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不等式的解法讲义(教师版)


不等式的解法
【考纲要求】 1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系, 2.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法, 4.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。 【考点梳理】 要点一、一元二次不等式的解法 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不
2

说明:一元二次不等式的步骤: (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数: A ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

(2)计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ① ? ? 0 时,求根 x1 ? x2 (注意灵活运用因式分解和配方法) ; ② ? ? 0 时,求根 x1 ? x 2 ? ? ③ ? ? 0 时,方程无解
2

b ; 2a

(3)写出解集. 要点二、高次不等式的解法 高次不等式:形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0(其中 x1, x2, ……,xn 是互不相等的实常数)

等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

叫做一元 n 次不等式(n∈N). 说明: 作出相应函数的图象草图.具体步骤如下: (1)明确标出曲线与 x 轴的交点, (2)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在 x 轴的上方还是下方(除此之外,对草图不必做更 细致的要求).然后根据图象草图,写出满足不等式的解集. 要点三、指对不等式的解法 解法指导:化超越不等式为代数不等式,依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释: (1) a
f ( x)









y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

? a g ( x) (a>0,a≠1).当 0<a<1 时,f(x)<g(x); 当 a>1 时,f(x)>g(x).
x x 2

?a ? 0?的根
2

ax ? bx ? c ? 0
2

有 两 相 异 实 根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

b x1 ? x2 ? ? 2a

(2)m·(a ) +n·(a )+k>0.令 a =t(t>0),转化为 mt +nt+k>0,先求 t 的取值范围,再确定 x 的集合. 无实根 (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a≠1).

x 2

ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ?? 当 0<a<1 时, ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 ? ? ? 当 a>1 时, ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
(4) m ? (loga f ( x))2 ? n ? loga f ( x) ? k ? 0 . 令 logaf(x)=t(t∈R),转化为 mt +nt+k>0,先求 t 的取值范围,再确定 x 的集合.
2

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

1

【典型例题】 类型一:一元二次不等式 例 1. 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集为 x ? (4,5) ,求关于 x 的不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集。
2 2

2 ? ?m ? 4m ? 5 ? 0 所以 ? , 2 2 ? ?? ? 16(m ? 1) ? 12(m ? 4m ? 5) ? 0

【解析】由题意可知方程 x ? mx ? n ? 0 的两根为 x ? 4 和 x ? 5
2

即?

?m ? 1或m ? ?5 ?1 ? m ? 19

, ∴ 1<m<19。

由韦达定理有 4 ? 5 ? ? m , 4 ? 5 ? ?n ∴ m ? ?9 , n ? ?20 ∴ nx ? mx ? 1 ? 0 化为 ?20 x ? 9 x ? 1 ? 0 ,即 20 x ? 9 x ? 1 ? 0
2 2 2

1 1 (4 x ? 1)(5x ? 1) ? 0 ,解得 ? ? x ? ? , 4 5 1 1 2 故不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集为 (? , ? ) . 4 5
【总结升华】 二次方程的根是二次函数的零点, 也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集 的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点 是解此类题的关键。 【练习 1】已知 ax ? 2 x ? c ? 0 的解为 ?
2

综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 【总结升华】情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。 举一反三: 【练习 1】若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解为一切实数,求 m 的取值范围. 【解析】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,不符合题意,舍去. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,只需 m ? 0 且 ? ? 0 ,

1 1 ? x ? ,试求 a 、 c ,并解不等式 ?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 . 3 2 1 1 2 1 1 c 【解析】由韦达定理有: ? ? ? ? , ? ? ? ,∴ a ? ?12 , c ? 2 . 3 2 a 3 2 a
∴代入不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 得 ?2 x ? 2 x ? 12 ? 0 ,
2 2

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 1 即? ,解得 m ? ? , 8 ?m ? 0
综上, m 的取值范围为: m ? ? ??, ? ? . 8

? ?

1? ?

【练习 2】若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为非空集,求 m 的取值范围. 【解析】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,符合题意. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意 当 m ? 0 时,只需 ? ? 0 ,

即 x ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 3 ,
2

故不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集为: (?2,3) .
2

【练习 2】已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,求关于 x 的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解
2 2

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 1 即? ,解得 ? ? m ? 0 , 8 ?m ? 0
综上, m 的取值范围为: m ? [ ? , ??) .

集. 【解析】由韦达定理有: ?

? ?a ? 1 ? 2 ?a ? ?3 2 ,解得 ? , 代入不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 得 ?b ? 1? 2 ?b ? 2 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,即 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 1 . 2 1 2 ∴ bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为: (??, ) (1, ??) . 2
2 2

1 8

类型二:高次不等式 2 例 3.解不等式:(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)>0;(2)(x -5x-6)(1-x)>0. 【解析】(1)做出函数 y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图(图 1).

例 2.已知关于 x 的不等式(m +4m-5)x -4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2 【解析】(1)当 m +4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 2 (2)当 m +4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 2 2 由此一元二次不等式的解集为 R 知,抛物线 y=(m +4m-5)x -4(m-1)x+3 开口向上,且与 x 轴无交点,

所以不等式的解集为(-∞,-2) ? (-1,1) ? (2,+∞). (2)先把原不等式化成与它等价的:(x+1)(x-6)(x-1)<0.作出函数 y=(x+1)(x-6)(x-1)的草图(图 2) ,所以解集为(-∞,-1) ? (1,6). 【总结升华】(1)解题中首先观察关于 x 的最高次项的系数是否为正数,如果为正数,函数 y 在最 右边的开区间上的函数值总为正数,因此曲线总在 x 轴的上方,这样作草图就可以一蹴而就了,如果不
2

是正数,那么首先化为正数;(2)解高次不等式的步骤可以概括为:找零点、分区间、画草图、写解集. 举一反三: 【练习 1】解不等式(x+2)(x+1) (x-1) (x-3)>0. 2 3 【解析】此例中 y=(x+2)(x+1) (x-1) (x-3)出现了重因式,当 x 值从大于-1 变化到小于-1 时(不含 -1) ,y 值符号没有发生变化,而 x 值从大于 1 到小于 1 时(不含 1) ,y 值符号发生了变化,如图 3,
2 3

log0.25 ( x ? 1) ? ? log4 ( x ? 1) ,往往将此项移项,这样可以避开分式运算;(3)如出现以 2 和 4 为底数
的对数,最好统一成 4 为底的对数,这样可以避开无理式运算.

故解集为(-2,-1) ? (-1,1) ? (3,+∞). 【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于 ? 类型四:指对不等式 例 5.解不等式 2 【解析】 2
2

x ? ?1 ? ?( x ? 2)(x ? 1)(x ? 3) ? 0

x 2 ? 2 x ?3

1 ? ( ) 3( x ?1) . 2

x 2 ? 2 x ?3

1 ? ( ) 3( x ?1) , 2

所以 x -2x-3<3-3x, 2 所以 x +x-6<0, 所以 -3<x<2. 所以原不等式的解集为(-3,2). 举一反三:

? 3 ? 2 x?2 ? 64 ? 0 . x 2 【解析】原不等式可化为 (2 x ) 2 ? 12 ? 2 x ? 64 ? 0 设 2 =t(t>0), 则 t -12t-64≤0.
【变式】解不等式 2
2x

所以 -4≤t≤16, 因为 t>0.所以 0<t≤16, 故 0<2 ≤16, 从而 x≤4. 所以原不等式的解集是(-∞,4]. 例 6.解不等式 log2 ( x ? 1) ? log0.25 ( x ? 1) ? log4 (2x ? 1) 【解析】原不等式可化为: log4 ( x ? 1) 2 ? log4 (2x ? 1) ? log4 ( x ? 1)

x

log4 ( x ? 1) 2 ? log4 (2x ? 1)(x ? 1)
?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? 所以 ? 所以 2 x ? 1 ? 0 ? ?( x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)(x ? 1) ?

? x ? ?1 ?x ? 1 ? ? 所以 1<x<5. ? 1 x ? ? 2 ? ? ?0 ? x ? 5

所以原不等式的解集为(1,5). 【 总 结 升 华 】 (1) 解 对 数 不 等 式 要 考 虑 原 不 等 式 中 的 定 义 域 ; (2) 如 出 现
3


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