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重庆市渝中区巴蜀中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则 S∩T=( A.D. (﹣2,1]

)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:找出两集合解集的公共部分,即可求出交集. 解答: 解:∵集合 S={x|x>﹣2}=(﹣2,+∞) ,T={x|﹣4≤x≤1}=, ∴S∩T=(﹣2,1]. 故选 D 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.已知向量 =(1,﹣1) , =(2,m) ,若 ⊥ ,则 m=( A.﹣2 B.﹣ C.

) D.2

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析: ⊥ ? ? =0,利用向量数量积的坐标运算得出关于 m 的方程求解即可. 解答: 解: =(1,﹣1) , =(2,m) ⊥ ,则 ? =0,即 2×1+(﹣1)m=0,解得 m=2 故选:D. 点评:本题考查了向量数量积的坐标运算,是简答题 3.已知等差数列{an}满足 a2+a10=4,则 a6=( ) A.﹣2 B.2 C.4 考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列得性质可得 a2+a10=2a6,结合条件可得答案. 解答: 解:由等差数列得性质可得 a2+a10=2a6 因为 a2+a10=4 所以 2a6=4,故 a6=2 故选:B.

D.﹣4

点评:本题为等差数列性质的应用,熟练应用性质是解决问题的关键,属基础题.

4.函数

的定义域是(

)

A. (﹣1,+∞) B. q:x=2 是方程 x+3=0 的根 ∴p 为真命题,q 为假命题. ∴¬p 为假命题,¬q 为真命题 根据复合命题的真假判断:p∧¬q 为真命题. 故选:B 点评:本题考查了复合命题的真假判断,属于容易题. 6.在△ ABC 中,满足 asinB= A. B. bcosA,则角 A 为( C. ) D.

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:将已知的等式代入正弦定理,由 B 的范围得到 sinB 不为 0,在等式两边除以 sinB 得到 tanA 的值,由 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数; 解答: 解:asinB= bcosA,代入正弦定理得:sinAsinB= sinBcosA, 又 0<B<π,得到 sinB≠0,所以 sinA= cosA,即 tanA= , 又 0<A<π,所以 A= ;

故选:B. 点评:本题考查正弦定理的应用,基本知识的考查.

7. 下列四个函数中, 图象既关于直线 A. D. B. C.

对称的是(

)

考点:正弦函数的对称性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:求出各个函数的图象的对称轴,若图象不关于直线 x= 图象关于直线 x= 再令 x= 对称, 对称,即可排除此选项.若

,看函数值是否等于零,从而得出结论.

解答: 解:由于函数 x= + ,k∈z,故关于直线 x= 可得

,令 2x﹣ 对称.

=kπ+

,可得它的对称轴为

再令 x= 由于函数

=0,故图象也关于点( ,令 2x+ 对称, =kπ+

,0)对称,故 A 满足条件. + ,k∈z,故不

可得它的对称轴为 x=

关于直线 x=

故 B 不满足条件. 由于函数 关于直线 x= 对称, ,令 4x+ =kπ+ ,可得它的对称轴为 x= + ,k∈z,故不

故 C 不满足条件. 由于函数 关于直线 x= 再令 x= 对称. = , =1,可得它的图象不关于点( ,0)对 ,令 4x﹣ =kπ+ ,可得它的对称轴为 x= + ,k∈z,

可得 4x﹣

称,故 D 不满足条件. 故选 A. 点评:本题主要考查正弦函数的图象的对称轴和对称中心,属于中档题. 8.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)﹣f(﹣x)=0,且在区间上为减函数,进而可将 函数 转化为|2x﹣1|< ,解得答案.

解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(x)﹣f(﹣x)=0,即 f(x)=f(﹣x)恒成立 故函数为偶函数 又∵在区间上为减函数 若 成立

则|2x﹣1|< ,即﹣ <2x﹣1< 解得 <x< . 故选 A 点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,奇偶性与单调性的综合,熟练掌握导 函数符号与原函数单调性之间的关系,是解答的关键. 9. 已知各项为正的等比数列{an}中, a4 与 a14 的等比中项为 A.16 B.8 C. , 则 2a7+a11 的最小值为( D.4 )

考点:等比数列的通项公式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 ,知 a4?a14=(2 故 a7?a11=8,利用均值不等式能够求出 2a7+a11 的最小值. 解答: 解:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 , 2 ∴a4?a14=(2 ) =8, ∴a7?a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 =2 =8.

) =8,

2

故选 B. 点评:本题考查等比数列的通项公式的应用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答.

10.函数 A. B.

的一个单调增区间是( C.

) D.

考点:复合三角函数的单调性. 专题:计算题;压轴题;转化思想;换元法. 分析:化简函数 调区间判定选项的正误. 解答: 解.函数 原函数看作 g(t)=t ﹣t﹣1,t=cosx, 对于 g(t)=t ﹣t﹣1,当 当 当 且 时,g(t)为增函数, 时,t=cosx 减函数, ,∴原函数此时是单调增,
2 2

为关于 cosx 的二次函数,然后换元,分别求出单

=cos x﹣cosx﹣1,

2

时,g(t)为减函数,

故选 A 点评:本题考查三角函数的单调性,考查发现问题解决问题的能力,是中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 α 是第二象限角,且 ,则 sin2α=﹣ .

考点:二倍角的正弦. 专题:计算题.

分析:由 α 是第二象限角,且 利用二倍角公式求出 sin2α 的值. 解答: 解:α 是第二象限角,且 则 sin2α=2sinαcosα= 故答案为: . .

,利用同角三角函数的基本关系求出 cosα 的值,再

,∴cosα=﹣ .

点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,求出 cosα=﹣ ,是解题 的关键. 12.已知函数 f(x)=x +ax 的一个极值点是 x=1,则 a=﹣3. 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:由已知得 f′(x)=3x +a,且 f′(1)=0,由此能求出 a. 3 解答: 解: (1)∵f(x)=x +ax, 2 ∴f′(x)=3x +a, ∵x=1 是 y=f(x)的一个极值点, ∴f′(1)=3+a=0,解得 a=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评:本题考查函数的极值的求法与应用,正确求导数是解题的关键.
2 3

13.已知 为单位向量, =(3,4) ,| ﹣2 |=9,则 ? =5. 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的平方等于其模的平方,将| ﹣2 |=9 平方,得到 ? 的等式解之. 解答: 解:∵ 为单位向量, =(3,4) , ∴| |=1,| |=5 ∴| ﹣2 | =| | ﹣4 ∴ =5.
2 2

+4| | =1﹣4

2

+4×25=81,

故答案为 5. 点评:本题考查了向量的模的平方等于向量的平方以及向量的数量积的求法.

14.化简

=



考点:二倍角的余弦;三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:利用三角函数间的平方关系、二倍角的正弦及辅助角公式可求得 = ,整理可得答案. 解答: 解:∵cos20°=sin70°>sin20°, ∴原式 = = = =

=



故答案为: . 点评:本题考查三角函数的化简求值,考查三角函数间的平方关系、二倍角的正弦及辅助角公 式的应用,属于中档题. 15.五位同学围成一圈依次循环报数,规定: (1)第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数为 2,之后每位同学所报出的 数都是前两位同学所报出的数之和; (2)若报出的数为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次; 已知甲同学第一个报数,当五位同学依次循环报到第 100 个数时,甲同学拍手的总次数是 5. 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:五位同学报数所构成的数列为 1,2,3,5,8,13,21,34,…该数列被 3 除所得的余 数构成的数列为 1,2,0,2,2,1,0,1,…,从而得到甲同学报的数为 3 的倍数的间隔为 20,由此能求出甲同学拍手的总次数是 5 次. 解答: 解:五位同学报数所构成的数列为 1,2,3,5,8,13,21,34,… 该数列被 3 除所得的余数构成的数列为 1,2,0,2,2,1,0,1,… ∴新数列中每 4 个数出现一个 0, 而又有 5 名同学, ∴甲同学报的数为 3 的倍数的间隔为 20, ∴甲同学报的数为 3 的倍数的数依次为第 15,35,55,75,95 位数,共 5 个, ∴甲同学拍手的总次数是 5 次. 故答案为:5. 点评:本题考查数列的性质应用,是中档题,解题时要认真审题,注意数列的周期性的合理运 用. 三、解答题(16、17、18 是 13 分,19、20、21 是 12 分,共 75 分)

16.已知{an}满足 a1=1,an+1=2an(n∈N ) ,Sn 表示{an}的前 n 项和 2 (1)求通项 an 及 a ; (2)已知{bn}是等差数列,且满足 b1=a2,b3=a4,求数列{bn}前 10 项和 T10. 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由数列递推式得到数列为等比数列,直接由等比数列的通项公式得答案; (2)求出 b3=a4,然后由等差数列的通项公式求得公差,代入等差数列的前 n 项和得答案. 解答: 解: (1)由 an+1=2an,得 ,

*

∴{an}是以 a1=1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 则 a2=2a1=2, ; (2)由 b1=a2=2,b3=a4= ,得

等差数列{bn}的公差为 ∴数列{bn}前 10 项和 T10=





点评:本题考查了等比关系的确定,考查了等差数列的前 n 项和,是中档题. 17.已知函数 f(x)=2cos x+2sinxcosx (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈,求 f(x)的最大值和最小值. 考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)将函数 f(x)进行化简,利用三角函数的图象和性质即可求函数 f(x)的最小正 周期; (2)根据三角函数的图象和性质即可求函数的最值. 解答: 解: (1)f(x)=2cos x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+ 则函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵0≤x≤ ∴ 即﹣ ≤2x+ ≤ , , )≤1, .
2 2

sin(2x+

) ,

≤sin(2x+

﹣1≤ 即﹣1≤ 0≤1+

sin(2x+ sin(2x+ sin(2x+

)≤ )≤ )≤1+

, , ,

故函数的最大值为 1+ ,最小值为 0. 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关 键.

18.已知函数 f(x)=

﹣4lnx+ax 在点(1,f(1) )处的切线平行于直线 6x+y﹣3=0

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,利用函数 f(x)= ﹣4lnx+ax 在点(1,f(1) )处的切线平行于直线

6x+y﹣3=0,求 a 的值; (2)利用导数的正负,求函数 f(x)的单调区间与极值. 解答: 解: (1)∵f(x)= ∴f′(x)=x﹣ +a, ∵函数 f(x)= ﹣4lnx+ax 在点(1,f(1) )处的切线平行于直线 6x+y﹣3=0 ﹣4lnx+ax,

∴f′(1)=﹣3+a=﹣6, ∴a=﹣3; (2)f′(x)=x﹣ ﹣3= (x>0) ,

∴由 f′(x)>0 可得 x>4,函数的单调增区间为(4,+∞) ,单调减区间为(0, 4) x=4 时,函数取得极小值 f(4)=﹣4﹣4ln4,无极大值. 点评:本题考查满足条件的实数的求法,考查函数的单调区间的求法.解题时要认真题,仔细 解答,注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用. 19.设数列{an}满足 a1=2,an+1﹣an=3×2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列
2n﹣1

,数列{bn}满足 bn=log2an

的前 n 项和为 Tn,若 t≥Tn 对任意的 n∈N+恒成立,求 t 的取值范围.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)由已知的数列递推式直接利用累加法求数列的通项公式;

(2)把数列{an}的通项公式代入 bn=log2an,然后利用裂项相消法求出数列 项和为 Tn,由单调性求得 解答: 解: (1)由已知,当 n≥1 时 an+1=+a1+a1 =3(2
2n﹣1

的前 n

,则 t≥Tn 对任意的 n∈N+恒成立的 t 的取值范围可求.

+2

2n﹣3

+…+2)+2=3×
2n﹣1

=2 ; .

2(n+1)﹣1



∴数列{an}的通项公式为 an=2 (2)bn=log2an=

, ∴ ∵函数 y= 且 在(0,+∞)上为增函数, . = .

∴若 t≥Tn 对任意的 n∈N+恒成立, 则t .

点评:本题考查了累加法求数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和,考查了数列的函 数特性,是中档题. 20.在海岛上有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45° 且与点 A 相距 80 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ(其 中 sinθ= ,θ 为锐角)且与 A 点相距 20 海里的位置 C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (2)若该船始终不改变航行的方向,经过多长时间后,该船从点 C 到达海岛正东方向的 D 点 处. 考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析: (1)如图所示,由 sinθ= ,θ 为锐角,可得
2

=
2 2



设该船的行驶速度为 x 海里/小时.在△ ABC 中,由余弦定理可得:BC =AB +AC ﹣ 2AB?AC?cosθ,代入即可得出. (2)在△ ABC 中,由正弦定理可得 cosB= ,可得 sinB= .可知 B 为锐角,

.可得 sin∠ADB=sin(45°+B) .在△ ABD 中,由正弦定理可得:

,可得 BD.CD=BD﹣BC.设该船始终不改变航行的方向,经过 t 小时 时间后,该船从点 C 到达海岛正东方向的 D 点处.则 解答: 解: (1)如图所示, ∵sinθ= ∴ ,θ 为锐角, = . =CD.即可得出.

设该船的行驶速度为 x 海里/小时. 在△ ABC 中,由余弦定理可得: 2 2 2 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosθ, ∴ = 化为 x =4500, 解得 x=30 . (2)在△ ABC 中,由正弦定理可得 ,
2







=

= =

. . = , .

可知 B 为锐角,∴cosB= ∴sin∠ADB=sin(45°+B)= 在△ ABD 中,由正弦定理可得:



=40



∴CD=BD﹣BC= . 设该船始终不改变航行的方向,经过 t 小时时间后,该船从点 C 到达海岛正东方向的 D 点处. 则 = ,解得 t= . 海里/小时) ;

答: (1)该船的行驶速度 30

(2)该船始终不改变航行的方向,经过 小时时间后,该船从点 C 到达海岛正东方向的 D 点 处.

点评:本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公 式、行程问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21.已知函数 f(x)=lnx+ ﹣1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 m∈R,对任意的 a∈(﹣1,1) ,总存在 x0∈,使得不等式 ma﹣f(x0)<0 成立,求实 数 m 的取值范围; (3)若{an}是首项为 1 的正项数列,且 nan+1 ﹣(n+1)an ﹣an+1an=0,若不等式 e * 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立,求 α 的取值范围.
2 2
(n﹣1)α

≥an

考点:数列与不等式的综合;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)由函数 f(x)=lnx+ ﹣1 确定函数的定义域并求导,从而求函数 f(x)的单调区 间; (2)先由(1)求得 0≤f(x0)≤ ,从而将对任意的 a∈(﹣1,1) ,总存在 x0∈,使得不等式 ma﹣f(x0)<0 成立化为对任意的 a∈(﹣1,1) ,ma< 恒成立,从而求实数 m 的取值范围; (3)由 nan+1 ﹣(n+1)an ﹣an+1an=0 可求得 an=n,从而化不等式 e ≥an 对任意的 n≥2 (n﹣1)α * * α 且 n∈N 都成立为 e ≥n 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立,注意到当 n=2 时,e ≥2,则 α≥ln2 > ;则在 α≥ln2> 下讨论即可, 故可判断 f(x)=(x﹣1)α﹣lnx 在 故函数 f(x)的单调减区间为(0,1) ,单调增区间为(1,+∞) ; (2)∵函数 f(x)在上单调递增, ∴0≤f(x0)≤ , ∴对任意的 a∈(﹣1,1) ,总存在 x0∈,使得不等式 ma﹣f(x0)<0 成立可化为 对任意的 a∈(﹣1,1) ,ma< 恒成立,
2 2
(n﹣1)α





解得,﹣ ≤m≤ ; (3)∵nan+1 ﹣(n+1)an ﹣an+1an=0, ∴=0, 又∵{an}是首项为 1 的正项数列, ∴nan+1﹣(n+1)an=0, ∴ = ,又∵首项为 1,
2 2

∴an=n, (n﹣1)α (n﹣1)α * * 则不等式 e ≥an 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立可化为 e ≥n 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成 立; 则当 n=2 时,e ≥2,则 α≥ln2> ; e
(n﹣1)α

α

≥n 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立可化为 (n﹣1) α﹣lnn≥0 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立;

*

*

令 f(x)=(x﹣1)α﹣lnx,则 f′(x)=α﹣ , 则当 x∈[2,+∞)时,f′(x)=α﹣ >0, f(x)=(x﹣1)α﹣lnx 在[2,+∞)上是增函数, 故(n﹣1)α﹣lnn≥0 对任意的 n≥2 且 n∈N 都成立可化为 α﹣ln2≥0, 故 α≥ln2. 综上所述,α≥ln2. 点评: 本题考查了导数的应用及数列的通项求法, 同时考查了恒成立问题及存在性问题的处理, 属于难题.
*



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