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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第1部分 专题4 第2讲 高考中的立体几何


第二讲

高考中的立体几何?解答题型?

考点 线线、线面、面 面的位置关系 异面直线所成的

考情 1.空间位置关系的证明及空间角的求法是 每年必考内容,多问设置.空间角的求法多

处在问题的最后一问,多为求直线与平面所 角、线面角、面
面角的计算 成角的二面角,如2013年天津高考T17,2013年 湖南高考T17. 2.多以柱体、锥体为载体考查,难度中等.

1.(2013· 天津高考)如图,三棱柱 ABC- 1B1C1 中, A 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D, E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明:EF∥平面 A1CD; (2)证明:平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

解:(1)证明:如图,在三棱柱 ABC- 1B1C1 中, A AC∥A1C1,且 AC=A1C1,连接 ED,在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 1 DE=2AC 且 DE∥AC,又 F 为 A1C1 的中点,可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1,又 EF?平面 A1CD,DA1?平面 A1CD,所以 EF∥平面 A1CD.

(2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD ⊥AB,又侧棱 A1A⊥底面 ABC,CD?平面 ABC,所以 AA1⊥ CD,又 AA1∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1,而 CD?平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (3)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G, 连接 CG.由于平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线,故 BG⊥平面 A1CD.由此可得∠ BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角.

5a 设棱长为 a,可得 A1D= 2 ,由△A1AD∽△BGD,易得 5a BG 5 BG= 5 ,在 Rt△BGC 中,sin∠BCG=BC= 5 . 5 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 5 .

2.(2013· 湖南高考)如图在直棱柱 ABC- 1B1C1 A 中,∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA1=3, D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线 AC, 1E 所成的角为 60° 求三棱锥 C1- 1B1E C 时, A 的体积.

解:(1)证明:因为 AB=AC,D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC. ①

又在直三棱柱 ABC- 1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,而 A AD?平面 ABC,所以 AD⊥BB1. 由①②,得 AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1 上运动,得 C1E?平面 BB1C1C, 所以 AD⊥C1E. ②

(2)因为 AC∥A1C1,所以∠A1C1E 是异面直线 AC,C1E 所成的角,由 题设知∠A1C1E=60° . 因为∠B1A1C1=∠BAC=90° ,所以 A1C1⊥A1B1, 又 AA1⊥A1C1,从而 A1C1⊥平面 A1ABB1, A1C1 于是 A1C1⊥A1E.故 C1E=cos 60° =2 2. 又 B1C1= A1C2+A1B2=2, 1 1 所以 B1E= C1E2-B1C2=2. 1 1 1 1 2 从而 V 三棱锥 C1- 1B1E=3S△A1B1E· 1C1=3×2×2× 2× 2=3. A A

1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:∵a?α,b?α,a∥b,∴a∥α. (2)线面平行的性质定理:∵a∥α,a?β,α∩β=b,∴a ∥b. (3)面面平行的判定定理:∵a?β,b?β,a∩b=P,a∥α, b∥α,∴α∥β. (4)面面平行的性质定理:∵α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,∴ a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:∵m?α,n?α,m∩n=P,l⊥ m,l⊥n,∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:∵a⊥α,b⊥α,∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理:∵a?β,a⊥α,∴α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:∵α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l, ∴a⊥β.

3.空间角的求法 (1)求异面直线所成角的一般步骤为: ①平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成 为相交直线. ②证明:证明所作的角是异面直线所成的角. ③寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形, 并解之. ④取舍:因为异面直线所成角 θ 的取值范围是 0° <θ≤90° , 所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.

(2)求直线和平面所成角关键是确定直线在平面内的投 影. 为此, 必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面 的垂线,这使我们想到两个平面垂直的性质作线面垂直. (3)二面角的大小是用它的平面角来度量的.作(或找)二面 角的平面角,常用下面的方法: 由一个半平面内的一点 A(不在棱上),向另一半平面作垂 线, 垂足为 B, 由点 B(或点 A)向二面角的棱作垂线, 垂足为 O, 连接 AO(或 BO),则∠AOB 为二面角的平面角.

空间位置关系及异面直线所成的角
[例 1] (2013· 长沙模拟)如图,五面体 ABCDE

中,平面 BCD⊥平面 ABC,AC⊥BC,ED∥AC, 且 AC=BC=2ED=2,DC=DB= 7,H,F 分别 是 BC,AE 的中点. (1)求证:FH∥平面 BED; (2)求异面直线 FH 与 AC 所成角的余弦值.

[自主解答]

(1)证明:取 CD 的中点 G,连接 FG,GH,

因为 ED∥AC,F,G 分别为 AE,CD 的中点, 所以 FG∥ED. 因为 H,G 分别为 CB,CD 的中点,所以 HG∥BD. 又因为 FG∩HG=G,ED∩BD=D, 所以平面 FGH∥平面 BED, 所以 FH∥平面 BED.

(2)因为 FG∥AC, 故∠HFG 是异面直线 FH 与 AC 所成角. 因为 AC⊥BC,且平面 BCD⊥平面 ABC, 所以 AC⊥平面 BCD,故 AC⊥GH, 又因为 FG∥AC, 所以 FG⊥GH, 因为 FG 是梯形 ACDE 的中位线, AC+DE 3 故 FG= =2, 2

因为 GH 是△CDB 的中位线, DB 7 故 GH= 2 = 2 , 在 Rt△FGH 中,可求得 FH=2, FG 3 所以 cos ∠HFG=FH=4, 3 即异面直线 FH 与 AC 所成角的余弦值为4.

——————————规律· 总结————————————

(1)证明线线平行常用的两种方法: ①构造平行四边形; ②构造三角形的中位线. (2)证明线面平行常用的两种方法: ①转化为线线平行; ②转化为面面平行.

(3)证明面面平行的方法: 证明面面平行的常用的方法是利用判定定理,其关键是结 合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面. (4)异面直线所成角的求法: 求异面直线所成的角通常是先通过取中点或作平行线找到 两异面直线所成的角,然后解含有这个角的三角形,若求得的 角为钝角,则这个角的补角为所求的角.

1.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是 矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 已知 AB=2,AD=2 2,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
解:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+?2 2?2=2 3,CD=2, 1 所以三角形 PCD 的面积为2×2×2 3=2 3.

(2)取 PB 的中点 F,连接 EF,AF, 则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异 面直线 BC 与 AE 所成的角.在△AEF 1 中,由 EF= 2,AF= 2,AE=2PC= 1 1 2 2 2 PA +AC =2 2 +AB2+AD2=2, 知△AEF 是等腰直角三 2 π 角形.所以∠AEF=4. π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 4.

空间位置关系及线面角
[例 2] 如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,∠A=60° , ∠C=90° CD=2.把△ABD 沿 BD 折起(如图 2), , 使二面角 A- C 的余 BD3 弦值等于 .对于图 2,完成以下各小题: 3 (1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC⊥平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

[自主解答]

(1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,

由 AB=AD,CB=CD,得 AE⊥BD,CE⊥BD. ∴∠AEC 就是二面角 A- C 的平面角, BD3 ∴cos∠AEC= 3 . 在△ACE 中,AE= 6,CE= 2, AC2 =AE2 +CE2 -2AE· cos ∠AEC=6+2-2× 6 CE· 3 × 2× 3 =4, ∴AC=2.

(2)证明:∵AB=AD=BD=2 2,AC=BC=CD=2, ∴AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2, ∴∠ACB=∠ACD=90° , ∴AC⊥BC,AC⊥CD, 又∵BC∩CD=C,∴AC⊥平面 BCD. (3)法一:由(1)知 BD⊥平面 ACE,BD?平面 ABD, ∴平面 ACE⊥平面 ABD. 平面 ACE∩平面 ABD=AE, 作 CF⊥AE 交 AE 于 F,则 CF⊥平面 ABD,∠CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角, CE 3 ∴sin∠CAF=sin∠CAE=AE= 3 .

法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h, ∵VC- =VA- , ABD BCD 1 1 1 1 ∴3×2×2 2×2 2sin 60°h=3×2×2×2×2, · 2 3 ∴h= 3 . h 3 于是 AC 与平面 ABD 所成角 θ 的正弦为 sin θ=AC= 3 .

——————————规律· 总结————————————
(1)垂直问题的转化方向 面面垂直?线面垂直?线线垂直.主要依据有关定义及判定定 理和性质定理证明.具体如下: ①证明线线垂直:a.线线垂直的定义;b.线面垂直的定义;c.勾 股定理等平面几何中的有关定理. ②证明线面垂直:a.线面垂直的判定定理;b.面面垂直的性质 定理. ③证明面面垂直:a.面面垂直的定义;b.面面垂直的判定定理.

(2)线面角的求法 求直线与平面所成的角,通常是先找到(或作出)过斜线上 一点垂直于平面的直线,斜足与垂足的连线就是斜线在平面内 的射影,该斜线与射影的夹角就是所求的线面角,解这个角所 在的直角三角形可得线面角.

2.如图,在组合体中,ABCD- 1B1C1D1 是一个 A 长方体,PABCD 是一个四棱锥.AB=2, BC=3,点 P∈平面 CC1D1D 且 PD=PC= 2. (1)证明:PD⊥平面 PBC; (2)求 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)若 AA1=a,当 a 为何值时,PC∥平面 AB1D.

解:(1)证明:由于 PD=PC= 2,CD=AB=2, 所以△PCD 为等腰直角三角形,所以 PD⊥PC. 因为 ABCD- 1B1C1D1 是长方体, A 所以 BC⊥平面 CC1D1D,而 P∈平面 CC1D1D, 所以 PD?平面 CC1D1D, 所以 BC⊥PD. 此时 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC,由线 面垂直的判定定理,可得 PD⊥平面 PBC.

(2)过 P 点作 PE⊥CD 于 E,连接 AE.

因为平面 ABCD⊥平面 PCD,所以 PE⊥平面 ABCD, 所以∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△AEP 中,

因为 PE=1,AE= 10, PE 1 10 所以 tan ∠PAE=AE= = 10 . 10 10 所以 PA 与平面 ABCD 所成角的正切值为 10 . (3)当 a=2 时,PC∥平面 AB1D. 当 a=2 时,四边形 CC1D1D 是正方形, 所以∠C1DC=45° ,而∠PCD=45° , C1D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC∥C1D. 而 C1D?平面 AB1C1D,所以 PC∥平面 AB1C1D,即 PC∥平面 AB1D.

空间位置关系与二面角
[例 3] 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ACB=90° ,EA⊥平 面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC, AB=2EF. (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A- C 的大小. BF-

[自主解答]

(1)证明:法一:因为 EF∥AB,FG∥BC,

EG∥AC,∠ACB=90° , 所以∠EGF=90° ,△ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG. 连接 AF,

在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点, 1 则 AM∥BC,且 AM=2BC, 1 由于 FG∥BC,FG=2BC, 因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形, 因此 GM∥FA. 又因为 FA?平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE.

法二:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90° , 所以∠EGF=90° ,△ABC∽△EFG, 由于 AB=2EF,所以 BC=2FG. 取 BC 的中点 N,连接 GN,

因此四边形 BNGF 为平行四边形, 所以 GN∥FB. 在?ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN,则 MN∥AB. 因为 MN∩GN=N,所以平面 GMN∥平面 ABFE. 又因为 GM?平面 GMN, 所以 GM∥平面 ABFE.

(2)由题意知,平面 ABFE⊥平面 ABCD,取 AB 的中点 H, 连接 CH,

因为 AC=BC,所以 CH⊥AB,则 CH⊥平面 ABFE. 过 H 作 BF 的垂线交 BF 于 R,连接 CR. 则 CR⊥BF,所以∠HRC 为二面角 A- C 的平面角. BF由题意,不妨设 AC=BC=2AE=2,

在直角梯形 ABFE 中,连接 FH,则 FH⊥AB,又因为 AB=2 2,所以 HF=AE=1,BH= 2, 6 因此在 Rt△BHF 中,HR= 3 . 1 由于 CH=2AB= 2, 2 所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC= = 3, 6 3 因此二面角 A- C 的大小为 60° BF.

——————————规律· 总结————————————
求二面角的大小,关键在于找到二面角的平面角,找二面角的 平面角最重要的方法是垂线法,其具体步骤为: (1)弄清该二面角及它的棱; (2)考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线 (往往先找垂面再找垂线); (3)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线,连接垂 足与另一个端点,所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角; (4)解这个角所在的直角三角形,可得到二面角的大小.

3.如图,直三棱柱 ABC- 1B1C1 中,AC=BC= A 1 2AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1- C1 的大小. BD解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 1 又 AC=2AA1,可得 DC2+DC2=CC2,所以 DC1⊥DC. 1 1 而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD. BC?平面 BCD,故 DC1⊥BC.

(2)取 A1B1 的中点 E,连接 C1E,DE,因为 A1C1=C1B1,所以 C1E⊥A1B1,又棱柱为直棱柱,故 C1E⊥平面 A1BD. 又 C1D⊥BD,所以 DE⊥BD,从而∠C1DE 是二面角 A1- C1 BD的平面角. 设 AA1=2a,则 A1C1=C1B1=A1D=a, 2 所以 C1D= 2a,C1E= 2 a. C1E 1 在 Rt△C1DE 中,sin∠C1DE=C D=2,∠C1DE=30° . 1 所以二面角 A1- C1 的大小为 30° BD.

课题 15
[典例]

空间线面位置关系的证明及线面角的求法
(2013· 浙江高考)如图,在四

棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3, ∠ABC=120° 为线段 PC 上的点. .G

(1)证明:BD⊥平面 APC; (2)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值; PG (3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求GC的值. [考题揭秘] 本题主要考查空间线面的位置关系、线面所成的

角,考查推理论证能力和空间想象能力以及运算求解的能力.

[审题过程]

第一步:审条件.四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,

AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120° 为线段 PC 上的点. ,G 第二步:审结论.(1)证明 BD⊥平面 APC;(2)若 G 为 PC 的中点,求 PG DG 与平面 APC 所成角的正切值;(3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求GC的值. 第三步:建联系.第(1)问要证 BD⊥平面 APC,只要证明直线 BD 与平 面 APC 内的两条相交直线垂直即可; 第(2)问可利用线面垂直(BD⊥平面 APC) 找到线面角(∠OGD),通过解三角形求解;第(3)问可利用线面垂直(PC⊥平 面 BGD)得到线线垂直(PC⊥OG),通过三角形求解.

[规范解答] BD 的交点.

(1)证明:设点 O 为 AC,

由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线 段 AC 的中垂线.···········① · ·· · ·· ·· · ·· 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. ·· ··② 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,·····① ·· · ·· 所以 PA⊥BD. ··················② ·· ·· · ·· ·· · ·· ·· · ·· 又 AC∩PA=A,所以 BD⊥平面 APC. ······· ·······③

(2)连接 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG,·················· ···················① 所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角.·····② · ·· · · 1 3 由题意得 OG=2PA= 2 . 在 △ ABC 中 , AC =
? 1? 4+4-2×2×2×?-2?=2 ? ?

AB2+BC2-2AB· cos∠ABC = BC· 3,

1 所以 OC=2AC= 3. 在直角△OCD 中,OD= CD2-OC2= 7-3=2.

OD 4 3 在直角△OGD 中,tan∠OGD=OG= 3 . 4 3 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为 3 .··· ···③ (3)因为 PC⊥平面 BGD,OG?平面 BGD,所以 PC⊥OG. 在直角△PAC 中,得 PC= PA2+AC2= 3+12= 15. AC· OC 2 3× 3 2 15 所以 GC= PC = = 5 . 15 3 15 从而 PG= 5 , PG 3 所以GC=2.

[模型归纳] 证明线面垂直与求线面角的模型示意图如下:
找或作 — 在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂
直;在已知平面内找或作线面所成的角,如步骤①



— 证明所找或作的直线与已知直线垂直;证明所找或作
的角为所求的线面角,如步骤②

在线面角所在三角形中通 用或求 — 利用线面垂直的判定定理, 过解三角形,得出结论,如步骤③

[变式训练] 如图,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为 矩形,且 PA=AD=1,AB=2,∠PAB= 120° ,∠PBC=90° . (1)求证:平面 PAD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

解:(1)证明:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD⊥AB 且 AD∥BC, ∵BC⊥PB,∴AD⊥PB,且 AB∩PB=B, ∴AD⊥平面 PAB,又∵AD?平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 PAB. (2)由(1)知 AD⊥平面 PAB,∵AD?平面 ABCD, ∴平面 ABCD⊥平面 PAB. 在平面 PAB 内,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E,则 PE⊥平面 ABCD,连接 EC,

则∠PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角, 3 在 Rt△PEA 中,∵∠PAE=60° ,PA=1,∴PE= 2 , 在△PAB 中, ∵PB2=PA2+AB2-2PA· ABcos 120° =7, ∴PC= PB2+BC2=2 2. 3 2 PE 6 在 Rt△PEC 中,sin θ=PC= = . 2 2 8 6 即直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 8 .

预测演练提能


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