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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】1 知识与技能 (1) 了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题; (2) 培养学生分析、抽象、概括的推理能力。 2 过程与方法 (1) 通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法; (2) 通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。 3 情感.态度与价值观 (1)通过本节学习,培养学生的理性思维 ,培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的 精神、培养主动学习的意识; (2)通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考 的能力,激发学生学习数学的兴趣。 【重点难点】 重点:平面向量基本定理的应用 难点:对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。 【学习内容】 一【知识链接】 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则? 2.怎样理解向量的数乘运算 λ a ? (1)模:|λ a |=| λ || a |; (2)方向:λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方 向相反;λ =0 时λ a = 0 3. 向量共线定理 :向量 b 与非零向量 a 共线则:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a . 二【新课导入】 情景展示:在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可 以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分 解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究(一 ) :平面向量的基本定理 探究 1:给定平面内任意两个不共线的非零 向量 e1 、 e2 ,请你作出向量 b = 3 e1 +2 e2 、

?

?

?

【定理解读】

?

?

?

?

1 、 e1 、 e2 必须是

的向量,

?

?

?

?

?

c = e1 -2 e2 .

1

探究 2:由探究 1 可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 e2 来表示向量 b , c 那 么平面内的任一向量是否都可以用形如 λ 1 e1 +λ 2 e2 的向量表示呢?

平面向量的基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 a ,有且只有一对实数 λ 1 、λ 2 ,使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 2、λ 1 ,λ 2 是被 a , e1 , e2 3、基底不唯一,关键是不共线; 4、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解; 5、基 底给定时,分解形式唯一. 6、λ 1 =0 时 ; λ 2 =0 时 ; λ 1 =0、λ 2 =0 时 。 平面向量的基本定理的实质:向量的分解, 即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的。这个定理体现了转化与化归的数学思想,用 向量解决几何问题时,科选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归。 探究(二) :平面向量的坐标表示 探究 3: 平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一 样吗? 1、非零向量 a 、 b 的夹角的定义: 当 ? =0o 时, a 、 b 当 ? =180o 时, e1 、 e2 2、两非零向量的夹角的范围:在区间[0°,180°]内. 四【课堂例题】 例 1 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,设 AB = a , AD = b ,试用基底 a 、 b 表示 MA 、 MB 、 MC 和 MD 。 当 ? =90o 时, a 、 b 记做 。

?

的数量

2

例2

如图:质量为 m 的物体静止的放在斜面上,斜面与水平面的夹角为? ,求斜面与物体

的摩 擦力
P

? f

f -f w

例 3 已知等腰三角 ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 边的中点,∠ BAC=800 。 ①求向量 AB 与向量 DA 的夹角; ②向量 DA 与向量 BC 是什么关系?说明理由。

【课堂小结与反思】 1、平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又是向量 坐标表示的理论依据; 2、 向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量, 平行向量的夹角是 0°或 180°, 垂直向量的夹角是 90°. 【课后作业与练习】 1. 已知 a =2e 1 -3e 2 ,b = 2e1 +3e 2 ,其中 e1 ,e 2 不共线,向量 c =2e 1 -9e 2 ,问是否存在这样的实

3

数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线.

2.(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP . ( 2 )设 OA、 OB 不共线,点 P 在 O 、 A 、 B 所在的平面内,且

OP ? (1 ? t )OA? tOB ( t? R ).求证:A、B、 P 三点共线.

3.已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一

点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE

4


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