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2013年上海市普通高中学业水平考试数学卷


2013 年 上 海 市 普 通 高 中 学 业 水 平 考 试
数学试卷
(考试时间:90 分钟,满分 120 分) 一、填空题 ? 3? ?12 ? 36? ? 1、 函数 y ? log 2 ? x ? 2 ? 的定义域是 2、 方程 2 x ? 8 的解是 3、 抛物线 y ? 8 x 的准线方程是
2

D A

C B

4、 函数 y ? 2sin x 的最小正周期是

v v v v 5、已知向量 a ? ?1, k ? , b ? ?9, k ? 6 ? , 若 a P b ,则实数 k ?
A1

D1 B1

C1

6、函数 y ? 4sin x ? 3cos x 的最大值是 7、复数 2 ? 3i 的模是 8、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 5, c ? 8, B ? 60 ,则 b ?
0

9、在如图所示的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 A1 B, B1C 所成角的大小为 10、从 4 名男同学和 6 名女同学中随机选取 3 人参加某社团活动,选出的 3 人中男女同学都有的概率 为 (结果用数值表示) 11、若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则该数列的前 n 项和 S n ? _________ 12、36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36 ? 2 ? 3 ,所以 36 的所有正约数之和为
2 2

?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2
2 2

2

? 22 ? 3 ? 22 ? 32 ? ? ?1 ? 2 ? 22 ??1 ? 3 ? 32 ? ? 91 ,参照上述方法,

可求得 2000 的所有正约数之和为 二、选择题 ? 3? ?12 ? 36? ? 13、展开式为 ad ? bc 的行列式是 A、 ( ; C、 )

a b d c



B、

a c b d

a d b c



D、

b a d c
( )

14、设 f A、 f
?1

?1

? x ? 为函数 f ? x ? ?
B、 f

x 的反函数,下列结论正确的是
?1

? 2? ? 2 ;

? 2? ? 4 ;

C、 f

?1

? 4? ? 2 ;

D、 f

?1

? 4? ? 4
( )

15、直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是

1

A、 ? 2, ?3? ; 16、函数 f ? x ? ? x
y
? 1 2

B、 ? 2,3 ? ; 的大致图像是
y

C、 ? ?3, 2 ? ;

D、 ? 3, 2 ? ( )

y

y

0

A

x

0

B

x

0

C

x

0

D

x

17、如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A、

( C、 ?ab ? ?a ;
2



1 1 ? ; a b

B、 ab ? b ;
2

D、 ?

1 1 ?? a b
( )

18、若复数 z1 , z2 满足 z1 ? z2 ,则 z1 , z2 在复平面上对应的点 Z1 , Z 2 A、关于 x 轴对称;
10

B、关于 y 轴对称;

C、关于原点对称;

D、关于直线 y ? x 对称 ( )

19、 ?1 ? x ? 的二项展开式中的一项是 A、 45x ; B、 90 x ;
2

C、 120 x ;

3

D、 252 x

4

20、既是偶函数又在区间 ? 0, ? ? 上单调递减的函数是 A、 y ? sin x ; B、 y ? cos x ; C、 y ? sin 2 x ; D、 y ? cos 2 x





21、若两个球的表面积之比为 1: 4 ,则这两个球的体积之比为 A、 1: 2 ; B、 1: 4 ; C、 1:8 ; 22、设全集 U ? R ,下列集合运算结果为 R 的是 A、 Z ? ? UN; B、 N ? ? UN ; C、 痧 U

( D、 1:16 ( D、 ? U ?0? (

) )

?
2

U

?? ;

2 23、已知 a, b, c ? R , “ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的



A、充分不必要条件;

B、必要不充分条件;

C、充要条件;

D、非充分非必要条件

24、 已知 A, B 为平面内两定点, 过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线, 垂足为 N , 若 MN ? ? AN ? NB , 其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是 A、圆; B、椭圆; ( C、抛物线; D、双典线 )

???? ?2

???? ??? ?

三、解答题 ? 7? ? 2 ? 8? ? 13? ? 2 ? 48? ? 25、如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 6 ,异面直线 BC1 , AA1 所成角的大小为 的体积

? ,求该三棱柱 6

2

A1

C1

A
B1

B

C
A C

B

26、如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地,其中 ?B 为直角, AB ? 40m, BC ? 50m 。现欲在 此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且 B 为矩形的一个顶点,求健身房的最大占地面积

27、已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? ?n 2 ? n ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2 n ,求 lim ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
a
n ??

3

28、已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? ,短轴的两个端点分别为 B1 , B2 (1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴为 2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直线 l 的方程

????

????

29、在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴的正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 xn ,且 ? xn ? 是首项
* 为 1、公比为 2 的等比数列,记 ?P n AP n ?1 ? ? n , n ? N

y
A

(1)若 ?3 ? arctan

1 ,求点 A 的坐标; 3

(2)若点 A 的坐标为 0,8 2 ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值
O P1 P2 P3 P4

?

?

???????????????

x

4


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