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直线与圆学案


3.1 直线的倾斜角与斜率
一、学习重、难点 学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围. 二、课题引入: 问题 1:对平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由那些条件确定?(两点) 问题 2:一点能确定一条直线吗?经过一点的直线的位置能够确定吗?它的位置会怎样? (观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜) 直线在倾斜时与那个量有关? 怎样描述直线的倾斜程度呢? 问题 3:什么是直线的倾斜角?它的范围怎样? ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, 叫做直线 l 的 倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... ②范围:倾斜角α 的取值范围是 特别:当 时,称直线 l 与 x 轴垂直 问题 4:除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗?什么是直线的斜率?只有倾斜角或斜率 能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件? (1)直线的斜率:一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常 用小写字母 k 表示,即 k = . ①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α = , k = ; ②当直线 l 与 x 轴垂直时,α = , k . (2)直线的斜率公式: ①已知直线的倾斜角α ,则 k= ②经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线: 若 x1≠x2,则直线 P1P2 的斜率存在,k= 若 x1=x2,则直线 P1P2 的斜率 ③已知直线方程,将方程化成斜截式 y=kx+b,则 x 项的系数就是斜率 k,也可能无斜率. 问题 5:直线的倾斜角和斜率有什么关系?它们是一一对应的吗?(牢记公式) (1)

当? ? ( 0, 当? ? (

?
2

) 时,k ? 0, k随?的增大而增大,k也随?的增大而增大;

?
2

,? )时,k ? 0, k随?的增大而增大,但k随?的增大而减小;

当? ? 0 时,k ? 0;当? ?

?
2

时,斜率不存在。

(2)平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有,倾斜角为 90°的直线没有斜 率,在使用斜率来研究直线时,经常要对直线是否有斜率分情形讨论. (3)倾斜角和斜率都是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是直接反映这种倾斜程度 的,斜率等于倾斜角的正切值,在以后的学习中将体会到,研究直线时,使用斜率常常比使用倾斜角 更方便. 课堂小练 1.已知直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角是 .

2.过点 M(–2, a), N(a, 4)的直线的斜率为– A.–8 B.10 C.2 D.4

1 ,则 a 等于 2

( )

3.试求 m 的值,使过点 A ? m,1? , B ? ?1, m ? 的直线与过点 P ?1, 2 ? , Q ? ?5, 0 ? 的直线 (1)平行 (2)垂直

4. 两条直线平行与垂直的判定 ①两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等; 反之, 如果它们的斜率相等, ........ 那么它们平行,即 ; ②两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为 ........ 负倒数,那么它们互相垂直,即 三、达标训练: 1.如图,图中的直线 l1、l 2、l3 、的斜率分别为 k1, k2 ,k3,则( ) .
y l2 l3 x l1

A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2 2、若经过 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1,则 m=( ) A、1 B、4 C、1 或 3 D、1 或 4 3、直线 ? 经过原点和(-1,1) ,则它的倾斜角为( ) A、45° B、135° C、45°或 135° D、-45° 4、△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 5、若经过点 P(1- a ,1+ a )和 Q(3,2 a )的直线的倾斜角为钝角,求实数 a 的取值范围. 6.已知直线 l1 过点 A(2,-1)和 B(3,2) ,直线 l 2 的倾斜角是直线 l1 倾斜角的 2 倍,求直线 l 2 的斜 率.

7.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值

8.已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标.

9.已知四边形 ABCD 的顶点为 A ? m, n ? , B ? 6,1? ,

C ? 3,3? , D ? 2,5 ? ,求 mn 的值,使四边形 ABCD 为直角梯形.

10.当斜率 k 的范围如下时,求倾斜角 ? 的变化范围:

(1)k ? ?1

(2)k ? 1

(3) ? 3 ? k ? 3

11.设直线 L 过坐标原点,它的倾斜角为 ? ,如果将 L 绕坐标远点按逆时针方向旋转 45? ,得到直线 L1 那么 L1 的倾斜角为 ( ) A. ? ? 45? B. ? ?135 ? C. 135 ? ? ? D. 当? ? ?0, ?)时,为? ? 45?;当? ? ? ?,?) ,为? ? 135 ?

3 4

?3 ?4

12.已知 A(1,-1) ,B(2,2) ,C(3,0)三点,求点 D 的坐标,使直线 CD ? AB, 且 CB//AD.

13.已知两点 A(-3,4) ,B(3,2) ,过点 P(2,-1)的直线 L 与线段 AB 有公共点,求直线 L 的斜率 k 的取值范围

变式:若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能够成三角形,求实数 k 的取值范围。

四、课后作业 1.下列命题正确的个数是 ( ) 1) 若 a 是直线 L 的倾斜角,则 0? ? a ? 180? 2)若 k 是直线的斜率,则 k ? R 3)任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率 4)任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角 A.1 B.2 C.3 D.4 2.直线 L 过 (a, b) , (b, a) 两点,其中 a ? b, ab ? 0 则 A.L 与 x 轴垂直 B. L 与 y 轴垂直 ( ) D.L 的倾斜角为 135 ? )

C.L 过原点和一,三象限

3.已知点 A(1,1 ? 2 3 ), B(?1,1) ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半, L 的斜率为 ( 则

A.1

B.

3 3

C. 3

D.不存在 ( )

4.直线 L 经过二、三、四象限,L 的倾斜角为 a,斜率为 k,则

B..k cosa ? 0 C.k sin a ? 0 12 5.已知直线 L 的倾斜角为 a, cos a ? ,则此直线的斜率为 13
6.若 A(1 ? a,?5), B(a,2a), C (0,?a) 三点共线,则 a=

A.k sin a ? 0

D.k cosa ? 0


7.已知四边形 ABCD 的顶点为 A(m, n), B(6,1), C (3,3), D(2,5) ,求 m 和 n 的值, 使四边形 ABCD 为直角 梯形。

3.2 直线的方程
一、学习重点、难点:直线的点斜式方程和斜截式方程,直线方程两点式。 直线方程的一般式。 二、学习过程: 问题 1、在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?

y P P0

问题 2、 直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) , 且斜率为 k 。 设点 P ( x, y ) 是直线 l 上

O
的任意一点,请建立 x, y 与 k , x0 , y 0 之间的关系。 问题 3、 (1)过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程(1) (2)坐标满足方程(1)的点都在经过 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上 1、点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 问题 4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢? 问题 5、 (1) x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么?
O

x

吗?
y P0

.

x

(2)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么? (3)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是什么?

y P0

例1直线l经过点P(-3,2),且倾斜角为? =45?,求直线l的点斜式方程, . 并画出直线l
问题 7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。 问题 8、观察方程 y 问题 9、直线 y
O x

? kx ? b ,它的形式具有什么特点?

? kx ? b 在 x 轴上的截距是什么?

2.斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 . 注意:点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜角 为 90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 . 例 2.直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 。试讨论: (1) l1 , l2 平行的条件是什么? (2) l1 , l2 垂直的条件是什么?

练习: (1).写出满足下列条件的直线方程 ①经过点 D ? ?4, ?2 ? , 倾斜角是 120° ②斜率是-2,在 y 轴上的截距是-4 ③过点 P ? 2,1? , P2 ? 0, ?3? , 1 ④在 x 轴,y 轴上的截距分别是

3 , ?3 2
,该直线的斜率是 ,在 x 轴上的截距是 .

(2).直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式为

问题 10、利用点斜式解答如下问题:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) 其中 ( x1 1 求通过这两点的直线方程。 3.两点式:直线 l 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,其方程为 1 问题 11、 若点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) 中有 x1 1

? x2 , y1 ? y2 ) ,
.

? x2 ,或 y1 ? y 2 ,此时这两点的直线方程是什么?

例 3 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,求直线 l 的 方程。 4.截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 注意:两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. 当 x1 ? x2 时,直线方程可表示为; ; 当 y1 ? y2 时,直线方程可表示为; ; 练习(1)过点(5,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_______________.(易错题) (2) 经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。 ..

问题 12、 (1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示吗? (2)每一个关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? 5.一般式:所有直线的方程都可以化成
Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式方程

By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)都表示一条直线吗?
________ ,注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程

___

,表示斜率为

, 轴上截距为 y

的直线.

问题 13、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点? 问题 14、在方程 Ax ?

By ? C ? 0 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线

(1)平行于 x 轴; (2)平行于

y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合; (5)过原点。

三、达标测试

1.写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1)斜率是 2 ; (2)经过点B(- 2 ,2),倾斜角是30?; 2.写出下列直线的斜截式方程: 3 ,在y轴上的截距是-2; 2 (2)斜率是-2,在y轴上的截距是4 (1)斜率是 3.求过下列两点的直线的两点式方程; (1)A(2,1),B(0,-3) 4.根据下列条件求直线的方程: (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3; (2)在x轴上的截距是-5,在y轴上的截距是6. 5.判断下列各对直线是否平行或垂直: (1)l1 : y ? 1 1 5 3 x ? 3, l2 : y ? x ? 2; (2)l1 : y ? x, l2 : y ? ? x 2 2 3 5

6.已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程。
7.已知△ABC 在第一象限,若 A(1,1),B(5,1),∠A=60°∠B=45°,求: (1) AB 所在直线的方程; 边 (2) 边 AC 和 BC 所在直线的方程.

8. 三角形 ABC 的三个顶点 A(-3,0) B(2,1) C(-2,3) 、 、 ,求: (1)BC 边上中线 AD 所在直 线的方程; (2)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

9. (1)求经过点 A(3, 2) 且与直线 4x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (2)求经过点 B(3,0) 且与直线 2x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程.

10. 过点 P(2,1)作直线 l 交 x 、y 正半轴于 A、B 两点,当△ABO 的面积取到最小值时,求直线 l 的 方程.

四、课后作业 1.过两点 (?1,1) 和 (3,9) 的直线在 x 轴上的截距为( ) 3 2 2 A. ? B. ? C. D. 2 2 3 5 2.已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4, 2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的直线 l 的方程是 ( ) A. 2x ? 3 y ? 4 B. 2x ? 3 y ? 0 C. 3x ? 2 y ? 4 D. 3x ? 2 y ? 0 3.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A. 4x ? 2 y ? 5 B. 4x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5 D. x ? 2 y ? 5 4. 设点 P ? x0 , y0 ? 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,求证这条直线方程可以写成 A ? x ? x0 ? ? B( y ? y0 ) ? 0 .

5. 已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式
一、学习重点、难点: 1、判断两直线是否相交,求交点坐标; 2、平面内两条直线位置关系; 3、距离公式。 二、学习过程 (一) 交点坐标: 1.点 A(a,b)在直线 L:Ax+By+C=0 上,则满足条件: 问题 1、已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 如何求它们的交点坐标呢?
? A x ? B1 y ? C1 ? 0 2.一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ? 1 . 若方程组有惟一解,则 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若 方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 例 1、求下列两条直线的交点坐标:l1:3x+4y-2=0

l2:2x+y+2=0

例 2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:3x+4y-2=0

l2:2x+y+2=0

探究: 当?变化时,方程3x+4y-2+?(2x+y+2)=0表示什么图形?图形有何特点?

3. 方 程 A1 x ? B y? C ?? ( A x? B y C ?0 为 直 线 系 , 所 有 的 直 线 恒 过 一 个 定 点 , 其 定 点 就 是 ) 1 1 2 2 ? 2
A1 x ? B y? C ?0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. 1 1

(二)利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 问题 2、已知方程组 A1x+B1y+C1=0 (1) A2x+B2y+C2= 0 (2) 当 A1,A2,B1,B2 全不为零时,方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系? 4.对于直线: l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有: ⑴ l1 // l2 ? ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ; ; ⑵ l1 和 l 2 相交 ? ⑷ l1 ? l2 ? ; ;

5.已知两直线 l1 , l2 的方程为 l1 : A1 x + B1 y + C1 =0, l 2 : A2 x + B2 y + C2 =0,则两直线的位置关系如下 ⑴ l1 // l2 ? ; ⑵ l1 和 l 2 相交 ? ;

⑶ l1 和 l 2 重合 ? 课堂练习:



⑷ l1 ? l2 ?

.

(1)两直线 l1 : ( 2 ? 1) x ? y ? 2 , l2 : x ? ( 2 ? 1) y ? 3 的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合 .

(

)

(2)若直线 l1:  ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m ? 2x (3)与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程是( ) A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 5 ? 0

(4)若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的斜率的取值范围 是 ,该直线的倾斜角的取值范围是 . (5)求经过两条直线 2x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线方程.

(6)求经过两条直线 x+2y-1=0 和 2x-y-7=0 的交点,且垂直于直线 x+3y-5=0 的直线方程

(7)已知直线 l1 :3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 :x+6my-4=0 问 m 为何值时: (1). l1 与 l 2 相交;(2)l1 与 l 2 平行;(3) l1 与 l 2 垂直;

(8)光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线方程.

(三)距离公式 1. 平面内两点 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为 P P 2 = 1 1 当 P , P2 所在直线与 x 轴平行时, P P 2 = 1 1 当 P , P2 所在直线与 y 轴平行时, P P 2 = 1 1 ; ;

.特别地:

例 1 求点 P(-1,2)到直线①2y+3=0;②3x=2; ③2x+y-10=0 的距离。

问题 1:已知点 P(x0,y0),直线 l:Ax+C=0,求点 P 到直线 的距离.

问题 2:已知点 P(x0,y0),直线 l:By+C=0,求点 P 到直线 的距离.

问题 3:已知点 P(x0,y0),直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 的距离.

2. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ? 问题 4:两条平行直线间的距离的定义 问题 5:设直线 l1∥l2,如何求 l1 与 l2 之间的距离? 问题 6:求 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 两平行线间距离公式

.

3. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之 间的距离公式 d ? .

例 2、已知直线,l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-l=0,ll 与 l2 是否平行?若平行求 ll 与 l2 间的距离。

由上面的例题可知,两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离,取点时可考虑取 x 轴上的点 或 y 轴上的点,运算可以简便点。 例 3、已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求△ABC 的面积

达标检测: 1. 已知点 M (?1,3), N (5,1) ,点 P( x, y) 到 M、N 的距离相等,则点 P( x, y) 所满足的方程是( A. x ? 3 y ? 8 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0



C. x ? 3 y ? 9 ? 0 D. x ? 3 y ? 8 ? 0 2. 直线 l 过点 P(1,2),且 M(2,3),N(4,-5)到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是( ).
A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0 C. 2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0 3.两条平行线 与y?

6 x ? 4 y ? ?5

3 x 2

间的距离是

4.直线经过原点,且点 M(5,0)到直线 l 的距离等于 3,求 l 的方程

5. 求与直线 l: x ? y ? 2 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 2 的直线的方程.

6.直线 l 过点(1,2)且两点(2,-3),(4,-5)到 l 的距离相等,求 l 的方程

1 10 7. 求过直线 l1 : y ? ? x ? 和 l2 : 3x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 3

8. 求点 P(2,-4)关于直线 l:2x+y+2=0 的对称点坐标.

9.△ABC 的一个顶点是 A(3,-1), ∠B, ∠C 的内角平分线所在的直线方程分别为 x=0 和 y=x, 求顶点 B、C 坐标·

10. 已知 P 点坐标为 (2,3) ,在 y 轴及直线 y ?

1 x 上各取一点 R 、Q ,使 ?PQR 的周长最小,求 Q 、 2

R 的坐标.

直线方程习题课
一、知识链接: 1、求直线斜率的方法 ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα . ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) P2(x2,y2) 、 ,且 x1≠x2,则斜率 k= 2. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及适用范围。

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

3、两条直线的位置关系

注:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程是 Ax+By+m=0 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程是 Bx-Ay+n=0 二、例题讲解: 题型一:直线方程的应用 例 1.(点斜式) 直线 l 在 y 轴上的截距为 3,且倾斜角 ? 的正弦值为

4 ,求直线 l 的方程。 5

注:1.求解本例时不要混淆概念,倾斜角应在 [0 , ? ) 内,从而 cos? 有两个解。

2.在求直线方程时,不论选取何种方法,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式. 变式: (注意直线方程的设法) 求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分 别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平行, (2)垂直的直线方程。

题型二:点到直线距离的应用 例 2、求过点 P(-1,2)且与点 A(2,3)和 B(-4,5)距离相等的直线 l 的方程。

例 3.(对称问题)已知点 A 的坐标为(-4,4) ,直线 l 的方程为 3 x + y -2=0,求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 l 关于点 A 的对称直线 l ? 的方程.

练习:一条光线从点 P(6,4)射出,与 X 轴相交于点 Q(2,0),经 X 轴反射,求入射光线和反射光线所在的 直线方程.

题型三:直线过定点问题及应用 1 由“y-y0=k(x-x0)”求定点 把含有参数的直线方程改写成 y-y0=k(x-x0)的形式,这样就证明了它所表示的所有直线必过定 点(x0,y0) 2 由“l1+λl2=0”求定点 在平面上如果已知两条相交直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1、l2 交点的直线系 方程是:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 其中 λ 为参数,并简写为 l1+λl2=0. 根据这一道理,可知如果能把含有参数的直线方程改写成 l1+λl2=0 的形式,这就证明了它表示的 直线必过定点,其定点的求法可由 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 解得。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0


例 4、直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 经过一定点,则该定点的坐标为: ( A. (?2, 1) B. (2, 1) C. (1 ? 2) ,

D. (1, 2)

三、达标测试 1.下面命题中正确的是??????( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示. B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b


D.经过点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 2. 已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是: (

A.4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 13 26

3.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为( ) (A)2x-3y=0; (B)x+y+5=0; (C)2x-3y=0 或 x+y+5=0 (D)x+y+5 或 x-y+5=0 4.与直线 l:3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为( ) (A)3x+4y-5=0 (B)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0 5.点 (a, b) 关于直线 x+y=0 对称的点是( A、 (?a, ?b) B 、 (a, ?b) ) C、 (b, a) D、 (?b, ?a)

6.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的斜 率为( )

(A)- ;

1 3

(B)-3;

(C) ;

1 3

(D)3

7.方程( a -1)x-y+2 a +1=0( a ∈R)所表示的直线 ( ) A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 8.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(




3x-y-8=0 3x-y+6=0

B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0 。

C

9.已知 P(3,m )在过 M(2,-1)和 N(-3,4)的直线上,则 m 的值是

已知 △ABC 中, A(3, , B(?1 5) ,C 点在直线 3x ? y ? 3 ? 0 上,若 △ABC 的面积为 10 ,则点 C 2) , 坐标为 .

10.

已知两条直线l1 : x ? (1 ? m) y ? 2 ? m , l2 : 2mx ? 4 y ? ?16. m为何值时,l1与l2:

(1)相交;(2)平行;(3)垂直。

11. 一直线过点 P(2, ,且点 Q (?2, 0)

4 3 ) 到该直线距离等于 4 ,求该直线倾斜角. 3

12. 求经过两直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且与直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂 直的直线 l 的方程.

13. 直线 l 与直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 分别交于点 M , N ,若 MN 的中点是 (0, ,求直 1) 线 l 的方程.

4.1 圆的标准方程
一、学习重点、难点:圆的标准方程; :圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化, 根据已知条件确定方程中的系数 D、E、F。 二、圆的定义:平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径. 三、学习过程: 问题 1:已知在平面直角坐标系中,圆心 A 的坐标用(a,b)来表示,半径用 r 来表示,则我们如何 写出圆的方程?

1. 圆心为 A(a,b) ,半径长为 r 的圆的方程可表示为 问题 2:圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 例 1:1、写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是 3; (3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) (x-1) + y = 6
2 2

,称为圆的标准方程.

(2) 圆心在 C(3,4),半径是 5

(2) (x+1) +(y-2) = 9

2

2

(3) ( x ? a) ? ( y) ? a
2 2

2

例 2: 写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程, 判断 M 1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。

问题 3:点 M0(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 上、内、外的条件是什么? 2. 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

2

2

2

(1)当满足 (2)当满足 (3)当满足

时,点在圆外; 时,点在圆上; 时,点在圆内.

例 3、△ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程

例 4、已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标 准方程.

注:比较例 3、例 4 可得出 △ABC 外接圆的标准方程的两种求法: (1)根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. (2)根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程. 2 2 2 2 问题 4: 方程 x +y -2x+4y+1=0 表示什么图形?方程 x +y -2x-4y+6=0 表示什么图形? 问题 5:方程 x +y +Dx+Ey+F=0 在什么条件下表示圆? 问题 6:什么是圆的一般方程? 3. 圆的一般方程为 圆的一般方程的特点: ① x2 和 y2 的系数相同,不等于 0; ② 没有 xy 这样的二次项; ③ D ? E ? 4F ? 0
2 2
2 2

, 其中圆心是

,半径长为

.

问题 7:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

典型例题: 4.求圆的方程常用待定系数法:大致步骤是: ①根据题意,选择适当的方程形式; ②根据条件列出关于 a,b,c 或 D,E,F 的方程组; ③解出 a,b,c 或 D,E,F 代入标准方程或一般方程. 另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用. 例 5:利用待定系数法求解例 3

例 6:已知:线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在(x+1) +y =4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

2

2

变式:已知一曲线是与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)距离比为 线。

1 的点的轨迹,求此曲线的方程并画出曲 2

六、达标检测 1、已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3 B
k ? ?2
2 2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( 4 C -2<k<3 D k>3 或 k<-2
) D.半圆

)

2、方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是( A.一个圆
2 2

B.两个半圆

C.两个圆
2

3、动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 4、如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么
2 2

.

y 的最大值是________。 x
2 2

5、求下列各题的圆心坐标、半径长 2 2 (1)x +y -6x=0 (3) x +y -2 a x-2 3 y+3 a =0
2 2 2

(2) x +y +2by=0

6、下列各方程各表示什么图形? 2 2 2 2 2 2 2 (1)x +y =0 (2)x +y -2x+4y-6=0 (3) x +y +2 a x-b =0 7、已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程,试判断点 M(6,9)、N(3,3)、 Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?

8、求圆心 C 在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

9、已知圆 C:x?+y?-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程

10. 如图,等腰梯形 ABCD 的底边长分别为 6 和 4,高为 3,求这个圆的圆方程. y D E A O B x C

2 11. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线段 AB 的中 2

点 M 的轨迹方程.

4.2.1 直线与圆的位置关系
一、学习重、难点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 二、知识链接 1、点和圆的位置关系有几种? 设点 P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到 P(x0,y0) 的距离为 d,则 点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2 点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 d<r, d=r, d>r. 轮船 港口

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70KM 处,受 影响的范围是半径为 30KM 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40KM 处,如果轮船不改变航线, 那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 三、学习过程 问题 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? 问题 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢? 问题 3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?

例1 已知直线l : 3x ? y ? 6 ? 0和圆心为C的圆x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0, 试判断直线l与圆的位置 关系; 如果相交, 求它们交点的坐标.

问题 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗? 1. 直线与圆的位置关系有: 、 2.直线与圆的位置关系的判断方法: 、 三种形式.
Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

(1)几何法——比较圆心距与圆半径 r 的大小.圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

(2)代数法——由直线与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

,消去一个未知数得方程

ax2 ? bx ? c ? 0 利用方程的解个数,得直线与圆的交点个数来判断位置关系.
①相交 ? ②相切 ? ③相离 ? 例 2、

? ? ?

; ; .

已知圆C : x 2 ? y 2 ? 4和直线l : y ? x ? b ,b为何值时, 直线l与圆C

?1? 相交,? 2? 相切, ? 3? 相离.

例 3、已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 =4 及直线 l:x-y+3=0,则直线 l 被 C 截得的弦长为

.

3. 直线被圆所截得的弦长公式 │AB│=2 r ? d (垂径分弦定理) (其中 r 表示圆的半径, d 表示圆心到直线的距离)
2 2

变式:已知过点M (?3, ?3)的直线l 被圆x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长为4 5, 求直线l的方程.

例 4、经过点 P(2,1) 引圆 x +y =4 的切线,求:⑴切线方程,⑵切线长.

2

2

变式:将 P 点坐标变为 P(1 , 3)

4、求圆的切线方程: (1)已知过圆外一点做圆的切线,有两条,用先设直线方程(点斜式)后求,注意讨论斜率是否存 在; (2)已知过圆上一点做圆的切线,有且只有一条,可以先求出该直线的斜率,在写直线方程;

结论:经过圆上一点 M(x0,y0)作圆(x-a) +(y-b) =r 的切线时,切线方程为 2 (x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)= r 例 5、求与 x 轴相切,圆心在直线 3x ? y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长等于 2 7 的圆的方程.

2

2

2

四、达标检测 1、从点 P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1 作切线,则切线长度的最小值是( A. 4 B. 2 6 C.5 D. 5.5 ) )

2、M(3.0)是圆 x2+y2-8x-2y+10=0 内一点,则过点 M 最长的弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 )

3、直线 l: x sin ? ? y cos ? ? 1 与圆 x2+y2=1 的关系是( A.相交 4. 若直线 B.相切 C. 相离 D.不能确定 )
1 1 ? 2 ≤1 2 a b

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则( a b

A. a2 ? b2 ≤1

B. a2 ? b2 ≥1

C.

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

5、设点 P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4 内部一点,则以 P 为中点的弦所在的直线方程是_______ 6.已知直线 y=x+1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A,B 两点,求弦长|AB|的值
2 2

3 7. 一直线过点 P(?3, ? ) ,被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程 2

P ? ?1, 2 ? P 8. 已知圆 x ? y ? 8 内有一点 0 , 为过点 0 且倾斜角为α 的弦. 1) AB ( 当α =135°时,
2 2

求 AB 的长; (2)当弦 AB 被

P0

平分时,写出直线 AB 的方程.

9. 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1, Q 是 x 轴上的动点, QA 、 QB 分别切圆 M 于 A, B 两点
2 2

(1)若点 Q 的坐标为(1,0) ,求切线 QA 、 QB 的方程 (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值

(3)若 AB ?

4 2 ,求直线 MQ 的方程 3

10、求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程. 5. 求过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切的圆的方程:

4.2.2 圆与圆的位置关系
一、学习重点、难点:圆与圆的位置关系. 二、知识链接 1.直线与圆的位置关系: 相离、相交、相切 2.判断直线与圆的位置关系有哪些方法? (1)根据圆心到直线的距离; (2)根据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数; 3.圆与圆的位置关系有哪几种?(作图说明)

如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系,我们将进一步探究. 三、学习过程 问题 1:圆与圆的位置关系 两个大小不等的圆,其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种,在平面几何中,这些位置 关系是如何判定的? 问题 2:判断圆和圆的位置关系的方法 1. 两圆的的位置关系 (1)几何法:设两圆半径分别为 r1 , r2 ,圆心距为 d 若两圆相外离,则 若两圆相外切,则 若两圆相交,则 若两圆内切,则 若两圆内含,则
2

,公切线条数为 ,公切线条数为 ,公切线条数为 ,公切线条数为 ,公切线条数为
2 2 2

(2) 代数法:设两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,联立方 程组,由方程组解的个数来判断两圆之间的位置关系。若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程

是 例 1、判断下列两圆的位置关系:

(1)(x+2)2+(y-2)2=1 与(x-2)2+(y-5)2=16

(2)x2+y2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0

例 2、 求经过两圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点,并且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上 的圆的方程.

六、达标测试 1. 已知圆 C1 :( x ? 1) + ( y ? 1) =1, C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 圆 则圆 C2 的方程为 ( )
2 2

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2 2
2

2

2

2

2

2.两个圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y -2=0 与 C2 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y +1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3.圆 C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 =9 与圆 C2 : ( x ? 1)2 + ( y ? m)2 =4 外切,则 m 的值为( ). A. 2 B. -5 C. 2 或-5 D. 不确定

).

4.已知两圆相交于两点 A(1,3), B(m,?1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,则 m ? c 的值是( ) A.-1 B.2 C.3 D.0 )条

5. 在平面内,与点 A(1,2) 距离为 1, 与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条

6.两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 及 x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0 的公共弦所在直线方程为 7. 求与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y -12 x -12 y +54=0都相切的半径最小的圆的标准
2 2

方程是_________. 2 2 2 2 8、x +y =m 与圆 x +y +6x-8y-11=0 相交,求实数 m 的范围 2 2 9、已知以(-4,3)为圆心的圆与 x +y =1 相切,则圆 C 的方程________________. 2 2 10、求过点 A(0,6)且与圆 x +y +10x+10y=0 切于原点的圆的方程。

11. 求圆 x 2 ? y 2 -4=0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长.

直线与圆方程的习题课
一、学习重点、难点: 直线与圆的方程的应用. 二、知识链接: 1,回忆各种直线方程的形式,说清其特点及不足。 2 2 2 2,圆的标准方程是:(x-a) +(y-b) =r 圆心(a,b);半径:r. 3,你能说出直线与圆的位置关系吗? 三、学习过程 问题的导入: 问题 1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗? 直线与圆的方程的应用是非常广泛的,下面我们看几个例子 典型例题 1.标准方程问题: 2 2 例 1:圆(x-2) +(y+3) =4 上的点到 x-y+2=0 的最远距离 最近的距离 。 2 2 2.轨迹问题:例 2:过点 A(4,0)作直线 L 交圆 O:x +y =4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程

3.弦长问题:例 3: 直线 L 经过点(5,5),且和圆 x +y =25 相交,截得的弦长为 4 5 , 求直线 L 的方 程。

2

2

4.对称问题:例 4:求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2 ? 对称的圆的方程.
2 2

5.实际应用问题 例 5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20cm,拱高 OP=4m,建造时每间 隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m).

P2 P
4m

6.用代数法证明几何问题 例 6. 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

B C O A

7、求圆的切线的常见形式: 例 7: (1). 求过点 P( -3 , 2 ),与圆 x2+y2=13 相切的直线方程. (2). 求过点 P( -5 , 9 ),与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13 相切的直线方程. (3). 设圆的方程 x2+y2=13,它与斜率为 ? 2 的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.
3

D

8、求圆的方程的常用方法: 例 8:(1). 一个圆经过点 P( 2,-1 ), 和直线 x- y =1 相切,并且圆心在直线 y=- 2x 上,求这个圆的方程. (2). 已知两点 A( 4 , 9 ) 和 B( 6 , 3 )两点, 求以 AB 为直径的圆的方程.

练习: (1). 圆 C 的圆心为 ( 2 , -1 ) ,且截直线 y = x- 1 所得弦长为 2 2 , 求圆 C 的方程.

9、求最值问题 例 9:已知实数 x , y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. (1) 求

y 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值. x

例10、 已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 ,
2 2

(1)求证:直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 被圆 C 截得的弦长何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时 m 的值以及最短长 度。

四、达标检测 2 2 1、求直线 l :2x-y-2=0 被圆 C:(x-3) +y =9 所截得的弦长 2 2 2、圆(x-1) +(y-1) =4 关于直线 L:x-2y-2=0 对称的圆的方程 3、赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约 7.2m,求拱圆的方程 4、 圆 ?

? x ? 2 cos ? 和3x ? 4y ? 9的位置关系是 ( ? y ? 2sin ?



A. 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心 5、某圆拱桥的水面跨度 20m,拱高 4m。现有一船,宽 10m,水面以上高 3m,这条船能否从桥下通过?

6、等边△ABC 中,D,E 分别在边 BC,AC 上,且∣BD∣= 求证:AP⊥CP

1 1 ∣BC∣,∣CE∣= ∣CA∣,AD,BE 相交于点 P, 3 3

7、一条光线从点 A(?2,3) 射出,经 x 轴反射后,与圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 相切,求反射后光线
2 2

所在直线的方程。

《直线与圆》过关检测卷 一.选择题: (以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 4 分,共 40 分) 1. 若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? , ? 等于 则 A.0 B.45° C.90° D.不存在 2. 点(0,1)到直线 y=2x 的距离是 A. 5 B.

( (

) )

5 5

C.2 5

D.

2 5 5
( ) ) D. (2, ?3) , 2 ( D.2x+y+3=0 ( )

3. 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 的圆心和半径分别是 A. (?2,3) ,1 B. (2, ?3) ,3 C. (?2,3) , 2 4. 原点在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的方程是 A.x+2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x-y+5=0
2 2

5. 经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
2 2

C.x-y+1=0

D.x-y-1=0 ( D.不能确定若直线 )

6. 直线 a( x ? 1) ? b( y ? 1) ? 0 与圆 x ? y ? 2 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交或相切

2 2 7. 已知圆 C: ( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,

则 a 等于 A. 2 B. 2 ? 3 C. ?





2 ?1

D. 2 ? 1

8. 已知过点 P(1,1) 作直线 l 与两坐标轴正半轴相交,所围成的三角形面积为 2,则这样的直线 l 有 ( ) A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.0 条

9. l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点 ( ) A. (2,0) B. (1,-1) C. (1,1) D. (-2,0)

10. 已知半径为 1 的动圆与圆 (x-5)+(y+7) =16 相切, 则动圆圆心的轨迹方程是 ( 2 2 2 2 2 2 A (x-5) +(y+7) =25 B(x-5) +(y+7) =17 或(x-5) +(y+7) =15 C (x-5) +(y+7) =9
2 2

2

2



D(x-5) +(y+7) =25 或(x-5) +(y+7) =9

2

2

2

2

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. ) 11. 已知直线 l1 : y ? 2 x ? 1 , l2 : kx ? y ? 3 ? 0 ,若 l1 ∥ l 2 ,则 k = 12.两条平行线 3x ? y ? 6 ? 0,3x ? y ? 3 ? 0 间的距离是 13. 已知圆 ( x ? 7) ? ( y ? 4) ? 16 与圆 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 16 关于直线 l 对称 ,则直线 l 的方程
2 2 2 2



.
2 2

14. 已知 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 15. 若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取
2 2 2 2 2 2

值集合是 . 三.解答题: (本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 6 分) 已知圆 x ? y ? 4 ,直线 l : y ? x ? b,当 b 为何值时,圆 x ? y ? 4 上恰有3个点到直线
2 2 2 2

l : y ? x ? b的距离都等于1.

17. (本小题满分 8 分) 已知直线 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 ,一个圆的圆心 C 在 x 轴正半轴上,且该圆与直线 l 和 y 轴均相切. (1)求该圆的方程;

1 (2)直线 m : mx ? y ? m ? 0 与圆 C 交于 A, B 两点,且 | AB |? 3 ,求 m 的值. 2

18. (本小题满分 8 分) 已知△ABC 的顶点 A(5,1) ,AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x-y-5=0,AC 边上 的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程

19. (本小题满分 8 分) 如下图所示,圆心 C 的坐标为(2,2) ,圆 C 与 x 轴和 y 轴 都相切. (I)求圆 C 的一般方程; (II)求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 方程.

20. (本小题满分 10 分) 据气象台预报:在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40 km 的速度向西 北方向移动, 在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.问从现在起经过约几小时后台风将影响 A 城?持续时间约为几小时?(结果精确到 0.1 小时)


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