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第5节 傅里叶(Fourier)级数


11.5 傅立叶级数

11.5.1 三角级数及三角函数系的正交性
a0 ? 1.定义 称 ? ? (an cos nx ? bn sinnx ) 为三角级数. 2 n ?1
2.三角函数系的正交性

1, cos x, sin x, cos 2 x, sin2 x,?cos nx , sinnx ,?

??
?

?

cos nxdx ? 0,

??
?

?

sinnxdx ? 0,

( n ? 1,2,3,?)

?0, m ? n , ???cos mx cos nxdx ? ???sin mx sin nxdx ? ? ? ?, m ? n
?
?

?? ?sin mx cos nxdx ? 0.

?

(其中m , n ? 1,2,?)

11.5.2 周期为 2? 的函数的傅立叶级数
1.傅立叶系数

a0 ? 若有 f ( x ) ? ? ? (ak cos kx ? bk sin kx) 2 k ?1
1 ? ? ? a0 ? ? ??? f ( x )dx, ? 1 ? ? ?an ? ??? f ( x ) cos nxdx, ( n ? 0,1,2,?) ? ? ? b ? 1 ? f ( x ) sin nxdx, ( n ? 1,2,?) n ? ?? ? ? ?

2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x ) 是以 2? 为周期的周期函数.如果它满足条件: (ⅰ)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; (ⅱ) 在一个周期内至多只有有限个极值点. 则 f ( x ) 的傅立叶级数收敛,并且
(1)当x是f ( x )的连续点时,收敛于f ( x );

f ( x? ) ? f ( x? ) ( 2)当x是f ( x )的间断点时,收敛于 ; 2 f ( ?? ? ) ? f (? ? ) ( 3)当x ? ??时,收敛于 . 2

求函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式的 一般步骤: 1) 按照系数公式计算傅里 叶系数:

a0 , an , bn ( n ? 1,2,?) ; 2) 写出 f ( x ) 的傅里叶级数:
a0 ? f ( x ) ~ ? ? (an cos nx ? bn sin nx ) . 2 n ?1 3) 由收敛定理,确定傅里 叶级数的和函数:
? ? ? ? S( x) ? ? ? ? ? ?

f ( x ),

当 f ( x ) 在 x 连续,

1 [ f ( x ? 0) ? f ( x ? 0)], 当 f ( x ) 在 x 间断, 2
1 [ f ( ?? ? 0) ? f (? ? 0)] , 2

当 x ? ?? .

例1 以2? 为周期的矩形脉冲的波形

u
1

0?t ?? ? 1, u (t ) ? ? ? ?1, ?? ? t ? 0 将其展开傅立叶级数.

??

o
?1

?

t

解 所给函数满足狄利克雷充分条件,u(t)

在点t ? k? (k ? 0,?1,?2,?)处不连续 , 傅立叶级数
?1 ? 1 收敛于 ? 0, 当t ? k?时, 收敛于u (ut ). 2
1

和函数图象为
??

o
?1

?

t

an ?
?

u (t ) cos ntdt ? ? ?
?

1

?

(?1) cos ntdt ? ? ? ? ? ?
?

1

0

1

?

0

1? cos ntdt ? 0 (n ? 0,1, 2,?)

bn ?
?

u (t )sin ntdt ? ? ?
?

1

?

1 ? cos nt 0 cos nt ? ? ? ? ? ? ? n ?? n 0? ?

(?1)sin ntdt ? ? ? ? ? ?
?

1

0

1

?

0

1? sin ntdt

2 2 ? (1 ? cos n? ) ? [1 ? (?1) n ] n? n?

4 ? , n ? 1,3,5,? , 2k ? 1,? , ? k ? 1, 2,?? 2 ? n ? [1 ? (?1) ] ? ? (2k ? 1)? n? ? 0, n ? 2, 4, 6,? , 2k ,? , ? k ? 1, 2,?? ?

所求函数的傅氏展开式为

4 u (t ) ? ? sin(2n ? 1)t n ?1 (2n ? 1)?
? 4? sin 3t sin 5t 1 ? ?sin t ? ? ?? ? sin(2n ? 1)t ? ?? ?? 3 5 (2n ? 1) ?

?

( ?? ? t ? ??; t ? 0, ? ?, ?2?,?)

? u( t ), t ? 0,? ?,?2?,? , 傅氏级数和函数s( t ) ? ? t ? 0,? ?,?2?,? . ?0,

? 4? sin 3t sin 5t 1 u (t ) ? ?sin t ? ? ??? sin(2n ? 1)t ? ?? ?? 3 5 (2n ? 1) ?
?? 1, 当 ? ? ? t ? 0 非正弦周期函数:矩形波 u( t ) ? ? 当0 ? t ? ? ? 1, u
1

??

o
?1

?

t

不同频率正弦波逐个叠加

4 4 1 4 1 4 1 sin t , ? sin 3t , ? sin 5t , ? sin 7 t , ? ? ? 3 ? 5 ? 7

4 u ? sin t ?

4 1 u ? (sin t ? sin 3t ) ? 3

4 1 1 u ? (sin t ? sin 3t ? sin 5t ) ? 3 5

4 1 1 1 u ? (sin t ? sin 3t ? sin 5t ? sin 7t ) ? 3 5 7

4 1 1 1 1 u ? (sin t ? sin 3t ? sin 5t ? sin 7t ? sin 9t ) ? 3 5 7 9

4 1 1 1 u( t ) ? (sin t ? sin 3t ? sin 5t ? sin 7t ? ?) ? 3 5 7 ( ? ? ? t ? ? , t ? 0)

例2 把函数f ( x ) ? x ( ?? ? x ? ? )展开成傅立叶级数 .
如图所示: 解 把函数 f ( x ) 以 2? 为周期进行延拓,

y y ? f * ( x)
? 3?

??

o

?

3?

x

1 ? 2 ? 1 ? a0 ? ? f ( x )dx ? ? x dx ? ? xdx ? ? , π ?? π 0 π ??

1 ? 1 ? an ? ? f ( x ) cos nxdx ? ? x cos nxdx π ?? π ?? 2 ? x sin nx cos nx ? ? 2 ? ? ? ? x cos nxdx ? ? ? 2 0 ?? n n 0? π
? 2 ? ? 2 , n ? 1,3,5,? , n ? 2 [( ?1) ? 1] ? ? n ? a0 ? ? , n? ? n ? 2,4,6, ? , ? 0, 1 ? 1 ? bn ? ? f ( x ) sinnxdx ? ? x sinnxdx ? 0, π ?? π ?? n ? 1,2,? ? ? 4 cos(2n ? 1) x ?x ? ? ? , x ?? . 2 2 ? n?1 ( 2n ? 1) 4

3. 奇函数和偶函数的傅立叶级数
(1)当f ( x)是2? 周期的奇函数时,有

an ? 0 ( n ? 0,1,2,?)
??
2
?
0

bn ?

f ( x ) sin nxdx
?

( n ? 1,2,?)

f ( x ) ~ ? bn sin nx ,
n ?1

正弦级数.

(2)当f ( x)是2? 周期的偶函数时,有

a0 f ( x ) ~ ? ? an cos nx , 2 n ?1

bn ? 0 (n ? 1,2,?) 2 ? an ? ? f ( x ) cos nxdx ( n ? 0,1,2,?) ? 0 ?
余弦级数.

例 3 将函数

f ( x) ? x(0 ? x ? ? )

分别展开成

正弦级数和余弦级数.
(1)求余弦级数. 对 f ( x ) 作 偶式延拓 :

bn ? 0, (n ? 1, 2,?) a0 ? ? 0 xdx ? ? , ? 2 ? 2 an ? ? x cos nxdx ? 2 [( ?1) n ? 1] ? 0 n?
? 4 ? ? 2 , n ? 1,3,5,? , ?? n? ? n ? 2,4,6, ? , ? 0,

2

?

1 1 x ? ? (cos x ? 2 cos 3x ? 2 cos 5 x ? ?) 2 ? 3 5

?

4

(0 ? x ? ? )

例 3 将函数

f ( x) ? x(0 ? x ? ? )

分别展开成

正弦级数和余弦级数.
: an ? 0, (2)求正弦级数. 对 f ( x ) 作 奇式延拓 (n ? 0,1,2,?) 2 ? 2 ? bn ? ? f ( x ) sinnxdx ? ? 0 x sin nxdx ? ? 0

2 n ?1 2 (n ? 1, 2,?) ? (?? cos n? ) ? (?1) n? n sin 2 x sin 3x n ?1 sin nx x ? 2(sin x ? ? ? ? ? (?1) ? ?) 2 3 n

S (0) ? S (? ) ? 0.

(0 ? x ? ? )

? x, 0 ? x ? ? , 例4 把函数 f ( x) ? ? 展成傅里叶级数. ?? , ? ? ? x ? 0, 3? 若和函数记为S ( x), 试写出 S (0),S (? ), S ( ),S (2? ) 的值 . 2

如图所示: 解 把函数 f ( x ) 以 2? 为周期进行延拓,

y

y ? f * ( x)
? ?
?
0

? 4?

? ? 3?.

. ? ? 2? ? ?

o?

.

. ? 2? 3?
0

. 4?

x

a0 ?

f ( x)dx ? [ ? ? ? ? ?
?

1

?

1

3? xdx ? ? ? dx] ? , ?? 2

an ?

??
1

1

?
??

f ( x) cos nxdx
0 ??

?

? ?2 1 ? 2 , n ? 1,3,5,? , n ? 2 [( ?1) ? 1] ? ? n ? n? ? n ? 2, 4, 6,? , ? 0,
bn ?

?

[ ? x cos nxdx ? ? ? cos nx dx]
0

?

? ?
1

1

?

??

f ( x) sin nxdx
?

?

?

[?

0

1 x sin nxdx ? ? ? sin nx dx] ? ? ?? n (n ? 1,2,?),
0

?2 ? 3? ? 2 , n ? 1,3,5,? , a0 ? , an ? ? n ? 2 ? n ? 2,4,6,? , ? 0,
? f ( x)

1 bn ? ? n ( n ? 1,2,?),

~

3? 2 ? cos(2n ? 1) x ? sin nx ? ? ?? . 2 4 ? n?1 ( 2n ? 1) n n ?1

由收敛定理, 上述级数收敛于
当0 ? x ? ?时, ? x, ?1 ? [ f (0 ? 0) ? f (0 ? 0)] ? ? , 当 x ? 0时 . S ( x) ? ? 2 2 ? ?, 当-? ? x ? 0时, ? ?

y ? f ( x)
*

y
?
o?
. . ? 2? 3? . 4?

? 4?

? ? 3?.

. ? ? 2? ? ?

?

x

y ? S( x)
? ? . . ? 4? ? 3? ? 2? ? ?

y
?

? ?
.

o

? . 2? 3?

4?

? .

x

? S (0) ? S (2? ) ?

?
2

,

3? S (? ) ? ? , S ( ) ? ? 2

11.5.3 周期为 2l 的函数的傅立叶级数
定理 设周期为2l的周期函数 f ( x )满足收敛

定理的条件, 则它的傅立叶级数展开 式为 a0 ? n?x n?x f ( x) ~ ? ? (an cos ?bn sin ), 2 n ?1 l l

其中系数 an , bn为
1 l n?x an ? ? f ( x ) cos dx, l ?l l ( n ? 0,1,2,?)

1 l n?x bn ? ? f ( x ) sin dx, l ?l l

( n ? 1,2,?)

例5 设

f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在 [?2,2)

?0,?2 ? x ? 0, 上的表达式为 f ( x ) ? ? , 将其展成 k ,0 ? x ? 2. ? y 傅里叶级数.
解 ?l ? 2 ,

1 0 1 2 a0 ? ? 0dx ? ? kdx ? k , 2 ?2 2 0 ? ? ? x ?6 ?4 ?2 o 2 4 1 2 n? an ? ? k ? cos xdx ? 0, (n ? 1,2,?) 2 0 2 k (1 ? cos n? ) k[1 ? ( ?1)n ] 1 2 n? bn ? ? k ? sin xdx ? ? 0 2 2 n? n?
? 2k , 当n ? 1,3,5, ? ? ? ? n? , ? ? 0, 当n ? 2,4,6, ?

?

k?

f ( x) ?

? 2k , 当n ? 1,3,5, ? ? bn ? ? n? , an ? 0, ( n ? 1,2,?) ? 0, 当n ? 2,4,6, ? ? ? a0 n? x n? x
k 2k ? x 1 3? x 1 5? x ? ? (sin ? sin ? sin ? ?) 2 ? 2 3 2 5 2
? ? ?? ? ?

a0 ? k ,

2

? ? (an cos
n ?1

l

?bn sin

l

),

f ( x), 当 ? ? ? x ? ??且x ? 0, ?2, ?4,?时 k , 当x ? 0, ?2, ?4,?时, y 2 y
y ? f ( x)
? ?
k?

y ? S( x)
? ?

?6 ?4 ?2 o

?

?

2

4

x

k k ? ? ? 2
2

?
4

?6 ?4 ?2 o

x


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