2 2 3 3

mn

n

m

当且仅当 m=n 时,等号成立. 9.已知 a、b、c 满足 abc=1,求证:(a+2)(b+2)(c+2)≥27. 证 明 (a + 2)(b + 2)(c + 2) = (a + 1 + 1)(b + 1 + 1)(c + 1 +

3 3 3 3 1)≥3· a·3· b·3· c=27· abc=27. 当且仅当 a=b=c=1 时等号成立. 10.已知 x、y、z 均为正数,求证: 3?1 1 1? ? + + ?≤ 3 ?x y z? 1

x2 y2 z2

1 1 + + .

证明 由柯西不等式,得 1 1 ? ?1 1 1?2 2 2 2 ?1 (1 +1 +1 )? 2+ 2+ 2?≥? + + ? .

?x
1

y

z ? ?x y z?

即 3×

x2 y2 z2 x y z

1 1 1 1 1 + + ≥ + + .

3



3?1 1 1? ? + + ?≤ 3 ?x y z?

1

x2 y2 z2

1 1 + + .

1 1 1 当且仅当 = = 时等号成立.

x y z

11.已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0. 1?? 2 1 1 ? ? (1)求证:?a+b+ ??a + + 2?≥9;

?

a??
2

b a?
2

(2)求(5-2a) +4b +(a-b) 的最小值. (1)证明 因为 a>0,b>0, 3 1 1 3 所以 a+b+ ≥3 a×b× =3 b>0, ①

2

a

a

3 1 1 1 2 同理可证:a + + 2≥3 >0.

b a

b



由①②及不等式的性质得

?a+b+1??a2+1+ 12?=3 3 b×3 3 1=9. ? ? a? b a? b ? ?? ?
(2)解 [(5-2a) +4b +(a-b) ][1 +1 +2 ] ≥[(5-2a)×1+2b×1+(a-b)×2] . 25 2 2 2 所以(5-2a) +4b +(a-b) ≥ . 6 5-2a 2b a-b 25 5 当且仅当 = = 时取等号,即 a= ,b= . 1 1 2 12 12 25 5 25 2 2 2 所以当 a= ,b= 时,(5-2a) +4b +(a-b) 取最小值 . 12 12 6 12.已知 a,b 为正实数. (1)求证: + ≥a+b; ?1-x? x (2)利用(1)的结论求函数 y= + (0<x<1)的最小值. x 1-x (1)证明 法一 ∵a>0,b>0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a2 b2 b a

?a b ? 2 2 a b ∴(a+b)? + ?=a +b + + ?b
a? b
≥a +b +2ab=(a+b) .
2 2 2

2

2

3

3

a

∴ + ≥a+b,当且仅当 a=b 时等号成立. 法二 ∵ + -(a+b)=

a2 b2 b a

a2 b2 b a

a3+b3-a2b-ab2 ab
4



a3-a2b-?ab2-b3? a2?a-b?-b2?a-b? = ab ab
2

?a-b? ?a+b? = .

ab

?a-b? ?a+b? 又∵a>0,b>0,∴ ≥0,

2

ab

当且仅当 a=b 时等号成立.∴ + ≥a+b. (2)解 ∵0<x<1,∴1-x>0, ?1-x? x 由(1)的结论,函数 y= + ≥(1-x)+x=1. x 1-x 1 当且仅当 1-x=x,即 x= 时等号成立. 2 ?1-x? x ∴函数 y= + (0<x<1)的最小值为 1. x 1-x
2 2 2 2

a2 b2 b a

5


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