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高三数学二轮专题填空题的解法


高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

第一部分 论方法

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第一部分

论方法

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专题6

填空题解法

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第一部分

专题6

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填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及分 析推理能力,考查学生基本的数学方法.填空题要求直接填写结 果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是数值准确、形式规 范、表达最简.

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第一部分

专题6

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填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,形式 灵活, 突出考查考生准确、 严谨、 全面、 灵活运用知识的能力. 近 年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出现了一些创新题 型,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等, 这些题型的出现,要求学生对每一个命题都进行认真分析推理, 只有全部命题判定准确才能得分, 这种题目要求更高, 难度更大.

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第一部分

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《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合 理、迅速”.因此,解填空题的基本策略是:快——运算要快, 力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要 全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审 题要细,不能粗心大意.

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第一部分

专题6

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方法一 直接法

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直接求解法是直接从题设出发, 抓住命题的特征, 利用定义、 性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断而得结果.这 是解填空题时常用的基本方法. 例1 (2013· 新课标全国Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E

→ → 为 CD 的中点,则AE· BD=________.

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第一部分

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【解析】 先建立平面直角坐标系,结合向量数量积知识求 解.

如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的 直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),E(1,2),

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第一部分

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→ → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2). → → ∴AE· BD=1×(-2)+2×2=2.

【答案】 2

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例2

在等差数列{an}中, a1=-3,11a5=5a8-13, 则数列{an}

的前 n 项和 Sn 的最小值为________.

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【解析】

设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,

5 ∴d=9.∴数列{an}为递增数列. 5 32 令 an≤0,∴-3+(n-1)·≤0,∴n≤ . 9 5 ∵n∈N*, 29 ∴前 6 项均为负值,∴Sn 的最小值为 S6=- . 3
【答案】 29 -3
第一部分 专题6

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例3

一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角

形,俯视图是一个圆和圆心,当这个几何体的体积最大时圆的半 径是________.

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【解析】 依题意知,该几何体是一个圆锥,设其底面圆的 1 2 1 2 半 径 为 r , 则 高 为 1-r , 于 是 其 体 积 V = 3 πr 1-r = 3
2

π r4?1-r2?,令 g(r)=r4(1-r2),g′(r)=4r3-6r5,令 g′(r)=0, 6 6 6 得 r= 3 (r=0,r=- 3 舍去),可知当 r= 3 时,V 取得最大值.

【答案】

6 3

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例4

在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大

值为________.

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【解析】

AB BC 3 由正弦定理可得 = = =2,得 sinC sinA sin60°

AB+2BC=2sinC+4sinA =2sinC+4sin(120° -C) =2sinC+2 3cosC+2sinC =4sinC+2 3cosC≤2 7.
【答案】 2 7

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1.

一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的 三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的 面积是________.

答案

2 3

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解析

根据体积是 2 3,可求得棱长为 2,∴底面正三角形

的高为 3,又棱柱的高为 2,∴矩形面积为 2 3.

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第一部分

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2 2 x y 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1 a b

的右焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率 为________.

答案
解析

1+ 2
p 2b2 2 2 2 = c , = 4 c ,故 b = 2 ac . 即 c - a =2ac, 2 a

e2-2e-1=0,∵e>1,∴e=1+ 2.

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第一部分

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3.将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直 ?梯形的周长?2 线剪成两块,其中一块是梯形,记 S= ,则 S 的最 梯形的面积 小值是________.

答案

32 3 3

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解析

设剪成的小正三角形的边长为 x,则

2 ?3-x?2 4 ?3-x? S= = · 2 (0<x<1). 1 3 3 1-x ?1-x? 2?x+1?·2 ·

1 32 3 当 x= 时,S 有最小值 . 3 3

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方法二 特例法

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当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论 唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题 中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数, 或 特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方程,特殊模 型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、 论证的过程.

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第一部分

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例1

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,

cos A+cos C 若 a、b、c 成等差数列,则 =________. 1+cos Acos C

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4 【解析】 法 1:取特殊值 a=3,b=4,c=5,则 cosA= , 5 cosA+cos C 4 cosC=0, = . 1+cos AcosC 5 π 1 cos A+cos C 法 2: 取特殊角 A=B=C= , cosA=cosC= , 3 2 1+cos Acos C 4 =5.
【答案】 4 5
第一部分 专题6

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例2

如图所示,在△ABC 中,AO 是 BC 边上的中线,K 为 AO 上 → → 一点,且AO=2AK,过点 K 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的 → → → → 两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n=________.

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【解析】

当过点 K 的直线与 BC 平行时,MN 就是△ABC

→ → → 的一条中位线(∵AO=2AK, ∴K 是 AO 的中点). 这时由于有AB= → → → mAM,AC=nAN,因此 m=n=2,故 m+n=4.

【答案】 4

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例3

已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比

a1+a3+a9 数列,则 的值是________. a2+a4+a10 【分析】 如果能举出一个已知的数列满足 a1,a3,a9 成等

比数列,那么各项均可求出,那么所求的值也就可求出.

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【解析】 a1,a3,a9 的下标成等比数列,故可令 an=n,又 a1+a3+a9 13 易知它满足题设条件,于是 = . a2+a4+a10 16
【答案】 13 16

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例 4 设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 → → A、B 两点,则OA· OB=________.

【分析】

本题隐含所求的值为定值,即与直线的倾斜角 α

无关,故可取特殊直线.

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【解析】

→ → 本题的隐含条件是OA· OB的值为定值,即与直线

?1 ? 1 的倾斜角 α 无关,即过焦点的直线为 x= ,求出交点 A?2,1?, 2 ? ? ?1 ? 3 → → ? ? B 2,-1 ,计算可得OA· OB=-4. ? ?

【答案】

3 -4

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1. 设 a>b>1, 则 logab, logba, logabb 的大小关系是________.

答案
解析 2.

logabb<logab<logba
1 1 令 a=100,b=10,则 logabb=3,logab=2,logba=

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第一部分

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2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,则 a2+a4 +a9=________.
答案 24

解析

令 an=8,则 S9=72,∴a2+a4+a9=3×8=24.

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7 3.在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A,B 为焦点的 18 椭圆经过点 C,则该椭圆的离心率 e=________.
3 8

答案

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第一部分

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解析

(特殊值)不妨设 A(-1,0), B(1,0), 则显然半焦距 c=1,

AB=BC=2.
2 2 2 7 2 +2 -|AC| ∵cosB=-18= , 2×2×2

10 16 ∴|AC|= 3 .由椭圆定义,得 2a=|AC|+|BC|= 3 . 8 c 3 ∴a= ,故 e= = . 3 a 8

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第一部分

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4.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中 点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的两部分,则 V1∶ V2=________.

答案 7∶5

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第一部分

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解析

由题意分析,结论与三棱柱的具体形状无关,因此,可以取 一个特殊的直三棱柱,其底面积为 4,高为 1. 1 7 则体积 V=4,而 V1=3(1+ 4+4)=3, 7 5 V2=4- = .∴V1∶V2=7∶5. 3 3
第一部分 专题6

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方法三 数形结合法

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对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的特 点,作出符合题意的图形,做到数中思形,以形助数,并通过对 图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结果.

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第一部分

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例 1

若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],

且 b-a=2,则 k=________.

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第一部分

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【解析】 令 y1= 9-x2,y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标 系中作出其图像. 因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a,b]且 b-a=2,结合图 像知 b = 3 , a = 1 ,即直线与圆的交点坐标为 (1,2 2) .∴ k = 2 2+ 2 = 2. 1+2

【答案】

2

第37页

第一部分

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例2

不等式 x

2

? 1? <logax 在?0,2?范围内恒成立, 则实数 ? ?

a 的取

值范围是________.

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第一部分

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【解析】 不等式 x 上的最大值不大于

2

? ? 1? 1? 2 <logax 在?0,2?上恒成立,即 x 在?0,2? ? ? ? ?

? 1? logax 在?0,2?上的最小值,画出简图易知 ? ?

a>1

0<a<1, ? ? 1 ? 不合题意.故 0<a<1.据题意,得 1 解得16≤a<1. 1 ≤loga2, ? ?4

【答案】

?1 ? ? ,1? ?16 ?

第39页

第一部分

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例 3

设变量 x,y 满足 |x|+|y|≤1,则 x+2y 的最大值为

________,最小值为________. 【分析】 不等式|x|+|y|≤1 在坐标平面内表示一个平面区

域,令 x+2y=u,它就是一条变动的直线,那么可以把这个最值 问题利用图形来解决了.

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第一部分

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【解析】

如图先画出不等式|x|+|y|≤1 表示的平面区域, 平移目标函数 线易知当直线 x+2y=u 经过点 B, D 时分别对应 u 的最小值和最 大值,所以 umax=2,umin=-2.

【答案】 2

-2

第41页

第一部分

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1 1.函数 f(x)=lnx- 的零点的个数是________. x-1

答案 2

第42页

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解析

1 如图,作出 y=lnx 和 y= 的图像,由图知它们有 x-1

1 两个交点,故 f(x)=lnx- 有两个零点. x-1

第43页

第一部分

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2. 如果不等式 4x-x2>(a-1)x 的解集为 A, 且 A?{x|0<x<2}, 那么实数 a 的取值范围是________.
答案 [2,+∞)

第44页

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解析

如图,作出 y= 4x-x2和 y=(a-1)x 的图像.

从图上易得出 a 的取值范围是[2,+∞).

第45页

第一部分

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?2x+y-19≥0, ? 3.设二元一次不等式组?x-y-8≤0, ?x+2y-14≤0, ?

所表示的平面区

域为 M, 使函数 y=logax(a>0, a≠1)的图像过区域 M 的 a 的取值 范围是________.

答案

[2,9]

第46页

第一部分

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解析

区域 M 是一个三角形区域,三个顶点的坐标是(8,3),(10,2), (9,1),结合图形检验可知当 a∈[2,9]时,符合题目要求.

第47页

第一部分

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方法四 等价转化法

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等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围内可 解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转 化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转化过程中,一定 要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化,则需附加约束条 件.

第48页

第一部分

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例 1

设实数 x,y,m,n 满足 x2+y2=3,m2+n2=1,则

mx+ny 的最大值是________.
【解析】 令 a=(x,y),b=(m,n),则由 a· b≤|a||b|,得

x y mx+ny≤ 3, 当且仅当m=n= 3, m2+n2=1 时取“=”, 故(mx +ny)max= 3.

【答案】

3

第49页

第一部分

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例 2 设函数

2 ? ?x -4x+6, f(x)=? ? ?3x+4,

x≥0, 若互不相等的实 x<0,

数 x1,x2,x3 满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则 x1+x2+x3 的取值范围是 ________.

第50页

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【解析】 本题可转化为直线 y=m 与函数 f(x)的图像有三个 交点, y=x2-4x+6 在[0,+∞)的最小值为 f(2)=2,故 2<m<4. 易知 x1,x2,x3 中必有一负二正,不妨设 x1,x2>0,由于 y =x2-4x+6 的对称轴为 x=2,则 x1+x2=4,令 3x+4=2,得 x 2 2 2 =- ,则- <x3<0,故- +4<x1+x2+x3<0+4,即 x1+x2+x3 3 3 3 10 的取值范围是( 3 ,4). 10 【答案】 ( 3 ,4)
第51页

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例3
2

x2 y2 已知 P 是椭圆 + =1 上任意一点,EF 是圆 M:x2 16 8

→ → +(y-2) =1 的直径,则PE· PF 的最大值为______.

第52页

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【解析】

设圆心为 M,P(x,y),则

→ → → → → → PE· PF=(PM+ME)· (PM+MF) → → → → =(PM+ME)· (PM-ME) →2 →2 2 =PM -ME =x +(y-2)2-1, x2 y2 由点 P 在椭圆上,所以16+ 8 =1,即

第53页

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x2=16-2y2

(-2 2≤y≤2 2).

→ → 由此可得PE· PF=-y2-4y+19, 当 y =-2 时, 取得最大值 为 23.

【答案】

23

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例4

已知两点 M(-5,0),N(5,0),给出下列直线方程:①5x

-3y=0;②5x-3y-36=0;③x-y=0;④4x-y+5=0.在直线 上存在点 P ,满足 |MP| = |NP| + 6 的所有 直线方程的序号是 ________. 【分析】 点 P 满足|MP|-|NP|=6,那么点 P 的轨迹是双曲 线的一支,那么问题转化为直线与双曲线的一支有交点,就成了 我们熟悉的问题了.

第55页

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【解析】 由|MP|=|NP|+6 可知, 点 P 的轨迹是以 M(-5,0), x2 y2 N(5,0)为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,其方程为 9 -16= 1(x>0).本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无 交点的问题,结合图形判断,易得②③直线与双曲线的右支有交 点.

【答案】 ②③

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1.若正数 a、b 满足:ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 ________.

答案

[9,+∞)

第58页

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解析

∵a+b≥2 ab,∴由 ab=a+b+3,可得

ab≥2 ab+3,解之得 ab≥3,∴ab≥9.

第59页

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2.若函数 f(x)=(sinx+cosx) -2cos x-m 则实数 m 的取值范围为________.
答案 [-1, 2]

2

2

? π? 在?0,2?有零点, ? ?

解析 方程 f(x)=0 可转化成 m=
? π? 求该函数在?0,2?上的值域问题. ? ?

? π? 2sin?2x-4?进而可转化成 ? ?

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3.在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥BC,SA=BC=a,SA 与 BC 的公垂线段 ED=b,则三棱锥 S-ABC 的体积是________.

答案

1 2 6a b

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解析

∵ED 是 SA 与 BC 的公垂线,∴SA⊥ED,BC⊥ED.

又 SA⊥BC,∴SA⊥面 BCE.则 VS-ABC=VA-BCE+VS-BCE 1 =3S△BCE(AE+SE) 1 1 2 = SA· S△BCE= a b. 3 6

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4. 若函数 f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数, 且对一切 x>0, y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),则不等式 f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为 ________.
答案 {x|0<x<2}

第63页

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解析

将不等式两边都构造成 f(xy)的形式,即不等式变为

f(x2+6x)<f(16),又函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以 ?x+6>0, ? 原不等式等价于不等式组?x>0, ?x2+6x<16, ? 等式的解集为{x|0<x<2}.

解得 0<x<2,所以原不

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5.已知函数 f(x)=x3+x-6,若不等式 f(x)≤m2-2m+3 对 于所有 x∈[-2,2]恒成立,则实数 m 的取值范围是________.

答案

(-∞,1- 2)∪[1+ 2,+∞)

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解析

问题等价于 m2-2m+3≥f(x)max 恒成立,从而将问题

转化为 f(x)的最大值问题. ∵f′(x)=3x2+1>0, ∴f(x)在 x∈[-2,2]内是增函数. ∴f(x)在[-2,2]上的最大值是 f(2)=4. ∴m2-2m+3≥4,解得 m≤1- 2或 m≥1+ 2.

第66页

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方法五

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构造法(或称模型法)

构造型填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构 造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学 问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积累, 需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比, 从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感, 构造出相应的函数、 概率、 几何等具体的数学模型,使问题快速解决.

第67页

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例1

π 2sin?x+ ?+2x2+x 4 函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值 2x2+cos x

为 m,则 M+m=________. 【分析】直接求 f(x)的最大值、最小值显然不可取.化简 f(x) x+sin x x+sin x =1+ 2 ,构造新函数 g(x)= 2 利用 g(x)的奇偶性 2x +cos x 2x +cos x 求解.

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第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

【解析】 根据分子和分母同次的特点,分子展开,得到部 x+sin x 分分式,f(x)=1+ 2 ,f(x)-1 为奇函数, 2x +cos x 则 m-1=-(M-1),∴M+m=2.

【答案】 2

第69页

第一部分

专题6

高考调研

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例2

如果锐角 α,β,γ 满足 cos2α+cos2β+cos2γ=1,那么

tanα· tanβ· tanγ 的最小值为________. 【分析】 根据条件 cos2α+cos2β+cos2γ=1,可联想到长方 体的对角线与其共点的三条棱的夹角的余弦的平方和为 1,于是 构造长方体 ABCD-A1B1C1D1.

第70页

第一部分

专题6

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【解析】

如图,设 AB=a,AD=b,AA1=c,从而有

b2+c2 a2+c2 a2+b2 2bc· 2ac· 2ab tanα· tanβ· tanγ = · b · c ≥ a abc =2 2. 当且仅当 a=b=c 时,tanα· tanβ· tanγ 有最小值 2 2.

【答案】

2 2

第71页

第一部分

专题6

高考调研

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例3

已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,则 a

的取值范围为________.

第72页

第一部分

专题6

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【解析】

(方程思想):因为 b+c=-a,bc=1-a.

所以 b,c 是方程 x2+ax+1-a=0 的两根. 所以 Δ=a2-4(1-a)≥0,即 Δ=a2+4a-4≥0. 解得 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2.
【答案】(-∞,-2-2 2]∪[-2+2 2,+∞)

第73页

第一部分

专题6

高考调研

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例4

已知 a、b、c>0,ab=2,a2+b2+c2=6,则 bc+ca 的

最大值为________. 【分析】 对于 ab+bc+ca, 我们可以构造向量(a, b, c)· (b, c,a)=ab+bc+ca,再利用向量的有关知识可解答出.

第74页

第一部分

专题6

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【解析】

构造两个向量 m=(a,b,c),n=(b,c,a),由

于 m· n=|m|· |n|cosθ≤|m||n|(θ 为向量 m 与 n 的夹角),故可得: ab+bc+ca≤ a2+b2+c2· b2+c2+a2=a2+b2+c2=6,

当且仅当 m 与 n 同向时,即 a=b=c,而 ab=2,故当且仅 当 a=b=c= 2时取等号,所以 bc+ca 的最大值为 4.

【答案】 4

第75页

第一部分

专题6

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1.在三棱锥 P-ABC 中,PA、PB、PC 两两互相垂直,且 PA=1,PB=PC= 2,则空间一点 O 到点 P、A、B、C 等距离 的 d 的值是________.

答案

5 2

第76页

第一部分

专题6

高考调研

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解析

以 PA、PB、PC 为长、宽、高构造长方体,则此长方

体内接于球,长方体的对角线就是球的直径,O 是球心,R 是球 5 的半径,则有(2R) =PA +PB +PC =5,故 d= . 2
2 2 2 2

第77页

第一部分

专题6

高考调研

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2.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值 范围是________.
答案 m≤-5

第78页

第一部分

专题6

高考调研

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解析

构造函数:f(x)=x2+mx+4,x∈(1,2).

由于当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立. 则 f(1)≤0,f(2)≤0, 即 1+m+4≤0,且 4+2m+4≤0.解得 m≤-5.

第79页

第一部分

专题6

高考调研

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3.若抛物线 y=-x2+ax-2 总在直线 y=3x-1 的下方,则 实数 a 的取值范围是________.
答案 1<a<5

第80页

第一部分

专题6

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解析

构造不等式,依题意知,不等式- x2 +ax-2<3x-1

在 R 上恒成立,即 x2+(3-a)x+1>0 在 R 上恒成立.故 Δ=(3- a)2-4<0,即 a2-6a+5<0,解得 1<a<5.

第81页

第一部分

专题6

高考调研

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4. 设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1). 若对所有的 x≥0 都有 f(x)≥ax 成立,则实数 a 的取值范围为________.
答案 (-∞,1]

第82页

第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

分析

构造函数 g(x)=f(x)-ax=(x+1)ln(x+1)-ax, 讨论 g(x)

的单调性,然后加以解决.

第83页

第一部分

专题6

高考调研

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解析

令 g(x)=(1+x)ln(1+x)-ax, 对函数 g(x)求导数 g′(x)

=ln(1+x)+1-a. 令 g′(x)=0,解得 x=ea-1-1. ①当 a≤1 时,对所有 x≥0,g′(x)≥0,所以 g(x)在[0,+ ∞)上是增函数. 又 g(0)=0,所以对 x≥0,有 g(x)≥0. 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax.

第84页

第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

②当 a>1 时,对于 0<x<ea 1-1,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,


ea-1-1)是减函数. 又 g(0)=0,所以对 0<x<ea-1-1 有 g(x)<g(0),即 f(x)<ax. 所以,当 a>1 时,不是对所有的 x≥0 都有 f(x)≥ax 成立. 综上,a 的取值范围(-∞,1].

第85页

第一部分

专题6

高考调研
方法六 概念辨析法

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

(1)多选型填空题是指:给出若干个命题或结论,要求从中选 出所有满足题意的命题或结论.这类题不论多选还是少选都是不 能得分的,相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的推理 过程,而是要求从结论出发逆向探究条件,且结论不唯一.此类 问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此,要求同学 们有扎实的基本功,能够准确的阅读数学材料,读懂题意,根据 新的情景,探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须 通过推理证明,而判断命题是假命题,举反例 是最有效的方法. ...
第86页

第一部分

专题6

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高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

(2)新定义型:即定义新情景,给出一定容量的新信息(考生 未见过),要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的 意义,将所给信息转化成高中所学习的数学模型,然后再用学过 的数学模型求解,最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多 涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系,要求同 学有较强的分析能力,不过此类题的求解较为简单.

第87页

第一部分

专题6

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例1

曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离

的积等于常数 a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 2 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于2a . 其中,所有正确结论的序号是________.

第88页

第一部分

专题6

高考调研
【解析】

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

设曲线 C 上动点 P(x,y),则

|PF1|· |PF2|= ?x+1?2+y2· ?x-1?2+y2=a2.即曲线 C 的方程 为 x4-2x2+2x2y2+2y2+y4+1-a4=0,①错,因为(0,0)不满足曲 线 C 的方程,事实上若(0,0)在曲线 C 上,则原点到 F1 与 F2 的距 离之积为 a2=1 与 a2>1 矛盾;②正确;若 P(x,y)在曲线 C 上, 1 则 P(-x,-y)也在曲线 C 上;③正确,S△PF1F2=2|PF1|· |PF2|sin 1 a2 ∠F1PF2≤ |PF1|· |PF2|= . 2 2

【答案】 ②③
第89页

第一部分

专题6

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例2

设有一组圆 Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N+).下

列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)

第90页

第一部分

专题6

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高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

【解析】 圆心为(k-1,3k), 半径为 2k2, 圆心在直线 y=3(x +1)上,所以直线 y=3(x+1)必与所有的圆相交,②正确;由 C1、 C2、C3 的图像可知①、③不正确;若存在圆过原点(0,0),则有(- k+1)2+9k2=2k4?10k2-2k+1=2k4(k∈N+),因为左边为奇数, 右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆均不过原点.

【答案】 ②④

第91页

第一部分

专题6

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例3

在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点

(x,y)为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题 的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②若 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整 点;

第92页

第一部分

专题6

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④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线.

第93页

第一部分

专题6

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【解析】

①正确,比如直线 y= 2x+ 3,当 x 取整数时,

y 始终是一个无理数;②错,直线 y= 2x- 2中 k 与 b 都是无理 数,但直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它 1 1 经过无数多个整点;④错误,当 k=0,b=2时,直线 y=2不通过 任何整点; ⑤正确, 比如直线 y= 2x- 2只经过一个整点(1,0). 故 答案为①③⑤.

【答案】 ①③⑤

第94页

第一部分

专题6

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例4

x2 2 已知椭圆 C: +y =1 的焦点为 F1、F2,若点 P 在椭 4

圆上,且满足|PO|2=|PF1|· |PF2|(其中 O 为坐标原点),则称点 P 为 “★点”,那么椭圆上有________个“★点”.

第95页

第一部分

专题6

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【解析】 设椭圆上的点 P(x0,y0),|PF1|=2-ex0,|PF2|=2 +ex0,因为|PO| =|PF1|· |PF2|,则有
2

3 2 2 2 2 2 4-e x0=x0+y0= x0+1,解 4

得 x0=± 2,因此满足条件的有 4 个点.

【答案】 4

第96页

第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

1. (2013· 山东)定义“正对数”: ln 个命题:



? ?0,0<x<1, x=? ? ?lnx,x≥1,

现有四

①若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=bln+a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; a ③若 a>0,b>0,则 ln+(b)≥ln+a-ln+b;

第97页

第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

④若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

答案 ①③④

第98页

第一部分

专题6

高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

解析

对于①:当 0<ab<1 时, 此时 ln+(ab)=bln+a=0; 此时 ln+(ab)=bln+a=0;

? ?0<a<1, 有? ? ?b>0,

当 ab=1 当 ab>1

? ?a=1, 时,有? ? ?b>0,

? ?a>1, 时,有? ? ?b>0,

此时 ln+(ab)=ln ab=blna,

第99页

第一部分

专题6

高考调研
而 bln+a=blna=ln+(ab), 综上,ln+(ab)=bln+a,故①正确;

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

1 + + 2 对于②:令 a=2,b=3,则 ln (ab)=ln (3)=0; 而 ln+a+ln+b=ln2>0,故 ln+(ab)=ln+a+ln+b 不成立,故② 错误; a 对于③:当 0< <1 时, b ?a<b, ? 有?0<a<1 ? ?0<b<1
第100页

?a<b, ? ,或?a≥1, ?b≥1 ?

?a<b, ? 或?0<a<1, ?b≥1, ?
第一部分 专题6

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a 经验证,ln ( )≥ln+a-ln+b 成立; b


a 当b>1 时, ?a>b, ? 有?0<a<1 ? ?0<b<1 ?a>b, ? ,或?a≥1, ?b≥1 ?


?a>b, ? 或?0<b<1, ?a≥1, ?

a 经验证,ln ( )≥ln+a-ln+b 成立; b

第101页

第一部分

专题6

高考调研

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a + a 当 =1 时,ln ( )≥ln+a-lnb 成立,故③正确; b b 对于④,分四种情况进行讨论: 当 a≥1,b≥1 时,不妨令 a>b,有 2ab≥2a≥a+b, 此时 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2 成立; 同理,当 a≥1,0<b<1 或 0<a<1,b≥1 或 0<a<1,0<b<1 时,ln


(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2 成立.故④正确; 综上所述,①③④均正确.

第102页

第一部分

专题6

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2.在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫作取整函数(也称 高斯函数),表示不超过 x 的最大整数,例如[2]=2,[3.3]=3,[- 2x 1 2.4]=-3,设函数 f(x)= - ,则函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值 1+2x 2 域为________.

答案 {-1,0}

第103页

第一部分

专题6

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解析

由题意知, f(x)是定义域 R 上的奇函数,且值域是 x=0,x>0,x<0 时讨论

? 1 1? ? 1 1? ?- , ?.∴f(-x)的值域也是?- , ?;分 ? 2 2? ? 2 2?

2x 1 1 1 1 1 函数 y 的值即可.f(x)= x- =1- x- = - x,f(- 2 2 2 1+2 1+2 1+2 2-x 1 1 1 x)= - = - . 1+2-x 2 1+2x 2

第104页

第一部分

专题6

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∴f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数. 1 又∵2 >0,∴1+2 >1,∴0< <1. 1+2x
x x

1 1 1 1 ∴-2< - < . 1+2x 2 2 1 1 1 1 即-2<f(-x)<2.所以,-2<f(x)<2. 当 x=0 时,f(x)=f(-x)=0,y=[f(x)]+[f(-x)]=0. 1 1 当 x≠0 时,若 x>0,则 0<f(x)<2,-2<f(-x)<0.
第105页

第一部分

专题6

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∴y=[f(x)]+[f(-x)]=0+(-1)=-1. 若 x<0,则 y=[f(x)]+[f(-x)]=(-1)+0=-1. 所以函数 y 的值域为{-1,0}.

第106页

第一部分

专题6

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3.对于函数

? ?sinx,sinx≤cosx, f(x)=? ? ?cosx,sinx>cosx

给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1; 5π ③该函数的图像关于 x= +2kπ(k∈Z)对称; 4

第107页

第一部分

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π 2 ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________. (请将所有正确命题的序号 都填上)

答案 ③④

第108页

第一部分

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解析

在直角坐标系中画出 f(x)在一个周期[0,2π]上的图像.

第109页

第一部分

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3 由图像知,函数 f(x)的最小正周期为 2π,在 x= π+2kπ(k∈ 2 Z)和 x=π+2kπ(k∈Z)时, 该函数都取得最小值-1, 故①②错误; 5 π 由图像知, 函数图像关于直线 x= π+2kπ(k∈Z)对称, 在 2kπ<x< 4 2 2 +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ 2 .故③④正确.

第110页

第一部分

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4.对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),定 义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中, 若∠C=90° , 则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖
2

; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的序号为________. 答案 ①③
第111页

第一部分

专题6

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解析

对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2),

定义它们之间的一种“距离”: ‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. ①若点 C 在线段 AB 上,设 C 点坐标为 (x0,y0),x0 在 x1、x2 之间,y0 在 y1、y2 之间,则 ‖ AC ‖+‖ CB‖= |x0 -x1|+ |y0 - y1|+ |x2 - x0|+ |y2 -y0|= |x2 -x1|+|y2-y1|=‖AB‖;

第112页

第一部分

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③在△ABC 中, ‖ AC ‖+‖ CB ‖= |x0 - x1|+ |y0 - y1|+ |x2 - x0|+ |y2 - y0|>|(x0 -x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=‖AB‖. ∴命题①③成立,而命题②在△ABC 中, 若∠C=90° ,则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2;明显不成立.

第113页

第一部分

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专题集训?作业(word)

第114页

第一部分

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