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2016高考数学大一轮复习 14.3坐标系与参数方程教师用书 理 苏教版


§14.3

坐标系与参数方程

1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,叫做极点,从 O 点引一条射 线 Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径,记为 ρ ,以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角叫做点 M 的极角, 记为 θ .有序数对(ρ , θ )叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ , θ ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在 两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标 为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为 x=ρ cos_θ ,y=ρ sin_θ . 另一种关系为 ρ =x +y ,tan θ = . 2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ =α (ρ ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线; ρ cos θ =a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;
2 2 2

y x

? π? ρ sin θ =b 表示过?b, ?且平行于极轴的直线; 2? ?
ρ sin(α -θ )=ρ 1sin(α -θ 1)表示过(ρ 1,θ 1)且与极轴成 α 角的直线方程. (2)圆的极坐标方程 ρ =2rcos θ 表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆;

? π? ρ =2rsin θ 表示圆心在?r, ?,半径为|r|的圆; 2? ?
ρ =r 表示圆心在极点,半径为|r|的圆. 3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变量 t 的函数
? ?x=f?t?, ? ?y=g?t?. ?

并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的
1

参数方程,其中变量 t 称为参数. 4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为?
?x=x0+tcos α ? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数).

(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为?

2

2

2

? ?x=a+rcos θ ?y=b+rsin θ ?

(θ 为参数).

(3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为?

x2 y2 a b
2

?x=acos θ ? ? ?y=bsin θ
2

(θ 为参数).

(4)抛物线方程 y

?x=2pt ? =2px(p>0)的参数方程为? ?y=2pt ?

(t 为参数).

π 1.在极坐标系中,直线 ρ sin(θ + )=2 被圆 ρ =4 截得的弦长为________. 4 答案 4 3 2.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? 答案 4 3.直线?
?x=-1+tsin 40°, ? ?y=3+tcos 40° ? ?x=4t , ? ? ?y=4t
2

(t 为参数)上,则 PF=________.

(t 为参数)的倾斜角为________.

答案 50° 4.(2014?天津)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 和直线 ρ sin θ =a 相交于 A,

B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________.
答案 3 解析 由 ρ =4sin θ 可得 x +y =4y,即 x +(y-2) =4. 由 ρ sin θ =a 可得 y=a. 设圆的圆心为 O′,y=a 与 x +(y-2) =4 的两交点 A,B 与 O 构成等 边三角形,如图所示. 由对称性知∠O′OB=30°,OD=a. 在 Rt△DOB 中,易求 DB= ∴B 点的坐标为( 3 a, 3
2 2 2 2 2 2

3 a,a). 3

2

又∵B 在 x +y -4y=0 上,∴(

2

2

3 2 2 a) +a -4a=0, 3

4 2 即 a -4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3. 3

题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐

π 标方程为 ρ cos(θ - )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π 1 3 解 (1)由 ρ cos(θ - )=1 得 ρ ( cos θ + sin θ )=1. 3 2 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π 当 θ = 时,ρ = ,所以 N( , ). 2 3 3 2 (2)M 点的直角坐标为(2,0).

N 点的直角坐标为(0,

2 3 ). 3 3 ). 3

所以 P 点的直角坐标为(1,

2 3 π 则 P 点的极坐标为( , ), 3 6 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R). 6 思维升华 直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x=ρ cos θ 及 y=ρ sin θ 直接代 入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 ρ cos θ ,ρ sin θ , ρ 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的 变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验. 在极坐标系中,已知圆 ρ =2cos θ 与直线 3ρ cos θ +4ρ sin θ +a=0 相切, 求实数 a 的值.
3
2

解 将极坐标方程化为直角坐标方程, 得圆的方程为 x +y =2x, 即(x-1) +y =1, 直线的方程为 3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1, |3?1+4?0+a| 即有 =1, 2 2 3 +4 解得 a=-8 或 a=2. 故 a 的值为-8 或 2. 题型二 参数方程与普通方程的互化
2 2 2 2

例 2

?x= 5cos θ , 已知两曲线参数方程分别为? ?y=sin θ

5 ? ?x= t2, (0≤θ <π ) 和 ? 4 ? ?y=t

(t∈R),求它们的交点坐标.

x 4 2 2 解 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 +y =1 (0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 y = x, 5 5

2

? 2 5? 联立解得交点为?1, ?. 5 ? ?
思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、 加减消元、 平方后再加减 消元等.对于与角 θ 有关的参数方程,经常用到的公式有 sin θ +cos θ =1,1+tan θ = 1 等. 2 cos θ (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数 的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性. (2014?重庆)已知直线 l 的参数方程为?
?x=2+t, ? ? ?y=3+t
2 2 2

(t 为参数),以坐标原点
2

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin θ -4cos θ = 0(ρ ≥0,0≤θ <2π ),则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ =________. 答案 解析
2 2

5 参数方程 ?
? ?x=2+t, ?y=3+t ?

化为普通方程为 y = x + 1. 由 ρ sin θ - 4cos θ = 0 ,得
2 2

2

ρ sin θ -4ρ cos θ =0,其对应的直角坐标方程为 y -4x=0,即 y =4x. 由?
?y=x+1, ? ? ?y =4x
2 2 2

可得 ?

?x=1, ? ? ?y=2,

故直线和抛物线的交点坐标为 (1,2) ,故交点的极径为

1 +2 = 5.
4

题型三 极坐标、参数方程的综合应用 例3 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲

3 ? ?x=-3+ 2 t, 线 C 的极坐标方程是 ρ =4cos θ , 直线 l 的参数方程是? 1 ? ?y=2t

(t 为参数),

M,N 分别为曲线 C、直线 l 上的动点,求 MN 的最小值.
解 化极坐标方程 ρ =4cos θ 为直角坐标方程 x +y -4x=0, 所以曲线 C 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆. 3 ? ?x=-3+ 2 t, 化参数方程? 1 ? ?y=2t
2 2

(t 为参数)为普通方程 x- 3y+3=0.

|2+3| 5 圆心到直线 l 的距离 d= = , 1+3 2 此时,直线与圆相离, 5 1 所以 MN 的最小值为 -2= . 2 2 思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直 角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用. π π (1)(2014?陕西)在极坐标系中,点(2, )到直线 ρ sin(θ - )=1 的距离是 6 6 ________. (2)在极坐标系中,点 A 的坐标为(2 2, π ),曲线 C 的方程为 ρ =2cos θ ,则 OA(O 为极 4

点)所在直线被曲线 C 所截弦的长度为________. 答案 (1)1 (2) 2 π 解析 (1)点(2, )化为直角坐标为( 3,1), 6 π 3 1 直线 ρ sin(θ - )=1 化为 ρ ( sin θ - cos θ )=1, 6 2 2 3 1 y- x=1, 2 2 3 ?1 ? ? ? 3- ?1+1? 2 ?2 ? 1 2 3 2 ? ? +?- ? 2 2

1 3 1 3 即 x- y+1=0,点( 3,1)到直线 x- y+1=0 的距离为 2 2 2 2

=1.

5

(2)由题意知直线 OA 的直角坐标方程为 x-y=0,曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =2x,即 (x-1) +y =1,易知曲线 C 为圆,且圆心 C 到直线 OA 的距离为 1 1- = 2. 2
2 2

2

2

1 2

,故直线 OA 被曲线 C 所

截弦的长度为 2

参数的几何意义不明致误 1 x= t, ? ? 2 典例:(10 分)已知直线 l 的参数方程为? 2 3 ? ?y= 2 + 2 t

(t 为参数),若以直角坐标系

xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标
π 方程为 ρ =2cos(θ - ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 AB. 易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误. 规范解答

x=tcos 60°, ? ? 解 (1)直线的参数方程可以化为? 2 y= +tsin 60°, ? 2 ?
根据直线参数方程的意义,直线 l 经过点(0, 倾斜角为 60°.[4 分] (2)直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ π ρ =2cos(θ - )的直角坐标方程为 4 (x- 2 2 2 2 ) +(y- ) =1,[8 分] 2 2 2 2 6 , )到直线 l 的距离 d= . 2 2 4 10 .[10 分] 2 2 ,[6 分] 2 2 ), 2

[2 分]

所以圆心( 所以 AB=

6

温馨提醒 对于直线的参数方程? α 则是直线的倾斜角. 与此类似,椭圆参数方程?

?x=x0+tcos α , ? ?y=y0+tsin α ?

(t 为参数)来说, 要注意 t 是参数, 而

? ?x=acos φ , ?y=bsin φ ?

的参数 φ 有特别的几何意义,它表示离心角.

方法与技巧 1. 曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路: 对于简单的我们可以直接代入公式 ρ cos θ =x,ρ sin θ =y,ρ =x +y ,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两 边同时乘以 ρ 等. 2.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用 1 2 2 2 到公式:cos θ +sin θ =1,1+tan θ = 2 . cos θ 3. 利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便, 是我们解决这类问题的好 方法. 失误与防范 1.极径 ρ 是一个距离,所以 ρ ≥0,但有时 ρ 可以小于零.极角 θ 规定逆时针方向为正, 极 坐标与平 面直角坐 标不 同,极坐 标与 P 点之间 不是一一 对应的, 所以 我们又规 定 ρ ≥0,0≤θ <2π ,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数 的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
2 2 2

A 组 专项基础训练 (时间:50 分钟) 2 ? ?x=1- 2 t, 1.(2014?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? 2 ? ?y=2+ 2 t (t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
2

7



2 ? ?x=1- 2 t, 将直线 l 的参数方程? 2 y=2+ t ? ? 2
2

代入抛物线方程 y =4x, 得?2+

? ?

2 ?2 ? 2 ? t? =4?1- t?, 2 ? 2 ? ?

解得 t1=0,t2=-8 2. 所以 AB=|t1-t2|=8 2. 2. 已知曲线 C 的参数方程为? π + )=- 2. 4 (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由. 解 (1)由?
?x=sin α , ? ?y=cos α , ?
2

? ?x=sin α , ?y=cos α , ?
2

α ∈[0,2π ), 曲线 D 的极坐标方程为 ρ sin(θ

α ∈[0,2π )得

x2+y=1,x∈[-1,1].
π (2)由 ρ sin(θ + )=- 2得曲线 D 的普通方程为 x+y+2=0. 4
? ?x+y+2=0, ? 2 ?x +y=1 ?

得 x -x-3=0.

2

1± 13 解得 x= ?[-1,1],故曲线 C 与曲线 D 无公共点. 2 3.(2013?福建)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,已知点 A 的极坐标为( 2, 在直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C 的参数方程为?
? ?x=1+cos α , ?y=sin α ?

π π ),直线 l 的极坐标方程为 ρ cos(θ - )=a,且点 A 4 4

(α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

π π 解 (1)由点 A( 2, )在直线 ρ cos(θ - )=a 上,可得 a= 2. 4 4 所以直线 l 的方程可化为 ρ cos θ +ρ sin θ =2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0.
8

(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +y =1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 与圆 C 相交. π? ? 4.在极坐标系中,P 是曲线 ρ =12sin θ 上的动点,Q 是曲线 ρ =12cos?θ - ?上的动点, 6? ? 试求 PQ 的最大值. 解 ∵ρ =12sin θ ,∴ρ =12ρ sin θ , ∴x +y -12y=0,即 x +(y-6) =36. π? ? 又∵ρ =12cos?θ - ?, 6? ? π π? ? 2 ∴ρ =12ρ ?cos θ cos +sin θ sin ?, 6 6? ? ∴x +y -6 3x-6y=0, ∴(x-3 3) +(y-3) =36, ∴PQmax=6+6+ ?3 3? +3 =18. π? π? ? ? 5.在极坐标系中,已知三点 M?2,- ?、N(2,0)、P?2 3, ?. 3 6? ? ? ? (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上. 解 (1)由公式?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1 2



2 <1, 2

得 M 的直角坐标为(1,- 3);

N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为(3, 3).
3 3-0 (2)∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3-2 ∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上. 1 ? ?x′=2x, 6.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 1 ? ?y′=3y 何种曲线,并求曲线的焦点坐标. 解 圆 x +y =36 上任一点为 P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P′(x′,y′),则
? ?x=2x′, ? ?y=3y′, ?
2 2

后,曲线 C:x +y =36 变为

2

2

9

∴4x′ +9y′ =36,即

2

2

x′2 y′2
9 + 4

=1.

∴曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 + =1,其焦点坐标为(± 5,0). 9 4 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.(2014?福建)已知直线 l 的参数方程为?
?x=4cos θ , ? ? ? ?y=4sin θ ? ?x=a-2t, ?y=-4t ?

x2 y2

(t 为参数),圆 C 的参数方程为

(θ 为参数).

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x +y =16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5. π 2 2.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ =2,ρ -2 2ρ cos(θ - )=2. 4 (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解 (1)由 ρ =2 知 ρ =4, 所以 x +y =4; π 2 因为 ρ -2 2ρ cos(θ - )=2, 4 所以 ρ -2 2ρ (cos θ cos 所以 x +y -2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ =1, π 2 即 ρ sin(θ + )= . 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2

π π +sin θ sin )=2, 4 4

10

3.(2013?课标全国Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为?

?x=4+5cos ? ?y=5+5sin ?

t, t

(t 为参数),以坐标原

点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 解 (1)∵C1 的参数方程为?
? ?5cos t=x-4 ∴? ?5sin t=y-5 ?
2 2

? ?x=4+5cos ?y=5+5sin ?

t t

.

.
2 2

∴(x-4) +(y-5) =25(cos t+sin t)=25, 即 C1 的直角坐标方程为(x-4) +(y-5) =25, 把 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入(x-4) +(y-5) =25, 化简得:ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. (2)C2 的直角坐标方程为 x +y =2y,
? ??x-4? +?y-5? =25 解方程组? 2 2 ?x +y =2y ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

得?

? ?x=1 ?y=1 ?

或?

? ?x=0 ?y=2 ?

.

∴C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,1),(0,2). π? ? π? ? ∴C1 与 C2 交点的极坐标为? 2, ?,?2, ?. 4? ? 2? ? 4.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极 π? ? 坐标方程分别为 ρ =4sin θ ,ρ cos?θ - ?=2 2. 4? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 y= t +1 ? ? 2
(t∈R 为参数),求 a,b 的值. 解 (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 解?
?x +?y-2? =4, ? ? ?x+y-4=0,
2 2 2 2

3

得?

?x1=0, ? ? ?y1=4,

?x2=2, ? ? ? ?y2=2.

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4, ?,?2 2, ?, 2? ? 4? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),
11

(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2

b

ab

b ? ?2=1, 所以? ab - +1=2, ? ? 2

解得 a=-1,b=2.

12


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