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【优化方案】2012高中数学 第一章本章优化总结课件 新人教A版必修5


本章优化总结

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专题探究精讲

知识体系网络

专题探究精讲

利用正、 利用正、余弦定理解三角形 题型特点:已知三角形的三个独立元素 至少一条 题型特点:已知三角形的三个独立元素(至少一条 求其他元素, 边)求其他元素,有时也求三角形的面积,题型多 求其他元素 有时也求三角形的面积, 以解答题形式出现,难度较小. 以解答题形式出现,难度较小. 知识方法:利用正、 知识方法:利用正、余弦定理解斜三角形共包括 四种类型: 已知三角形的两角和一边 已知三角形的两角和一边(一般先用 四种类型:(1)已知三角形的两角和一边 一般先用 内角和定理求角或用正弦定理求边); 已知两边 内角和定理求角或用正弦定理求边 ;(2)已知两边 及夹角(一般先用余弦定理求第三边 一般先用余弦定理求第三边); 已知三边 及夹角 一般先用余弦定理求第三边 ;(3)已知三边 (先用余弦定理求角 ;(4)已知两边和一边的对角 先用余弦定理求角); 已知两边和一边的对角 已知两边和一边的对角( 先用余弦定理求角 先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求 第三边,注意讨论解的个数). 第三边,注意讨论解的个数 .

(2010 年高考浙江卷 在△ABC 中, A, , 年高考浙江卷)在 B, 角 , 1 C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . , , , =- 4 (1)求 sin C 的值; 的值; 求 (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 的长. 当 = = 1 2 【解】 (1)因为 cos 2C=1-2sin C=- , 因为 = - =- 4 10 所以 sin C=± = , 4 又 0<C<π, < < , 10 . 所以 sin C= = 4
例1

(2)当 a=2,2sin A=sin C 时, 当 = = c a 由正弦定理 = ,得 c=4. = sin A sin C 1 2 由 cos 2C=2cos C-1=- ,且 0<C<π 得 = - =- < < 4 6 cos C=± . = 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 , b2± 6b-12=0,解得 b= 6或 2 6, - = , = 或 ,
?b= 6, ?b=2 6, = , = , 所以? 或? = , = ?c=4. ?c=4,

三角形解的个数的确定 题型特点:若已知两边和一边的对角,利用正、 题型特点:若已知两边和一边的对角,利用正、 余定理求解,应考虑三角形解的个数, 余定理求解,应考虑三角形解的个数,题型多以 选择、解答题形式出现,难度为中等题. 选择、解答题形式出现,难度为中等题. 知识方法: 知识方法:

利用正弦定理讨论: 利用正弦定理讨论:若已知 a,b,A,由正弦定理 , , , a b bsin A = ,得 sin B= a ;若 sin B>1,则 = > , sin A sin B 无解; 无解;若 sin B=1,则有一解;若 sin B<1,则可 = ,则有一解; < , 能有两解. 能有两解.

利用余弦定理讨论: 已知a, b, A, 由余弦定 利用余弦定理讨论 : 已知 , , , , 理a2=c2+b2-2cbcos A,即c2-(2bcos A)c+ + b2 - a2 = 0.若方程无解或无正数解 , 则三角形无 若方程无解或无正数解, 若方程无解或无正数解 解 ; 若方程有唯一正数解 , 则三角形有一解 ; 若 若方程有唯一正数解,则三角形有一解; 方程有两不同的正数解,则三角形有两解. 方程有两不同的正数解,则三角形有两解.

例2

已知a= , = , = ° 已知 = 2, b= m, A= 60° , 解三角形

时只有一解, 的取值范围. 时只有一解,求m的取值范围. 的取值范围

如图所示, CD⊥ , AC= , 【解】 如图所示, ⊥AB, 垂足为 D, =m, , 3 CD=m·sin A= m, = = , 2 要使△ 只有一解, 要使△ABC 只有一解, 则只需 a=m·sin A 或 a>m, = > , 2 2 2 4 3 即 m= = = = = 或 0<m<2. < < sin A sin 60° 3 3 2 4 3 . ∴m 的取值范围是 0<m<2 或 m= < < = 3

利用正弦定理、余弦定理判断三角形 利用正弦定理、 的形状 题型特点:根据已知条件(通常是含有三角形的边 题型特点:根据已知条件 通常是含有三角形的边 和角的等式)判断三角形的形状 判断三角形的形状, 和角的等式 判断三角形的形状,此类题目要求准 确把握三角形的分类, 确把握三角形的分类,三角形按边的关系分为等 腰三角形和不等边三角形; 腰三角形和不等边三角形;三角形按角的关系分 为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 知识方法:一般来说, 知识方法:一般来说,判断三角形的形状问题常 用这两种方法:方法一, 用这两种方法:方法一,通过边之间的关系判断 形状;方法二,通过角之间的关系判断形状. 形状;方法二,通过角之间的关系判断形状.利 用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化, 用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化, 把条件化为边的关系或化为角的关系. 把条件化为边的关系或化为角的关系.

在解三角形时常用的结论有: 在解三角形时常用的结论有: ①在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B?cos > ? > ? > ? A<cos B. < ②在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,则 + + = , + = - , cos(A+B)=- =-cos C,sin(A+B)=sin C. + =- , + = π 2 2 2 ③在△ABC 中,a +b <c ? <C<π,a2+b2= < , 2 π c ?cos C=0?C= ,a2+b2>c2?cos C>0?0< = ? = > ? < 2
2

π C< . < 2

例3

(2010年高考辽宁卷 在△ABC中,a,b, 年高考辽宁卷)在 年高考辽宁卷 中 , ,

c分别为内角 ,B,C的对边,且2asin A=(2b 分别为内角A, , 的对边 的对边, 分别为内角 = +c)sin B+(2c+b)·sin C. + + (1)求A的大小; 求 的大小 的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状. 若 的形状. + = ,试判断△ 的形状 【解】 (1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b 由已知,根据正弦定理得 由已知

+c)b+(2c+b)c, + + , 即a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得a 由余弦定理得 2=b2+c2-2bccos A,① ,

1 故 cos A=- ,又 A∈(0,180°),故 A=120°. =- ∈ , = 2 (2)由①得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C. 由 = + + 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= . + = , = = 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. < < , < < , = 所以△ 是等腰的钝角三角形. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
2 2 2

正弦定理和余弦定理的实际应用 题型特点: 题型特点:正、余弦定理在现实生活中有非常广 泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等, 泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等, 多以解答题形式出现,难度相对较大. 多以解答题形式出现,难度相对较大. 知识方法:利用正、余弦定理解决这类题的基本 知识方法:利用正、 思路是画出正确的示意图把已知量和未知量标在 示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关 示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关 系),最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解, ,最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解, 并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求. 并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.

例4

(2010 年高考陕西卷 如图,A,B 是海面上 年高考陕西卷)如图, , 如图

5(3+ 3)海里的两个观测点 海里的两个观测点, 位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现 B 位于 A 点北偏东 45°, 点北偏西 60°的 D 点有一艘 , 的 轮船发出求救信号, 轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点 且与 海里的 点的救援船立即前往营救, 相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航 海里/时 行速度为 30 海里 时,该救援船到达 D 点需要多长 时间? 时间?

海里, 【解】 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA= = + 海里 = 90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, - = , = - = , ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. ∴∠ = - + = DB 在 △ DAB 中 , 由 正 弦 定 理 , 得 = sin∠DAB ∠ AB , sin∠ADB ∠ AB·sin∠DAB 5(3+ 3)·sin 45° ∠ ( + ) ∴DB= = = sin 105° sin∠ADB ∠ 5 3( 3+1) 5(3+ 3)·sin 45° ( + ) ( + ) = = sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60° + 3+1 + 2

海里). =10 3(海里 . 海里 又∠ DBC=∠ DBA+∠ ABC= 30°+ (90°- 60°)= = + = + - = 60°, , BC=20 3(海里 , 海里), = 海里 由余弦定理, 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD2=BD2+BC2 - 2BD·BC·cos ∠ DBC = 300 + 1200 - 2×10 3 × 1 ×20 3× =900. × 2 30 海里), 小时). ∴CD=30(海里 ,∴需要的时间 t= =1(小时 . = 海里 = 小时 30 小时. 即救援船到达 D 点需要 1 小时.


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