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2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套文档:专题六 解析几何第2讲


第2讲

椭圆、双曲线、抛物线

x2 y2 1.(2015· 福建)若双曲线 E: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且 9 16 |PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 C.5 ) B.9 D.3

2.(2014· 课标全国Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 → → PF 与 C 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|等于( 7 A. 2 C.3 5 B. 2 D.2 )

3.(2015· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. y2 4.(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭 b 圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________.

1.以选择题、 填空题形式考查圆锥曲线的方程、 几何性质?特别是离心率?.2.以解答题形式考查 直线与圆锥曲线的位置关系?弦长、中点等?.

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M.

2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法 求出方程中的 a2,b2,p 的值. 例1 等于( x2 y2 (1)若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且|PF2|=4,则∠F1PF2 9 2 )

A.30° B.60° C.120° D.150° x2 y2 (2)(2015· 丰台模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x, 它的一个焦 a b 点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 2 6 y2 C.x2- =1 3 ) x2 y2 B. - =1 6 2 x2 D. -y2=1 3

思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标 轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待 定系数法,可结合草图确定. x2 y2 跟踪演练 1 (1)(2014· 大纲全国)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 a b 率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( 3 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 )

x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8

x2 y2 (2)(2015· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一个 a b 焦点在抛物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 21 28 x2 y2 C. - =1 3 4 x2 y2 B. - =1 28 21 x2 y2 D. - =1 4 3 )

热点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为 e= = a c (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为 e= = a b 1-? ?2; a b 1+? ?2. a

x2 y2 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 a b b y=± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系. a 例2 x2 y2 (1)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b

+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. x2 y2 (2)(2015· 西北工业大学附中四模)已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作 a b 圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近 线方程为( A.y=± 3x C.y=± ( 3+1)x ) B.y=± 2 2x D.y=± ( 3-1)x

思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a,b,c,e 各量之间的关系是求解问题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的椭圆 或双曲线的几何特点,建立关于参数 c,a,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离 心率的值或范围. x2 y2 a2 跟踪演练 2 (1)设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在 a b c 点 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是( A.?0, )

?

2? 2?

B.?0,

?

3? 3?

C.?

2 ? ? 2 ,1?

D.?

3 ? ? 3 ,1?

x2 y2 (2)(2015· 重庆)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂 a b 线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D,若 D 到直 线 BC 的距离小于 a+ a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(- 2,0)∪(0, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) )

热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一元

方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 例3 x2 y2 (2015· 江苏改编)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 2+ 2 a b 2 a2 ,且右焦点 F 到直线 l:x=- 的距离为 3. 2 c

=1(a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若|PC|=2|AB|,求直线 AB 的方程.

思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思 想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解. y2 跟踪演练 3 (1)(2015· 四川)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的 3 两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|等于( 4 3 A. 3 C.6 )

B.2 3 D.4 3

x2 y2 (2)(2015· 南开中学月考)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭 a b 圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9 )

y2 x2 1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上有两点 A,B,若直线 l 的方程为 x+ 2y a b x2 y2 -2=0,且 AB⊥l,则椭圆 2+ 2=1 的离心率为( a b 1 A. 4 C. 2 2 1 B. 2 D. 3 2 )

x2 y2 1 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且点(1, )在该椭圆上. a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 6 2 两点,若△AOB 的面积为 ,求圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程. 7

提醒:完成作业 专题六 第 2 讲

二轮专题强化练
专题六

第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线

A组

专题通关

x2 y2 1.已知椭圆 + =1(0<m<9)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点, 9 m 若|AF2|+|BF2|的最大值为 10,则 m 的值为( A.3 C.1 B.2 D. 3 )

x2 y2 5 2.(2015· 广东)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C a b 4 的方程为( x2 y2 A. - =1 4 3 x2 y2 C. - =1 16 9 ) x2 y2 B. - =1 9 16 x2 y2 D. - =1 3 4

3.(2015· 课标全国Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三 角形,且顶角为 120° ,则 E 的离心率为( A. 5B.2C. 3D. 2 x2 y2 4.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双 a b 曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y ) )

5. (2014· 课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A, B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 )

x2 y2 6.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上 25 16 的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 7.已知点 P(0,2),抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M,过 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 Q,若∠PQF=90° ,则 p=________. x2 y2 8.(2015· 山东)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 a b C2: x2=2py(p>0)交于点 O, A, B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为________. 1 9.(2015· 威海模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,求直线 l 的方程.

1 10.(2015· 浙江)如图,已知抛物线 C1:y= x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1, 4 过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线 相切,称该公共点为切点.

B 组 能力提高
11.(2014· 辽宁)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 3 )

a2 x2 y2 12.已知圆 x2+y2= 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F,且 16 a b → 1 → → 与双曲线的右支交于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率是________. 2 x2 y2 13.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于 A,B a b 3 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为________. 2 14.已知椭圆 C 的长轴左、右顶点分别为 A,B,离心率 e= 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 是椭圆 C 上的一动点,点 P 关于坐标原点的对称点为 Q,点 P 在 x 轴上的射影点为 M,连接 QM 并延长交椭圆于点 N,求证:∠QPN=90° . 2 → → ,右焦点为 F,且AF· BF=- 2

学生用书答案精析
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

高考真题体验 1.B [由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P 在左支上,∵a=3, ∴|PF2|-|PF1|=6, ∴|PF2|=9,故选 B.] → → → → 2.C [∵FP=4FQ,∴|FP|=4|FQ|, ∴ |PQ| 3 = . |PF| 4

如图,过 Q 作 QQ′⊥l,垂足为 Q′, 设 l 与 x 轴的交点为 A, 则|AF|=4, ∴ |PQ| |QQ′| = |PF| |AF|

3 = , 4 ∴|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3,故选 C.] 3. 2 2

解析 双曲线 x2-y2=1 的渐近线为 x± y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行,故两 平行线的距离 d= 故 c 的最大值为 3 4.x2+ y2=1 2 解析 设点 B 的坐标为(x0,y0). y2 ∵x2+ 2=1, b ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, |1-0| 1 +1
2 2=

2 2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,得 c≤ , 2 2

2 . 2

∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0). 5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b2 - 1-b2,- ?. ∴点 B 的坐标为? 3? ? 3 5 b2 y2 - 1-b2,- ?代入 x2+ 2=1, 将 B? 3? ? 3 b 2 3 得 b2= .∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 3 2 热点分类突破 例1 (1)C (2)C

解析 (1)由题意得 a=3,c= 7, 所以|PF1|=2. 在△F2PF1 中, 42+22-?2 7?2 1 由余弦定理可得 cos∠F2PF1= =- . 2 2×4×2 又因为 cos∠F2PF1∈(0° ,180° ),所以∠F2PF1=120° . x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 a b b b y=± x,故可知 = 3, a a 又∵焦点坐标为(2,0), ∴c= a2+b2=2, 解得 a=1,b= 3. y2 ∴双曲线方程为 x2- =1. 3 跟踪演练 1 (1)A 解析 (1)由 e= (2)D

3 c 3 得 = .① 3 a 3

又△AF1B 的周长为 4 3, 由椭圆定义,得 4a=4 3,得 a= 3, 代入①得 c=1,∴b2=a2-c2=2, x2 y2 故 C 的方程为 + =1. 3 2 x2 y2 b 2b (2)双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 又渐近线过点(2, 3), 所以 = 3, 即 2b= 3 a b a a a,①

抛物线 y2=4 7x 的准线方程为 x=- 7, 由已知,得 a2+b2= 7,即 a2+b2=7,② 联立①②解得 a2=4,b2=3, x2 y2 所求双曲线的方程为 - =1,选 D. 4 3 例2 (1) 3-1 (2)C

解析 (1)直线 y= 3(x+c)过点 F1(-c,0), 且倾斜角为 60° , 所以∠MF1F2=60° , 从而∠MF2F1 2c =30° ,所以 MF1⊥MF2.在 Rt△MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的离心率 e= 2a = 2c = 3-1. c+ 3c

(2)由题意作出示意图, a 易得直线 BC 的斜率为 , b b cos∠CF1F2= , c 又由双曲线的定义及|BC|=|CF2|可得|CF1|-|CF2|=|BF1|=2a, |BF2|-|BF1|=2a?|BF2|=4a,
2 2 2 b 4a +4c -16a b b b 故 cos∠CF1F2= = ?b2-2ab-2a2=0?( )2-2( )-2=0? =1+ 3,故双 c a a a 2×2a×2c

曲线的渐近线方程为 y=± ( 3+1)x. 跟踪演练 2 (1)D (2)A

a2 ? b2 y ,y ,线段 F1P 的中点 Q 的坐标为? , ?, 解析 (1)设 P? ?c ? ?2c 2? 当 kQF2 存在时,则 k F1P = 由 k F1P · k QF2 =-1,得 ?a2+c2?· ?2c2-b2? 2 y2= ,y ≥0, c2 但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0, 1 3 即 3c2-a2>0,即 e2> ,故 <e<1. 3 3 当 kQF2 不存在时,b2-2c2=0,y=0, a2 3 此时 F2 为中点,即 -c=2c,得 e= , c 3 综上,得 3 ≤e<1, 3 cy cy ,k QF2 = 2 , a2+c2 b -2c2

即所求的椭圆离心率的取值范围是? (2)由题作出图象如图所示. x2 y2 由 2- 2=1 可知 A(a,0), a b F(c,0). b2 b2 c, ?,C?c,- ?. 易得 B? a? ? a? ? b2 a b2 ∵kAB= = , c-a a?c-a? a?a-c? ∴kCD= . b2 b2 a b2 ∵kAC= = , a-c a?a-c? a?a-c? ∴kBD=- . b2 a?a-c? b2 ∴lBD:y- =- (x-c), a b2 a?a-c? ac?a-c? b2 即 y=- x+ + , b2 b2 a b2 a?a-c? lCD:y+ = (x-c), a b2 a?a-c? ac?a-c? b2 即 y= x- - . b2 b2 a b4 ∴xD=c+ 2 . a ?a-c? b ∴点 D 到 BC 的距离为?a2?a-c??. ? ? ∴ b4 <a+ a2+b2=a+c, a ?c-a?
2 4

3 ? . ? 3 ,1?

∴b4<a2(c2-a2)=a2b2, b2 b ∴a2>b2,∴0< 2<1.∴0< <1. a a 例3 解 c 2 a2 (1)由题意,得 = 且 c+ =3, a 2 c

解得 a= 2,c=1,则 b=1, x2 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,|AB|= 2,又|CP|=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),

将直线 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 2k2± 2?1+k2? 则 x1,2= , 1+2k2 C 的坐标为?

? 2k , -k ?,且 ? ?1+2k2 1+2k2?

2

2 2?1+k2? |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2??x2-x1?2= . 1+2k2 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与直线 l 平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 2k2 ? k 1? x - y+ =- 2 , k ? 1+2k ? 1+2k2 5k2+2 ? ? 则 P 点的坐标为?-2, , k?1+2k2?? ? ? 从而|PC|= 2?3k2+1? 1+k2 . |k|?1+2k2?

因为|PC|=2|AB|, 2?3k2+1? 1+k2 4 2?1+k2? 所以 = , |k|?1+2k2? 1+2k2 解得 k=± 1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 跟踪演练 3 (1)D (2)D

y2 解析 (1)由题意知, 双曲线 x2- =1 的渐近线方程为 y=± 3x, 将 x=c=2 代入得 y=± 2 3, 3 即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以|AB|=4 3. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆的方程有,
2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2+ 2=1, 2+ 2=1, a b a b

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 两式相减得, + =0. a2 b2 ∵线段 AB 的中点坐标为(1,-1), ∴x1+x2=2,y1+y2=-2 代入上式得: y1-y2 b2 = 2. x1-x2 a 0+1 1 ∵直线 AB 的斜率为 = , 3-1 2 b2 1 ∴ 2= ?a2=2b2, a 2

∵右焦点为 F(3,0), ∴a2-b2=c2=9, 解得 a2=18,b2=9, 又此时点(1,-1)在椭圆内, x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1. 18 9 高考押题精练 1.C [由条件可知直线 l 的斜率为- 2 a ,又 AB⊥l,可知直线 AB 的斜率为 2,故 = 2, 2 b

a2 a2 故 2=2,由此可知 a>b>0,则椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆的焦距为 2c,则 2 2=2,解得 b a -c c 2 椭圆的离心率为 = .] a 2 c 1 2.解 (1)由题意可得 e= = , a 2 又 a2=b2+c2, 3 所以 b2= a2. 4 3 因为椭圆 C 经过点(1, ), 2 9 4 1 所以 2+ =1, a 3 2 a 4 解得 a=2,所以 b2=3, x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知 F1(-1,0),设直线 l 的方程为 x=ty-1, x=ty-1, ? ?2 2 由?x y 消去 x, + =1 ? ?4 3 得(4+3t2)y2-6ty-9=0, 显然 Δ>0 恒成立, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6t 9 则 y1+y2= , 2,y1y2=- 4+3t 4+3t2 所以|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2



12 t2+1 36t2 36 , 2 2+ 2= ?4+3t ? 4+3t 4+3t2

6 t2+1 6 2 1 所以 S△AOB= · |F O|· |y1-y2|= = , 2 1 7 4+3t2 化简得 18t4-t2-17=0, 即(18t2+17)(t2-1)=0, 17 2 解得 t2 (舍去), 1=1,t2=- 18 |0-t×0+1| 1 又圆 O 的半径 r= = , 2 1+t 1+t2 所以 r= 2 1 ,故圆 O 的方程为 x2+y2= . 2 2

二轮专题强化练答案精析
第2讲
1.A

椭圆、双曲线、抛物线

x2 y2 [已知椭圆 + =1(0<m<9)中,a2=9,b2=m. 9 m

|AF2|+|BF2|=4a-|AB|≤10, ∴|AB|≥2,|AB|min= 2.C 2b2 2m = =2,解得 m=3.] a 3

c 5 [因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b2=c2- a 4

x2 y2 a2=9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 C.] 16 9 3.D x2 y2 [如图,设双曲线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|AB|=2a, a b

由双曲线的对称性,可设点 M(x1,y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴 于点 N(x1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120° ,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60° , ∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN x2 y2 =2asin60° = 3a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos60° =2a.将点 M(x1,y1)的坐标代入 2- 2=1,可 a b c 得 a2=b2,∴e= = a 4.D a2+b2 = 2,选 D.] a2

x2 y2 [∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, a b

a2+b2 c ∴ = =2,∴b= 3a, a a ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0, p? ∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点? ?0,2?到双曲线的渐近线的距离为 ∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.] 5.D 3 [由已知得焦点坐标为 F( ,0), 4 3 3 (x- ), 3 4 p? ? 3×0± 2? ? 2

=2,

因此直线 AB 的方程为 y= 即 4x-4 3y-3=0.

方法一 联立抛物线方程化简得

4y2-12 3y-9=0, 故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= × ×6= . 2 2 4 4 21 9 方法二 联立方程得 x2- x+ =0, 2 16 21 故 xA+xB= . 2 21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + =12, 2 2 同时原点到直线 AB 的距离为 h= 1 9 因此 S△OAB= |AB|· h= .] 2 4 6.7 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+ |PN|的最小值为|PF1|+ |PF2|-1-2=7. 7. 2 p 解析 由抛物线的定义可得|MQ|=|MF|,F( ,0),又 PQ⊥QF,故 M 为线段 PF 的中点,所 2 p p p 以 M( ,1),把 M( ,1),代入抛物线 y2=2px(p>0)得,1=2p× , 4 4 4 解得 p= 2,故答案为 2. 8. 3 2 3 = , 4 +?-4 3? 8
2 2

|-3|

b b 解析 由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x. a a b ? ?y=ax, b 由? 得 x2=2p· x, a ? ?x2=2py, 2pb 2pb2? 2pb 2pb2 ∴x= ,y= 2 ,∴A? ? a , a2 ?. a a p? 设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F? ?0,2?, 2pb2 p - a2 2 ∴kAF= . 2pb a

∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB, ∴kAF· kOB=-1, 2pb2 p - a2 2 ? b? b2 5 - =-1,∴ 2= . ∴ · 2pb ? a? a 4 a
2 2 c2 a +b 5 9 3 设 C1 的离心率为 e,则 e2= 2= 2 =1+ = .∴e= . a a 4 4 2

x2 y2 c 1 9.解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>0,b>0),因为 c=1, = , a b a 2 所以 a=2,b= 3, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, y=kx+1, ? ?2 2 联立方程?x y ? 4 + 3 =1, ? 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 由AM=2MB,得 x1=-2x2, -8k ? ?x +x =3+4k , 又? -8 x= , ? ?x · 3+4k
1 2 2 1 2 2

-8k -x = , ? ? 3+4k 所以? -8 -2x = , ? ? 3+4k
2 2 2 2 2

8k 2 4 消去 x2 得( )= , 3+4k2 3+4k2 1 1 解得 k2= ,k=± , 4 2 1 所以直线 l 的方程为 y=± x+1, 2 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0.

10.解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t). y=k?x-t?, ? ? 由? 1 2 消去 y,整理得: y= x ? ? 4 x2-4kx+4kt=0, 由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t, 因此,点 A 的坐标为(2t,t2). 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,且 1 直线 PD:y=- x+1, t y x ?x0=1+t2, ? ? 20=-20 +1, t 故? 解得? 2t2 ? ?x0t-y0=0. y0= 2. ? 1+t
2

2t

2t 2t 因此,点 B 的坐标为?1+t2,1+t2?. ? ? (2)由(1)知,|AP|=t· 1+t2和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0, 点 B 到直线 PA 的距离是 d= 设△PAB 的面积为 S(t), 1 t3 所以 S(t)= |AP|· d= . 2 2 p p 11.D [抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=- ,而点 A(-2,3)在准线上,所以- =-2,即 p 2 2 k =4,从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2=8x 得 y2-y+ 8 2k+3=0(k≠0),① k 1 由于 Δ=1-4× (2k+3)=0,所以 k=-2 或 k= . 8 2 1 因为切点在第一象限,所以 k= . 2 1 将 k= 代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8, 2 所以点 B 的坐标为(8,8), 4 所以直线 BF 的斜率为 .] 3 12. 26 4 t2 , 1+t2

解析 如图所示,设双曲线的右焦点为 H,连接 PH, a 由题意可知|OE|= , 4 → 1 → → 由OE= (OF+OP),可知 E 为 FP 的中点. 2 由双曲线的性质,可知 O 为 FH 的中点, 1 所以 OE∥PH,且|OE|= |PH|, 2 a 故|PH|=2|OE|= . 2 由双曲线的定义,可知|PF|-|PH|=2a(P 在双曲线的右支上), 所以|PF|=2a+|PH|= 5a . 2

因为直线 l 与圆相切,所以 PF⊥OE. 又 OE∥PH,所以 PF⊥PH. 在 Rt△PFH 中,|FH|2=|PH|2+|PF|2, a 5a 即(2c)2=( )2+( )2, 2 2 c 26 26 整理得 = ,即 e= . a 4 4 13.2 解析 抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1, 由题意知,双曲线的左焦点坐标为(-1,0), 即 c=1, b2 b2 且 A(-c, ),B(-c,- ), a a 3 因为△AOB 的面积为 , 2 1 b2 3 所以 ×2× ×1= , 2 a 2 b2 3 即 = , a 2 1-a2 3 所以, = , a 2 1 c 1 解得 a= ,∴e= = =2. 2 a 1 2 x2 y2 14.(1)解 依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

则 A(-a,0),B(a,0),F(c,0), c 2 由 e= = , a 2 得 a= 2c.① → → 由AF· BF=-1, 得(c+a,0)· (c-a,0)=c2-a2=-1.② 联立①②,解得 a= 2,c=1, 所以 b2=1, x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)证明 设 P(x1,y1),N(x2,y2), 由题意知 xi≠0,yi≠0(i=1,2), 且 x1≠x2, 又 Q(-x1,-y1),M(x1,0). 由 Q,M,N 三点共线,知 kQM=kQN, y1 y2+y1 所以 = .③ 2x1 x2+x1 y1 y2-y1 又 kPQkPN+1= · +1.④ x1 x2-x1 把③代入④,得 kPQkPN+1= 因为点 P,N 在椭圆上,
2 2 2 所以 x2 1+2y1=2,x2+2y2=2,⑥ 2 2 2 2?y2+y1? y2-y1 ?x2 2+2y2?-?x1+2y1? · +1= .⑤ 2 2 x2+x1 x2-x1 x2-x1

把⑥代入⑤, 得 kPQkPN+1= 2-2 2=0, x2 2-x1

即 kPQkPN=-1, 所以∠QPN=90° .



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