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1.2.1(一)任意角的三角函数


§ 1.2 1.2.1

任意角的三角函数 任意角的三角函数(一)

课时目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、 余弦、 正切)定义.2.熟记正弦、 余弦、 正切函数值在各象限的符号.3.掌握诱导公式(一)及其应用.

1.任意角三角函数的定义 设角 α 终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为 r,则 sin α=________,cos α= ________,tan α=________. 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k·2π)=______,cos(α+k·2π)=________, tan(α+k·2π)=________,其中 k∈Z.

一、选择题 1.sin 780° 等于( A ) 3 3 A. B.- 2 2

1 D.- 2 y 2.点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为( x 3 3 A. 3 B.- 3 C. D.- 3 3 3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.C [∵sin α<0,∴α 是第三、四象限角.又 tan α>0, ∴α 是第一、三象限角,故 α 是第三象限角.]

1 C. 2

)

3 4.角 α 的终边经过点 P(-b,4)且 cos α=- ,则 b 的值为( ) 5 A.3 B.-3 C .± 3 D.5 |sin x| cos x |tan x| 5.已知 x 为终边不在坐标轴上的角,则函数 f(x)= + + 的值域是( sin x |cos x| tan x A.{-3,-1,1,3} B.{-3,-1} C.{1,3} D.{-1,3} 3 3 ? 6.已知点 P? ) ?sin4π,cos4π?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4

)

3 2 cos π - 4 2 y 3 3 D [由任意角三角函数的定义,tan θ= = = =-1.∵sin π>0,cos π<0, x 3 4 4 2 sin π 4 2 7 ∴点 P 在第四象限.∴θ= π.故选 D.] 4 二、填空题 7.若角 α 的终边过点 P(5,-12),则 sin α+cos α=______. 8.已知 α 终边经过点(3a-9,a+2),且 sin α>0,cos α≤0,则 a 的取值范围为________. 9.代数式:sin 2cos 3tan 4 的符号是________. 10.若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sin α<0,又 P(m,n)是 α 终边上一点,且|OP|= 10, 则 m-n=________. 三、解答题 11.求下列各式的值. 23 17 - π?+tan π; (1)cos? ? 3 ? 4 (2)sin 630° +tan 1 125° +tan 765° +cos 540° .

12.已知角 α 终边上一点 P(- 3,y),且 sin α=

3 y,求 cos α 和 tan α 的值. 4

能力提升 13.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是( ) θ θ θ A.sin B.cos C.tan D.cos 2θ 2 2 2 14.已知角 α 的终边上一点 P(-15a,8a) (a∈R 且 a≠0),求 α 的各三角函数值.

1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关,只 由角 α 的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.符号 sin α、cos α、tan α 是一个整体,离开“α”,“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义, 更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积. 3.诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. 作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π(或 0° ~360° )角的三角函数值.

§1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 答案
知识梳理 y x y 1. 3.相等 sin α cos α tan α r r x 作业设计 1.A 2.B 3.C [∵sin α<0,∴α 是第三、四象限角.又 tan α>0, ∴α 是第一、三象限角,故 α 是第三象限角.] -b -b 3 4.A [r= b2+16,cos α= = 2 =- .∴b=3.] r 5 b +16 5.D [若 x 为第一象限角,则 f(x)=3;若 x 为第二、三、四象限,则 f(x)=-1. ∴函数 f(x)的值域为{-1,3}.] 3 2 cos π - 4 2 y 3 3 6.D [由任意角三角函数的定义,tan θ= = = =-1.∵sin π>0,cos π<0, x 3 4 4 2 sin π 4 2 7 ∴点 P 在第四象限.∴θ= π.故选 D.] 4 7 7.- 13 8.-2<a≤3 解析 ∵sin α>0,cos α≤0,∴α 位于第二象限或 y 轴正半轴上,∴3a-9≤0,a+2>0, ∴-2<a≤3. 9.负号 π 解析 ∵ <2<π,∴sin 2>0, 2 π 3 ∵ <3<π,∴cos 3<0,∵π<4< π,∴tan 4>0. 2 2 ∴sin 2cos 3tan 4<0. 10.2 解析 ∵y=3x,sin α<0,∴点 P(m,n)位于 y=3x 在第三象限的图象上,且 m<0,n<0, n=3m. ∴|OP|= m2+n2= 10|m|=- 10m= 10. ∴m=-1,n=-3,∴m-n=2. π π π π 1 3 +?-4?×2π?+tan? +2×2π?=cos +tan = +1= . 11.解 (1)原式=cos? 3 4 ? ? ? ? 3 4 2 2 (2)原式=sin(360° +270° )+tan(3×360° +45° )+tan(2×360° +45° )+cos(360° +180° )

=sin 270° +tan 45° +tan 45° +cos 180° =-1+1+1-1=0. y 3 12.解 sin α= 2= 4 y. 3+y 当 y=0 时,sin α=0,cos α=-1,tan α=0. y 3y 21 当 y≠0 时,由 2= 4 ,解得 y=± 3 . 3+y 21 4 3 21? 当 y= 时,P?- 3, ,r= . 3 3 3 ? ? 3 7 ∴cos α=- ,tan α=- . 4 3 21 21 4 3 当 y=- 时,P(- 3,- ),r= , 3 3 3 3 7 ∴cos α=- ,tan α= . 4 3 π 13.C [∵θ 为第一象限角,∴2kπ<θ<2kπ+ ,k∈Z. 2 θ π ∴kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 4 θ π 当 k=2n (n∈Z)时,2nπ< <2nπ+ (n∈Z). 2 4 θ ∴ 为第一象限角, 2 θ θ θ ∴sin >0,cos >0,tan >0. 2 2 2 当 k=2n+1 (n∈Z)时, θ 5 2nπ+π< <2nπ+ π (n∈Z). 2 4 θ ∴ 为第三象限角, 2 θ θ θ ∴sin <0,cos <0,tan >0, 2 2 2 θ 从而 tan >0,而 4kπ<2θ<4kπ+π,k∈Z, 2 cos 2θ 有可能取负值.] 14.解 ∵x=-15a,y=8a, ∴r= ?-15a?2+?8a?2=17|a| (a≠0). (1)若 a>0,则 r=17a,于是 8 15 8 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 17 17 15 (2)若 a<0,则 r=-17a,于是 8 15 8 sin α=- ,cos α= ,tan α=- . 17 17 15


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