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2012广东各地高三数学(文)最新月考联考模拟试题分类精编(详细解析)5:数列1


2012 广东省各地月考联考模拟最新分类汇编(文) 数列(1)
【广东省东莞市 2012 届高三模拟 (1) 文】 3. 已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ?1? 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? A. ?55 B. ?5 C.5 D.55
n

? n ? 1? ,

【答案】C 【广东省潮州市 2012 届高三上学期期末文】11.设等比数列{an}的公比为 q=2,前 n 项和 S4 为Sn,则 =__________ a2 15 【答案】 2 【解析】S4=15a1,a2=2a1 【广东省深圳高级中学 2012 届高三第一次测试题文】 13 .已知数列 { an } 的前 n 项和

Sn ? n2 ? 9 n,若它的第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ?
【答案】8



【 广 东 韶 关 市 2012 届 高 三 第 一 次 调 研 考 试 文 】 5. 设 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 ,

a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a19 ? 26 , 则此数列 ?an ? 前 20 项和等于
A. 160 【答案】B 【广东省深圳市 2012 届高三二模试题文科】12. 已知递增的等比数列 ?an ? 中, B. 180 C. 200 D. 220

a2 ? a8 ? 3, a3 ? a7 ? 2, 则
【答案】 2

a13 ? a10

.

【广东省实验中学 2012 届高三联考 (文) 】 4. 设数列{a n } 是等差数列,a1 若数列{a n } 的前 n 项和 Sn 取得最小值为 A.4 【答案】B B.7 C.8 D.15

? 0, a7 ? a8 ? 0.

【广东省深圳高级中学 2012 届 1 月月考文.】4.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? a7 ? 12 , 那么 a1 ? a2 ? ? ? a9 的值为( )

A.18 【答案】C

B.27

C.36

D.54

【广东省四会市华侨中学 2012 届高三上学期第三次统测文】9. 在等比数列 ?a n ?中,前 n 项 和为 S n ,若 S 3 ? 7, S 6 ? 63 ,则公比 q 的值是( A.3 【答案】C 【广东省执信中学 2012 届高三上学期期末文】3.在等差数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,已 知 2a9 ? 3 ? a12 ,则 S11 ? ( A. 33 【答案】A B. 35 ) C. 45 D. 66 B.–2 C.2 D.–3 )

【广东省执信中学 2012 届高三上学期期末文】12. 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项 和为 S n ,若 S4 ? 1 ,则 S8 ? 【答案】 17 【广东省珠海市 2012 届高三上学期期末文】 3. 数列 {an } 是等差数列,S n 是它的前 n 项和, 若 S 3 ? 12, S 5 ? 30, 那么 S 7 = A.43 B.54 C.48 D.56

【答案】D 【 广 东 省 中 山 市 2012 届 高 三 12 月 四 校 联 考 文 】 4 . 设 等 比 数 列

{an }的前n项和为Sn ,已知a1 ? 2011, 且an ? 2an ?1 ? an ? 2 ? 0 (n ? N * ) ,则 S 2012 =
( ) A.2011

B.2012

C.1

D.0

【答案】D 【广东省深圳高级中学 2012 届 1 月月考文.】20.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 2n ? 2 ? 0 ( n ? N ? ).
(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ??? ,若对任意的正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不等式 an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6

【答案】 (1) 由题意得 an ? an ?1 ? 2n(n ? 2) , 通过叠加得 an ? n(n ? 1) (n ? 2) .又 a1 ? 2 符 合此通项公式,? an ? n(n ? 1) …………………………………………………………(4 分)

n 1 1 , bn 的最大值为 b1 ? 所以要使不等式恒 ? 2n ? 3n ? 1 2n ? 1 ? 3 6 n 1 1 成立,须使 t 2 ? 2mt ? ? 恒成立, m ? ? ?1,1? .…………………(9 分) 6 6
(2)通过裂项得 bn ?
2

当 t ? 0 时, g (m) ? 0 不成立; 当 t ? 0 时, g (m) 是一次函数,所以

?

g ( ?1) ? 0 g (1) ? 0

,解得 t ? (??, ?2) ? (2, ??) ……(14 分)

【广东省实验中学 2012 届高三联考(文) 】19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项为和 Sn ,点 (n,

Sn 1 11 n ) 在直线 y ? 2 x ? 2 上.数列 {bn } 满足

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0(n ? N ? ) ,且 b =11,前 9 项和为 153.
3

{bn } 的通项公式; (I)求数列 {a n }、
* ? ?a n (n ? 2l ? 1, l ? N ) * (II)设 f ( n) ? ? ,问是否存在 m∈N ,使得 * ? ?bn (n ? 2l , l ? N )

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?

若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

Sn 1 11 1 11 ? n ? , 即 S n ? n 2 ? n .…………………1 分 n 2 2 2 2 1 11 1 11 故当 n≥2 时, an ? S n ? sn ?1 ? ( n 2 ? n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .………3 分 2 2 2 2
【答案】解:(Ⅰ)由题意,得 当 n=1 时,a1=Sl=6,所以,an=n+5(n∈N ). 又 bn+1-2bn+1+bn=0,即 bn+2-bn+l=bn+1-bn(n∈N ), 所以{bn } 为等差数列, 于是 ………………5 分 而 b3=11,故 b7 ? 23, d ?
* * *

……………4 分

9(b3 ? b7 ) ? 153 . 2

23 ? 11 . ………………7 分 7?3

因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2,即 bn=3n+2(n∈N ). (Ⅱ) f ( n) ? ?

……………………………………8 分

* ? ?n ? 5 (n ? 2l ? 1, l ? N ) …………………………9 分 * ? 3 n ? 2 ( n ? 2 l , l ? N ) ?

①当 m 为奇数时,m+15 为偶数. 此时 f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25, 所以 3m+47=5m+25,m=11. ………………………………………………1 分

②当 m 为偶数时,m+15 为奇数, 此时 f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10, 所以 m+20=15m+10,m=

5 ? N ? (舍去). 7

……………………………………13 分

综上,存在唯一正整数 m=11,使得 f(m+15)=5f(m)成立. ……………………14 分 【广东省潮州市 2012 届高三上学期期末文】设各项均不为 0 的数列{a n }的前 n 项之乘积是 b n ,且λ a n +b n =1(λ ∈R,λ >0) (1)探求a n 、b n 、bn-1之间的关系式; 1 (2)设λ =1,求证{ }是等差数列; bn 2 (3)设λ =2,求证:b 1 +b 2 +…+b n < 3 【答案】 (1)由数列{a n }的前 n 项之乘积是b n ,得a 1 =b 1 ,a n = (2)令 n=1,得λ a 1 +b 1 =1,又a 1 =b 1 ,∴b 1 = ∵λ =1 ∴b 1 = 1 (3 分) 2 bn bn 代入a n +b n =1 中,得 +b n =1 bn-1 bn-1 1 λ +1 bn (2 分) bn-1

当 n≥2 时,将a n =

1 1 则 = +1 (4 分) bn bn-1 1 1 数列{ }是以 =2 为首项,以 1 为公差的等差数列 bn b1 (3)∵2a 1 +b 1 =1,a 1 =b 1 当λ =2 时,将a n = 1 ∴3b 1 =1,b 1 = 3 (5 分)

bn bn 代入 2a n +b n =1 中,得 2 +b n =1 bn-1 bn-1

1 1 则 =2 +1 (6 分) bn bn-1 1 1 ∴ +1=2( +1) (7 分) bn bn-1 1 1 ∴{ +1}是以 +1=4 为首项,以 2 为公比的等比数列 (8 分) bn b1 1 1 ∴ = n+1 (9 分) bn 2 -1 ∵ 2
n+1

1 1 1 1 < n+1 = · n -1 2 -2 2 2 -1

1 ∴b n < bn-1(n∈N*,n≥2) (10 分) 2

1 1 1 ∴b 1 +b 2 +…+b n ≤b 1 + b 1 + 2b 1 +…+ n-1b 1 2 2 2 1 1- n 2 b1 2 2 =b 1 · < = (12 分)即λ =2 时,b 1 +b 2 +…+b n < 1 1 3 3 1― 1― 2 2 已知函数 f ( x) ? log

(14 分)

【广东韶关市 2012 届高三第一次调研考试文】19. (本题满分 14 分) (1)求证:数列 ?a n ? 是等比数列;
2

x ,且数列 ? f (a n )?是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列.

(2) 设 bn ? a n ? f (a n ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 的最小值..

【答案】(1) 证:由题意 f (a n ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log

2

an ? 2n ,

……2分

? an ? 2

2n

? 2n ?

∴数列 ?an ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列. (2) 解:由(1)知, bn ? a n ? f (a n ) ? n ? 2 n ?1 . ∴ Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 4 n ?1 n?2

an ?1 2n ?1 ? n ? 2. an 2

……6分 …………8 分

, ②


……10 分

2S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
3 4 5

②-①,得 S n ? ?2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ? 2

2 2 (1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?2 1? 2 ∴. S n ? (n ? 1)2 n ? 2 ? 4 ……12 分 ??
因为 ? sn ? 是递增数列,所以 sn 的最小值等于 s1 ? 4 ……14分 【广东省深圳市 2012 届高三第一次调研测文】20. (本小题满分 14 分) 已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列 , 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数列 ?bn ? 满 足:对任意正整数 n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . (1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 在数列 ?an ? 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 (?1)k bk (k ? N? ) 后,得到一 个新的数列 {cn } . 求数列 {cn } 的前 2012 项之和. 【答案】 (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? R, 由 a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ), 得 a1q 4 (1 ? q 2 ) ? 8a1q(1 ? q 2 ), 又 a1 ? 2, q ? 0,1 ? q 2 ? 0, 则 q3 ? 8, q ? 2 ,

数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (n ? N? ).

………………………………3 分

由题意有 a1b1 ? (1 ? 1) ? 22 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1. …………………………………4 分 当 n ? 2 时, anbn ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 )
n ?1 n n ?? ?(n ? 1) ? 2 ? 2 ? ??? ?(n ? 2) ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,………………………………5 分

得 bn ? n . 故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n (n ? N? ). ……………………………………6 分 (2)设数列 ?an ? 的第 k 项是数列 {cn } 的第 mk 项,即 ak ? cmk (k ? N? ) . 当 k ? 2 时, mk ? k ? ?1 ? 2 ? ? ? (k ? 1) ? ?

m62 ?

62 ? 63 63 ? 64 ? 1953, m63 ? ? 2016. ………………………………8 分 2 2

k (k ? 1) . ……………………7 分 2

设 S n 表示数列 {cn } 的前 n 项之和 (n ? N? ) ,则
1 2 62 S2016 ? (a1 ? a2 ? ? ? a63 ) ? ? ?(?1) ? b1 ? (?1) ? 2b2 ? ? ? (?1) ? 62b62 ? ? …9 分

其中 a1 ? a2 ? ? ? a63 ?

2(1 ? 263 ) ? 264 ? 2, …………………………………10 分 1? 2

(?1)n ? nbn ? (?1)n ? n2 , (2n)2 ? (2n ? 1)2 ? 4n ? 1(n ? N? ),
则 (?1)1 ? b1 ? (?1) 2 ? 2b2 ? ? ? (?1) 62 ? 62b62

? (?1)1 ?12 ? (?1)2 ? 22 ? ? ? (?1)62 ? 622
2 2 2 2 ? ? 22 ? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ? ? ? ?(2n) ? (2n ? 1) ? ? ? ? ? ? 62 ? 61 ?

? ? 4 ?1 ? 1? ? ? 4 ? 2 ? 1? ? ? ? ? 4n ? 1? ? ? ? (4 ? 31 ? 1)

?

31(4 ?1 ? 1 ? 4 ? 31 ? 1) ? 1953 . 2

…………………………………12 分

S2016 ? (264 ? 2) ? 1953 ? 264 ? 1951,
从而 S2012 ? S2016 ? (c2013 ? a2014 ? c2015 ? c2016 )

? 264 ? 1951 ? 3(?1)62 ? b62 ? a63

? 264 ? 1951 ? 3 ? 62 ? 263 ………………………………………………13 分

? 263 ? 1765.
所以数列 {cn } 的前 2012 项之和为 263 ? 1765. ……………………………………14 分

【广东省深圳高级中学2012届高三第一次测试题文】20.(本小题满分12分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn= 2 n +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【答案】解: (Ⅰ)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得
a

?a1 ? 2d ? 5 ? ? 15 ? 14 15 a1 ? d ? 22 .5 ? 2 ?
∴an=2n-1 (Ⅱ) bn ? 2
an

解得 ?

?a1 ? 1 ?d ? 2

? 2n ?

1 n ? 4 ? 2n , 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

?
=

1 (4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) 2

4 n ?1 ? 4 ? n2 ? n 6
2 n 2 ? 4 ? nn ? n ? 3 3

?

【广东省韶关市 2012 届高三第二次模拟考文】 16.(本题满分 12 分) 数列 {an } 对任意

n ? N * ,满足 an+ 1 = an + 1 , a3 ? 2 .
(1)求数列 {an } 通项公式; (2)若 bn ? ( ) n ? n ,求 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和.
a

1 3

【答案】解: (1)由已知得 an+ 1 - an = 1 又 a3 ? 2 ,得 a1 ? 0 ,所以

数列 ?an ? 是等差数列,且公差 d ? 1

…2分

an ? n ? 1 ……………………………………4分

(2)由(1)得, bn ? ( ) n ?1 ? n , 所以 Sn ? (1 ? 1) ? ( ? 2) ? ??? ? ( ) n ?1 ? n ? 1 ?
………6 分

1 3

1 3

1 3

1 1 1 ? 2 ? ??? ? n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) 3 3 3

1 1 ? ( )n 1? n 3 ? n(n ? 1) ? 3 ? 3 ? n(n ? 1) . ……………………………12 分 Sn ? 1 2 2 2 1? 3
【广东省中山市 2012 届高三 12 月四校联考文】18. (本小题满分 14 分) 已知:数列{ an }的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? 2n ? 2an (1)证明:数列{ an +2}是等比数列.并求数列{ an }的通项公式 an ; (2) 若数列{ bn }满足 bn ? log 2 (an ? 2) , 设 Tn 是数列 { 【答案】证明: (1)由 Sn ? 2n ? 2an 得:Sn=2an-2n 当 n∈N*时,Sn=2an-2n,① 则当 n≥2, n∈N*时,Sn-1=2an-1-2(n-1). ② ①-②,得 an=2an-2an-1-2, 即 an=2an-1+2,………………………2 分 ∴an+2=2(an-1+2) ∴

3 bn Tn ? } 的前 n 项和, 求证: 2 an ? 2

an ? 2 ? 2. ………………………4 分 a n ?1 ? 2



当 n=1 时,S1=2a1-2,则 a1=2, ∴ {an+2}是以 a1+2 为首项,以 2 为公比的等比数列.……5 分 n-1 ∴an+2=4·2 , n+1 ∴an=2 -2,…………………………………6 分 2 ) 证 明
2





bn ? l

(a n ? 2)o? l

2

2 n ?1 ? gn o? 1, 得

bn n ?1 g ? n ?1 , ………………………7 分 an ? 2 2





,④………………………9 分 ③-④,得

1 2 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n?1 ? n? 2 2 2 2 2 2 2

…………13 分

Tn ?

3 n?3 ? 2 2 n ?1

所以:

Tn ?

3 .…………14 分 2

【广东省深圳市 2012 届高三二模试题文科】21. (本小题满分 14 分) 定义数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 2 ,且对任意正整数 n ,有
n n ?1 an ? 2 ? ? ? 2 ? (?1) ? ? an ? (?1) ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式与前 n 项和 S n ; (2)问是否存在正整数 m, n ,使得 S2 n ? mS2 n ?1 ?若存在,则求出所有的正整数对

(m, n) ;若不存在,则加以证明.
2 k ?1 2k 【答案】 (1)对任意正整数 k , a2 k ?1 ? ? ? 2 ? (?1) ? ? a2 k ?1 ? (?1) ? 1 ? a2 k ?1 ? 2 , 2k 2 k ?1 a2 k ? 2 ? ? ? 1 ? 3a2 k . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? 2 ? (?1) ? ? a2 k ? (?1)

所以数列 ?a2 k ?1? 是首项 a1 ? 1 ,公差为 2 等差数列;数列 ?a2 k ? 是首项

a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
k ?1 对任意正整数 k , a2 k ?1 ? 2k ? 1 , a2 k ? 2 ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?

n ? 2k ? 1 ? ? 2k ? 1, , k ? N? . k ?1 ? ? 2 ? 3 , n ? 2k

或 an ? ?

?n, ? ? ?2 ? 3

n ? 2k ? 1
n ?1 2

, n ? 2k

, k ? N? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

对任意正整数 k , S2 k ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 k )

?

k (1 ? 2k ? 1) 2(1 ? 3k ) ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 3k ? k 2 ? 1 . · 2 1? 3

S2 k ?1 ? S2 k ? a2 k ? k 2 ? 3k ? 1 ? 2 ? 3k ?1 ? 3k ?1 ? k 2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
?3k ?1 ? k 2 ? 1, n ? 2k ? 1 ? , k ? N? . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ? k 2 3 ? k ? 1, n ? 2 k ? ?
?1 ? n2 n 2 ? 2n ? 3 3 ? , n ? 2k ? 1 ? ? 4 S ? , k ? N? · 或 n ? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 ?3 2 ? n ? 1, n ? 2k ? ? 4

(2) S2 n ? mS2 n ?1 ? 3 ? n ? 1 ? m(3
n 2

n ?1

? n 2 ? 1)

? 3n?1 (3 ? m) ? (m ? 1)(n2 ? 1) ,
从而 m ? 3 ,由 m ? N? 知 m ? 1, 2,3. 8 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ①当 m ? 1时, 3
n ?1

(3 ? m) ? 0 ? (m ? 1)(n2 ? 1) ,即 S2 n ? mS2 n ?1 ; · · · · · · · · · · · 9分
2

②当 m ? 3 时, 2(n ? 1) ? 0, n ? 1 ,即 S 2 ? 3S1 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ③当 m ? 2 时, 3
k

n ?1

? n2 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 1) ,则存在 k1 , k2 ? N, k1 ? k2 ,
k

使得 n ? 1 ? 3 1 , n ? 1 ? 3 2 , k1 ? k2 ? n ? 1, 从而 3 2 ? 3 1 ? 3 1 (3 2
k k k k ? k1

? 1) ? 2 ,得 3k1 ? 1,3k2 ?k1 ? 1 ? 2 ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分

k1 ? 0, k2 ? k1 ? 1 ,得 n ? 2 ,即 S4 ? 2S3 .

综上可知,符合条件的正整数对 (m, n) 只有两对: (2, 2) 与 (3,1). · · · · · · · · · · 14 分 【广东省四会市华侨中学 2012 届高三上学期第三次统测文】21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2a n ? n, (n ? N )
*

(1)求 a1 , a 2 , a3 的值; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)若 bn ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 1, 数列{bn } 的前 n 项和为 Tn , 求满足不等式 的最小 n 值. 【答案】 (Ⅰ)解: (1)因为 Sn ? 2an ? n, 令n ? 1, 解得 a1 ? 1 再分别令 n=2,n=3,解得 a2 ? 3, a3 ? 7 …………………………………3 分 (2)∵ Sn ? 2an ? n,
* ∴ Sn ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1), (n ? 2, n ? N ) 2

Tn ? 2 ? 128 2n ? 1

网 两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1 ………………………………4 分 ∴ a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1), (n ? 2, n ? N * ) ………………………………6 分 又∵ a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ∴ a n ? 1 ? 2 n ,得 an ? 2 n ? 1 ………………………………8 分

(3)∵ bn ? (2n ? 1)an ? 2n ? 1 , ∴ bn ? (2n ? 1) ? 2n ………………………………9 分 ∴ Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ①

2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ?1
①—②得: ?Tn ? 3 ? 2 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (2n ? 1) ? 2
2 3 n

②…………………10 分
n ?1

21

2 ?2 ?2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? ?2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? ?2 ? (2n ? 1) ? 2n?1 1? 2 ∴ Tn ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ………………………………12 分 ? 6 ? 2?
2 n

2 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 Tn ? 2 ? 128, [2 ? 128, 则 2n ? 1 2n ? 1 n?1 7 即 2 ? 2 , 所以 n ? 1 ? 7 ,解得 n ? 6 , T ?2 所以满足不等式 n ? 128, 的最小 n 值 6,………………………………14 分 2n ? 1
若 【广东省执信中学 2012 届高三上学期期末文】20、 (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满 足: a1 ? 1 ,且对任意 n ?N 都有
*

1 a1

?

1 a2

???

1 an

?

1 2 a n a n ?1



(1)求 a 2 , a 3 的值; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)证明: a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =

a n ?1 ? ( n? N ) . an

【答案】解: (1)由已知

1 a1
?

?
1

1 2 a1 a 2

,得 a 2 ?

1 4
……… 2分

1 a1

?

1 a2

2 a 2 a3

得 a3 ?

1 9

(2)当 n ? 2 时,

1 a1
1 a1

?

1 a2
1 a2

???

1 an
1

?

1 2 a n a n ?1
? 1 2 a n ?1 a n



?

???

a n ?1



①-②得:

1 an 1

?

1 2 a n a n ?1 ?
1 a 2 n ?1 ? 1 a2

?

1 2 a n ?1 a n

…………… 4 分

?

1 a n ?1

a n ?1

?2
1 a2n

∴ 数列 {

}, { 1 a1

} 皆为等差数列

……… 6 分



1 a 2 n ?1 1 a2n ?

? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1

? (n ? 1) ? 2 ? 2n
1 . n2

…………… 8 分

综上,

1 an

?n , ?

a. n ?

……… 9 分

(3) a1 a 2 ?

a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ? ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)
………… 12 分

1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ??? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
a n ?1 ? an n2 n ? ∴等式成立. 2 n ?1 ( n ? 1)

………… 14 分

【广东省肇庆市 2012 届高三上学期期末文】18. (本题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .(Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)若 m ?

( n ? 1) ?1 2an ,数列 ?bn ? 的满足关系式 bn ? ? , 求数列 ?bn ? 的通项公式; n?2 2 ?bn ?1 ? m (n ? 1)

【答案】解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , 所以有 ?

?a1 ? 2d ? 7 , ?2a1 ? 10d ? 26
(7 分)

解得 a1 ? 3,d ? 2 , (5 分)

(3 分)

(n ? 1) ? 2n ? 1 ; 所以 an ? 3 ? 2
(Ⅱ)∵ m ?

2an 22 n ?1 ? ? 2n ?1 , n?2 n?2 2 2

(8 分)

?b2 ? b1 ? 2 ? 2 ?b3 ? b2 ? 2 ? 3 ∴当 n ? 1 时 bn ? bn ?1 ? 2n ?1 ,即 bn ? bn ?1 ? 2n ?1 ,所以, ?b4 ? b3 ? 2 ??? ? ?bn ? bn ?1 ? 2n ?1 ? 以 上 n ? 1 个 等 式 相 加 得 , bn ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ?1 , 即
bn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ?1 所以 bn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 当 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ? 1 .

(13 分) (14 分)

【广东省肇庆市 2012 届高三第一次模拟文】16.(本小题满分 12 分)

a5 ? ?5( 已知数列 {an } 是一个等差数列, 且 a2 ? 1 , . I) 求 {an } 的通项 an 和前 n 项和 S n ;
(II)设 cn ?

5 ? an c , bn ? 2 n ,证明数列 {bn } 是等比数列. 2
? a1 ? d ? 1 , (2 分) ? a1 ? 4d ? ?5

【答案】解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解得 a1 ? 3 , d ? ?2 . (4 分) 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (6 分)

n(n ? 1) (8 分) d ? ?n 2 ? 4n . 2 5 ? an 5 ? (?2n ? 5) (Ⅱ)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ? ? ?n 2 2 Sn ? na1 ?
∴ bn ? 2 n ? 2n
c

(9 分)



bn ?1 2n ?1 ? n ? 2 (常数) bn 2

∴数列 {bn } 是等比数列. (12 分) 【广东省肇庆市 2012 届高三第二次模拟文科】16.(本小题满分 12 分) 数列{ an }的前 n 项和记为 S n ,点 (n, Sn ) 在曲线 f ( x) ? x 2 ? 4 x 上( x ? N ? ). (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ? (an ? 5) ? 2 n ?1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn 的值. 【答案】解:(1)由点 (n, Sn ) 在曲线 f ( x) ? x 2 ? 4 x 上( x ? N ? )知 Sn ? n2 ? 4n , (1 分)
2 当 n ≥2时 an ? Sn ? Sn ?1 = n2 ? 4n ? ? ?(n ? 1) ? 4(n ? 1) ? ? = 2n ? 5 ;

(4 分)

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ,满足上式; ∴数列{ an }的通项公式为 an ? 2n ? 5 (2)由 bn ? (an ? 5) ? 2 n ?1 得 bn ? n ? 2n ∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n ①

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (12 分)

上式两边乘以 2,得 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 ② ①-②得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ∴ ?Tn ?
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ,即 Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . 1? 2

【广东省珠海市 2012 届高三上学期期末文】21.(本小题满分 14 分)

1 3 1 x ? x 2 ? 15 x ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? , 2an ?1 ? f ' (an ) ? 15 ;数列 2 3 1 (n ? N ? ) . ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Rn , bn ? 2 ? an
已知函数 f ( x) ? (1)求证: 2
n ?1

Rn ? Tn ? 2 ;
n

5n Tn ? 5n . 2 ' 2 【答案】 (1)解: f ( x) ? x ? 2 x ? 15
(2)求证: 5 ? 4 ?
n
2 ? 2an ? 2an?1 ? f ' (an ) ? 15 ? an 1 1 a ? ? n ? bn ? 2 ? an 2 an ?1

1 an 1 a2 1 2(an ?1 ? an ) 1 1 ? ? n ? ? ? ? 2 an ?1 2 an an ?1 2 an an ?1 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn a1 a2 a2 a3 a3 a4 an an?1 1 ? 2? an ?1 a 1 a a a 1 a 1 ? Rn ? b1b2b3 ?bn ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? n ? n ? 1 ? n?1 2 a2 a3 a4 an?1 2 an?1 2 an?1 1 1 ?2? =2 ? 2 n?1 Rn ? Tn = 2 n?1 ? n?1 a n ?1 2 a n ?1

? bn ? ?

(2) .证明:若证明 5 ? 4 ?
n n

5n Tn 4 ? 5n 成立,只须征 2[1 ? ( )n ] ? Tn ? 2 成立? ① 2 5

1 1 2 ? 0 且由 an?1 ? (an ? 2an ) 知,若 an ? 0 则 an ?1 ? 0 2 2 ? an ? 0 1 ?2 ?由(Ⅱ)知 Tn ? 2 ? an ?1
由 a1 ?

1 2 an ? 0 2 ? an?1 ? an ? 0
又 an ?1 ? an ?

? {an } 是递增的正项数列 ? bn ?
? b1 ?

? {bn } 是递减的正项数列
1 2 ? 2 ? a1 5

1 1 ? ? bn ?1 ? 0 2 ? an 2 ? an ?1

? Rn ? b1b2b3 ?bn ? ( )n
? 2n ?1 Rn ? Tn ? 2

2 5

? Tn ? 2 ? 2n?1 Rn ? 2(1 ? 2n Rn ) ? 2[1 ? ( )n ] ? 2[1 ? ( )n ] ? Tn ? 2 ? 5n ? 4n ?
5n Tn ? 5n 2

4 5

4 5


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