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江西省九江市第一中学2015-2016学年高一数学下学期第一次月考试题


九江一中 2015-2016 学年下学期第一次月考数学试卷
考试时间:120 分钟 一、选择题(5×12=60 分) 总分:150 分 出卷人:高一数学备课组

1.已知集合 A ? ?0,1,2? , B ={0,1} ,则 A ? B ? ( A. ?0,1, 2? B. ?1, 2? ) C. ?0,1? D. ?0?



2.下列说法正确的是( A.小于 90 ? 的角是锐角

B.钝角是第二象限的角 D.若角 ? 与角 ? 的终边相同,那么 ? ? ? )

C.第二象限的角大于第一象限的角

3.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 为( A. ?1 B.1 C.-2 D. ?

3 2

4.从 2003 件产品中选取 50 件,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2003 件产品中剔除 3 件, 剩下的 2000 件再按系统抽样的方法抽取,则每件产品被选中的概率( ) A.不都相等 B.都不相等 C.都相等,且为 是 ( ) D.第一或第三象限角

5.已知 ? 是第二象限角,那么

?
2

50 2003

D.都相等,且为

1 40

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第二或第四象限角 6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表:

由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 y ? 8.8 x ? a ,则 a 的值为( A.65 B.74 C.56 D.47



0 7.向顶角为 120 的等腰三角形 ABC (其中 AC ? BC )内任意投一点 M ,则 AM 小于 AC 的概率为

( A.



3? 3

B.

3? 9

C.

1 2

D.

? 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 ( 8. 已知函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1、x ,均有 ,则( x1 ? x2 2 x1 ? x2)
A. f (0.7 ) ? f (log0.7 6) ? f (6 )
6 0.5



B. f (0.7 ) ? f (6 ) ? f (log0.7 6)
6 0.5

C. f (log0.7 6) ? f (0.7 ) ? f (6 )
6 0.5

D. f (log0.7 6) ? f (6 ) ? f (0.7 )
0.5 6

9.函数

y?

x e? x x 的图象的大致形状是(


1

10.如图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知

?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,错


误的是(

A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有 平面 A?GF ⊥平面 BCED C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直 11.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于点 (1,0) 对称 . 若对任意的
2 2 x, y ? R ,不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是
B

?

? ?

?

( A. ? 3,7 ?

) B.

?9, 25?

C. ?13,49?

D.

?9, 49?

12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x ?1 , x ? 0 ? , 若 方 程 f ( x) ? a 有 四 个 不 同 的 解 x1 , x2 , x3 , x4 , 且 ? ? log 2 x , x ? 0

,则 x3 ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 A. (?1, ??) B. ? ?1,1?

1 的取值范围是( x x
2 3 4

) D. ? ?1,1?

C. (??,1)

二、填空题(5×4=20 分) 13.数据 x1 , x2 ,?, x8 平均数为 6,方差为 2,则数据 2 x1 ? 6, 2 x2 ? 6,?, 2 x8 ? 6 的平均数为 ,

方差为 ; 14.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容 量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ? . 15. 执行如图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 .

16.若圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 , 则直线 l 的 斜率的取值区间为 .

2

三、解答题 17. (10 分) 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本, 得到这 M 名 学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: (1)若已知 M=40,求出表中 m、n、p 中及图中 a 的值; (2)若该校高二学生有 240 人,试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内的人数;

18.(12 分)已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求其圆心角的大小; (2)求该扇形的面积取得最大时,圆心角的大小.

19. (12 分)设关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 . (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程 有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

3

20. (12 分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)证明:BD∥面 PEC; (3)求该几何体的体积.

B 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴的交点 21. (12 分) 已知 A , (A 在 B 上) , 过点 P(0, 4) 的直线 l 交圆 O 于 M , N
两点(点 M 在上、点 N 在下). (1)若弦 MN 的长等于 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)若 M , N 都不与 A , B 重合,直线 AN 与 BM 的交点为 C.证明:点 C 在直线 y=1.

22. (12 分)已知定义在区间 (0, +?) 上的函数 f ? x ? ? t ( x ? ) ? 5 ,其中常数 t ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调,试求 t 的取值范围; (2) 当 t ? 1 时, 是否存在实数 a , b , 使得函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上单调、 且 f ( x ) 的取值 范围为 [ma, mb] , 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4 x

4

高一第一次月考试卷 一、选择题 CBCCD ABCDD CB 二、填空题 13. 6 , 8 ; 14.200; 15.105; 16. [2 ? 3,2 ? 3]

三、解答题 17.对某校高二年级学生参加社区服务 次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参 加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下: (1)若已知 M=40,求出表中 m、n、p 中及图中 a 的值; (2)若该校高二学生有 240 人,试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内的人数;

解: ( 1 )因为频数之和为 40 ,所以 . 4 ? 24? m ? 2? 40, m ? 10

p?

m 10 ? ? 0.25 , M 40

n ? 0.6
0.6 ? 0.12 . 5

因为 a 是对应分组 [15,20) 的频率与组距的商,所以 a ?

因为该校高二学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. 18.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求其圆心角的大小; (2)求该扇形的面积取得最大时,圆心角的大小. (1)解:设扇形半径为 R ,扇形弧长为 l ,周长为 C ,

?2 R ? l ? 8 ?l ? 6 ?l ? 2 l 2 ? ? 6 ,或是 ? ? . 所以 ? 1 ,解得 ? 或? ,圆心角 ? ? R 3 lR ? 3 ?R ? 1 ?R ? 3 ? ?2
(2)根据 S ?

1 Rl , 2 R ? l ? 8 ,得到 l ? 8 ? 2 R , 0 ? R ? 4 2

1 2 R?8 ? 2 R ? ? ? R 2 ? 4 R ? ??R ? 2? ? 4 ,当 R ? 2 时, S max ? 4 , 2 此时 l ? 4 ,那么圆心角 ? ? 2 , S?
19.设关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 .
5

(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程 有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 解:设事件 A 为“方程有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程有实根的充要条件为 a≥b (1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共 12 个: (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (3,2) 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, ∴事件 A 发生的概率为 P= =

(2)由题意知本题是一个几何概型, 试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2} 满足条件的构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b} ∴所求的概率是

20.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.

(1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥面 PCD; (2)证明:BD∥面 PEC; (3)求该几何体的体积. 解: (1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 而且 PA ? 面ABCD , PA ∥ EB , PA ? AD ? 4, EB ? 2 . 取 PD 的中点 F ,如图所示. ∵ PA ? AD ,∴ AF ? PD , 又∵ CD ? DA, CD ? PA, PA ? DA ? A , ∴ CD ? 面 ADP , ∴ CD ? AF .又 CD ? DP ? D ,∴ AF ? 面 PCD . (2)如图,取 PC 的 中点 M , AC 与 BD 的交点为 N , 连结 MN 、 ME ,如图所示. ∴ MN ?

1 PA , MN ∥ PA ,∴ MN ? EB , MN ∥ EB , 2
6

∴四边形 BEMN 为平行四边形, ∴ EM ∥ BN ,又 EM 面 PEC ,∴ BN ∥面 PEC , ∴ 面 . (3) V

1 1 1 80 ? VP ? ABCD ? VP ? BCE ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 2 ? 4 ? 4 ? . 3 3 2 3

21.已知 A , B 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴的交点(A 在 B 上) ,过点 P(0, 4) 的直线 l 交圆 O 于 M , N 两 点. (1)若弦 MN 的长等于 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)若 M , N 都不与 A , B 重合,直线 AN 与 BM 的交点为 C.证明:点 C 在直线 y=1. 解: (Ⅰ)①当 k 不存在时,

MN ? AB ? 4

不符合题意

②当 k 存 在时,设直线 l : y ? kx ? 4
? | MN |? 2 3 ?圆心 O 到直线 l 的距离 d ? 22 ? 3 ? 1
? |4| 1? k2 ?1

,解得 k ? ? 15

综上所述,满足题意的直线 l 方程为 y ? ? 15x ? 4 (Ⅱ)设直线 MN 的方程为: y ? kx ? 4 , N ( x1 , y1 )、M( x2 , y2 )
? y ? kx ? 4 ? 2 2 2 2 联立 ? x ? y ? 4 得: (1 ? k ) x ? 8kx ? 12 ? 0

? ?? ? (8k )2 ? 48(1 ? k 2 ) ? 0 ? ?8k ? ? x1 ? x2 ? 1? k2 ? ? 12 x1 x2 ? ? 1? k2 ?
y ? 2 y1 ? 2 ? x x1 y ? 2 y2 ? 2 ? x x2

直线 AN :

,直线 BM :

消去 x 得:

y ? 2 ( y1 ? 2) x2 ? y ? 2 ( y2 ? 2) x1 1 ? 2 ( y1 ? 2) x2 ? 1 ? 2 ( y2 ? 2) x1

要证:C 落在定直线 y ? 1 上,只需证:
?1 ( kx1 ? 2) x2 ? 3 ( kx2 ? 6) x1

即证:

7

即证: ?kx1 x2 ? 6 x1 ? 3kx1 x2 ? 6 x2 即证: 4kx1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 0
4k 12 8k ?6 ?0 2 1? k 1? k2

即证: 显然成立.

所以直线 AN 与 BM 的交点在一条定直线上.

22.已知定义在区间 (0, +?) 上的函数 f ? x ? ? t ( x ? ) ? 5 ,其中常数 t ? 0 . (1)若函数 f ( x ) 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调,试求 t 的取值范围; (2)当 t ? 1 时,是否存在实数 a , b ,使得函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 单调,且 f ( x ) 的取值范围为 [ma, mb] , 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 试题解析: (1)设 h( x) ? t ( x ? ) ∵t ? 0 要使函数 ∴函数

4 x

4 x

h ? x?

分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调 且 h( x) ? 4t

f ? x?

分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单 调

则 只需 4t ? 5 ? 0 ? t ?

5 4

(2)当 t ? 1 时, 如图,可知 0 ? m ? 1 , f ( x) 在 (0,1) 、 (1, 2) 、 (2, 4) 、 (4, ??) 均为单调函数

(Ⅰ)当 则?

?a, b? ? ? 0,1? 时, f ( x) 在 ? a, b? 上单调递减

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma

8



a, b ? ? 0,1?

∴上式不成立 即 a , b 无解, m 无取值 10 分

(Ⅱ)当 则?

?a, b? ? ?1, 2? 时, f ( x) 在 ? a, b? 上单调递增

? f (a) ? ma 4 5 a ? ?1, 2? 即 m ? ? 2 ? ? 1在 有两个不等实根 a a ? f (b) ? mb
4 5 5 9 1 ?1 ? ? t ? ? ,1? 则 ? 2 ? ? 1 ? ? (t ) ? ?4(t ? ) 2 ? a a 8 16 a ?2 ?

而令

作 ? (t ) 在 ? ,1? 的图像可知,

?1 ? ?2 ?

1 9 ?m? 2 16

12 分

(Ⅲ)当 则?

?a, b? ? ? 2,4? 时, f ( x) 在 ? a, b? 上单调递减

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma
5 2

∴ a ? b ? 5 ∴b ? 5? a ? a ∴2 ? a ?

4 4 ? 1? 5 25 5?a a(a ? 5) (a ? ) 2 ? 2 4 4 5?a ? a 应有两个不同的解 则 m 关于 a 的函数是单调的,而 m ? 5?a
4 由 ? a ? ? 5 ? mb 得 m ? a
∴此种情况无解 (Ⅳ)当

5?a ?

4 a ? 1?

?a, b? ? ?4, ??? 时,同(Ⅰ)可以解得 m 无取值
?1 9 ? ? ? 2 16 ?

综上, m 的取值范围为 ? ,

9


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