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2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)


2013 广东高考文科数学试卷及答案
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 2 1. 设集合 S ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R , T ? x | x ? 2 x ? 0, x ? R ,则 S ? T ? (

?

?

?

?



A.

?0?

B.

?0, 2?

C.

??2,0?

D.

??2,0, 2?

【答案】A; 【解析】由题意知 S ? ?0, ?2? , T ? ?0,2? ,故 S ? T ? ?0? ; 2. 函数 y ?

lg ? x ? 1? 的定义域是( x ?1
B.



A.

? ?1, ???

??1, ???

C.

? ?1,1? ? ?1, ???

D.

??1,1? ? ?1, ???

【答案】C; 【解析】由题意知 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 1 ,所以定义域为 ? ?1,1? ? ?1, ??? ; ? x ?1 ? 0
) D. 5

3. 若 i ? x ? yi ? ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( A. 2 【答案】D; B. 3 C. 4

【解析】 因为 i ? x ? yi ? ? 3 ? 4i , 所以 xi ? y ? 3 ? 4i , 根据两个复数相等的条件得:? y ? 3 即 y ? ?3 , x ? 4 ,所以 x ? yi ? 4 ? 3i , x ? yi 的模 ?

42 ? (?3) 2 ? 5 ;

4. 已知 sin ? A. ?

? 5? ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos? ? ( ? 2 ? 5
B. ?



2 5

1 5

C.

1 5

D.

2 5

【答案】C; 【解析】 sin ?

? 1 ? 5? ? ?? ? ? ? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos ? ? ( ? ? ) ? ? cos(?? ) ? cos ? ? ; 2 2 5 ? 2 ? ?2 ?
) B. 2 C. 4 D. 7

5. 执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3 ,则输出 s 的值是( A. 1 【答案】D;

1

i i i 【解析】 ? 1 时, ? 1 ? (1 ? 1) ? 1; ? 2 时, ? 1 ? (2 ? 1) ? 2 ; ? 3 时, ? 2 ? (3 ? 1) ? 4 ; s s s
i ? 4 时, s ? 4 ? (4 ? 1) ? 7 ;

图1

图2 ) D. 1

6. 某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

【答案】B; 【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为 1 的等腰直角三角形,高为 2 , 所以该三棱锥的体积 V ?

1 1 1 ? ?1 ?1 ? 2 ? ; 3 2 3
2 2

7. 垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0



D. x ? y ? 2 ? 0

【答案】A; 【解析】设所求直线为 l ,因为 l 垂直直线 y ? x ? 1 ,故 l 的斜率为 ?1 ,设直线 l 的方程为
2 2 y ? ?x ? b , 化为一般式为 x ? y ? b ? 0 ; 因为 l 与圆相切 x ? y ? 1相切, 所以圆心 (0, 0)

到直线 l 的距离 ?

?b 2

所以 b ? ? 2 , 又因为相切与第一象限, 所以 b ? 0 , b ? 2 , 故 ? 1,

所以 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ; 8. 设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 l / /? , l / / ? ,则 ? / / ? C. 若 l ? ? , l / / ? ,则 ? //? 【答案】B; ) B. 若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ? D. 若 ? ? ? ,l //? ,则 l ? ?

2

【解析】 ? 与 ? 相交, l 平行于交线, 若 且 则也符合 A, 显然 A 错; l ? ? , l / / ? , ? ? ? , 若 则 故 C 错; ? ? ? ,l //? ,若 l 平行交线,则 l / / ? ,故 D 错; 9. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F ?1,0 ? ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是( 2
D.



A.

x2 y 2 ? ?1 3 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 2

x2 y 2 ? ?1 4 3
c 1 ? ,所以 a 2

【答案】D; 【 解 析 】 由 焦 点 可 知 F ?1, 0 可 知 椭 圆 焦 点 在 x 轴 上 , 由 题 意 知 c ? 1, ?

x2 y 2 ? 1; a ? 2, b ? 2 ? 1 ? 3 ,故椭圆标准方程为 ? 4 3
2 2

10. 设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ① 给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ④ 给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c . 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( A. 1 【答案】D; 【解析】因为单位向量(模为 1 的向量,方向不确定)和一个不为零的实数可以表示任何一 个向量,由题意可知 A,B,C,D 均正确; B. 2 C. 3 D. 4

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



二、 填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
11. 设数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ____________; 【答案】 15 ; 【解析】由题意知 a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? 4 , a4 ? ?8 ,所以; a1 ? a2 ? a3 ? a4

? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 15 ;
12. 若曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a =_____________;
2

3

【答案】

1 ; 2

1 ,因为曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 ?1, a ? 处的 x 1 切线平行于 x 轴,所以 y? x?1 ? 2a ?1 ? 0 ,所以 a ? ; 2
【解析】因为 y ? ax2 ? ln x ,所以 y ? ? 2 ax ?

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是_____________; ? y ?1 ?
【答案】 5 ; 【解析】 作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为 (?1,1),(?1, 2),(1,1),(1, 4) , 代入可知 z 的最大值为 z ? 1 ? 4 ? 5 ;

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为___________________; 【答案】 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ; 【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ;所以 x ? ? cos? ? 2cos2 ? ? 1 ? cos 2? ① , y ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2? ②;①可变形得: cos 2? ? x ? 1 ③,②可变形得:

sin 2? ? y ;由 sin 2 2? ? cos2 2? ? 1 得: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ;
15. (几何证明选讲选做题) 如图 3 , 在矩形 ABCD 中,

AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则
ED =___________;

【答案】

21 ; 2

0 【解析】因为在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC ,所以 ?BCA ? 30 ,

所以 CE ? CB ? cos 30 ?
0

3 3 ;在 ? CDE 中,因为 ?ECD ? 600 ,由余弦定理得: 2
2 0

?3 3? DE ? CE ? CD ? 2 ? CE ? CD ? cos 60 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2 2

? 3?

2

? 2?

3 3 1 21 ? 3? ? ,所 2 2 4

4

以 CD ?

21 ; 2

三、 解答题: 本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?
3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ? 【答案与解析】 (1) f ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

? 2 ?? ? ?? ? ? ?1; ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 2 ? 4 2 ?3? ? 3 12 ?
4 3 ?3? ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ; 5 5 ?5? ? 2 ?
2

(2)因为 cos ? ?

?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? f ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? 6? 6 12 ? 3? 3 3? ? ? ? ?
?3 1 4 3 ? 3 2 ?4 6 ? 2? ? ? ? ; ?5 2 5 2 ?? ? 10 ? ?
17. (本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85?
5

?85,90?
10

?90,95?
20

?95,100?
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 ?90,95? 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,其中重 量在 80,85? 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 80,85? 和 ?95,100? 中各有 一个的概率;
5

?

?

?

【答案与解析】 (1)重量在 ?90,95? 的频率 ?

20 ? 0.4 ; 50

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个,则重量在

?

?80,85? 的个数 ? 5 ? 15 ? 4 ? 1 ;
5
(3)设在 ?80,85? 中抽取的一个苹果为 x ,在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为 a, b, c , 从抽出的 4 个苹果中, 任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c) 6 种情况, 其中

符合“重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c) 种;设“抽
出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有一个”为事件 A ,则事

件 A 的概率 P ( A) ?

3 1 ? ; 6 2

18. (本小题满分 14 分) 如图 4 ,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 上的点, AD ? AE ,

F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G . 将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE//平面BCF ; (2) 证明: CF ? 平面ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

图4

图5

6

AD AE DE / / BC ; ? , AB AC 在 图 5 中 , 因 为 DG / / BF , GE / / FC , 所 以 平 面 DGE / / 平 面 B C F , 所 以 DE//平面BCF ; (2) 证明:在图 4 中,因为因为 ABC 是等边三角形, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ; 且
(1) 证明: 在图 4 中, 因为 ABC 是等边三角形, AD ? AE , 且 所以 在 图 5 中 , 因 为 在 ? BFC 中 , BF ? FC ?

1 2 2 2 2 , 所 以 BF ? FC ? BC , , BC ? 2 2

BF ? CF ,又因为 AF ? CF ,所以 CF ? 平面ABF ; (3)因为 AF ? CF , AF ? BF ,所以 AF ? 平面 BCF ,又因为平面 DGE / / 平面 BCF , 所以 AF ? 平面 DGE ;所以

1 1 1 1 1 1 1 3 3 ; VF ? DEG ? ? S? DGE ? FG ? ? ? DG ? GE ? FG ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 2 3 3 6 324
19. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N * ,且

a2 , a5 , a14构成等比数列;
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

2 (1) 证明: 因为 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N * , n ? 1 , 4S1 ? a22 ? 4 ?1 , a22 ? 4a1 ? 5 , 令 则 即

所以 a2 ?

4a1 ? 5 ;

2 2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4an ? 4 S n ? 4 S n ?1 ? an ?1 ? 4n ? 1 ? ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1? ? an?1 ? an ? 4 , ? ?

?

?

所以 an?1 ? (an ? 2) ,因为 ?an ? 各项均为正数,所以 an?1 ? an ? 2 ;
2 2

因为 a2 , a5 , a14 构成等比数列,所以 a2 ? a14 ? a52 ,即 a2 (a2 ? 24) ?( a2 ?6) 因为 a2 ?

2

,解得 a2 ? 3 ,

4a1 ? 5 ,所以 a1 ? 1 , a2 ? a1 ? 2 ,符合 an?1 ? an ? 2 ,所以 an?1 ? an ? 2 对

n ? 1 也 符 合 , 所 以 数 列 ?an ? 是 一 个 以 a1 ? 1 为 首 项 , d ? 2 为 公 差 的 等 差 数 列 ,

an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1;

7

(3)因为

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,所以 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1a2 a2 a3 an an?1 2 1 3 2 3 5 2 2 n ? 1 2n ? 1

1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1 ?1 1 ? n 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ; ?? ? ? ?? 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 2
所以对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 . 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切 2
点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【答案与解析】 (1)因为抛物线焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 2

所以 d ?

?c ? 2 2

?

3 2 ,又因为 c ? 0 ,所以解得 c ? 1 ,抛物线的焦点坐标为 (0,1) ,所 2
2

以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ;
2 (2)因为抛物线的方程为 x ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,所以 y? ? x ,设过 P ? x0 , y0 ? 点的切线 4 2 1 y0 ? m 2 1 1 4 l ? 与 抛 物 线 的 切 点 坐 标 为 (m, m 2 ) , 所 以 直 线 l ? 的 斜 率 k ? m ? ,解得 4 2 x0 ? m

1 m1 ? x0 ? x0 2 ? 4 y0 或 m2 ? x0 ? x0 2 ? 4 y0 ;不妨设 A 点坐标为 ( m1 , m12 ) , B 点坐标 4 1 2 2 2 2 为 (m2 , m2 ) ,因为 x0 ? 4 y0 ? x0 ? 4( x0 ? 2) ? x0 ? 4 x0 ? 8 4

8

? ( x0 ? 2) ? 4 ? 0 ,所以 m1 ? m2 ; k AB
2

1 2 1 2 m1 ? m2 1 1 4 4 ? ? (m1 ? m2 ) ? x0 ; m1 ? m2 4 2

1 2 1 1 m1 ? x0 ( x ? m1 ) ,代入整理得: y ? x0 ; 4 2 2 1 2 1 2 (3) A 点坐标为 ( m1 , m1 ) , B 点坐标为 (m2 , m2 ) , F 点坐标为 ? 0,1? ,因为 4 4
所以直线 AB 的方程为 y ?

x0 ? y0 ? 2 ? 0 ;所以 m1 ? x0 ? x0 2 ? 4 y0 ? x0 ? ( x0 ? 2)2 ? 4 ,
m2 ? x0 ? x0 2 ? 4 y0 ? x0 ? ( x0 ? 2) 2 ? 4 , m1 ? m2 ? 2x0 , m1m2 ? 4x0 ? 8 ;因此

?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? AF ? BF = m ? ? m12 ? 1? ? m2 2 ? ? m2 2 ? 1? ? ? m12 ? 1? ? ? m2 2 ? 1? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?
2 1

2

2

2

2

1 1 1 2 ?1 ?? 1 ? 1 ? ? m12 ? 1?? m2 2 ? 1? ? m12 m2 2 ? (m12 ? m2 2 ) ? 1 ? ? m1m2 ? ? ?(m1 ? m2 )2 ? 2m1m2 ? ? 1 ? 4 16 4? ?4 ?? 4 ? 16
1 1 3 9 2 (4 x0 ? 8) 2 ? ?? 2 x0 ? ? 2(4 x0 ? 8) ? ? 1 ? 2 x0 2 ? 6 x0 ? 9 ? 2( x0 ? ) 2 ? , ? ? 16 4 2 2 3 9 所以当 x0 ? 时, AF ? BF 取最小值 ; 2 2 ?
21. 设函数 f ? x ? ? x ? kx ? x ? k ? R ? .
3 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数在 [k , ?k ] 上的最小值 m 和最大值 M . 【答案与解析】 (1) 因 为 f ? x ? ? x ? kx ? x , 所 以 f ?( x) ?
3 2
2 3x ? 2k ? ;1 当 k ? 1 时 , x

1 2 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3( x ? ) 2 ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 R 上单调递增; 3 3
(2) 因为 f ?( x) ? 3x ? 2kx ? 1 , ? ? (?2k ) ? 4 ? 3?1 ? 4(k ? 3) ;
2 2 2

① 当 ? ? 0 时,即 ? 3 ? k ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 R 上单调递增,此时无最小 值和最大值;

2k ? 2 k 2 ? 3 k ? k 2 ? 3 ② 当 ? ? 0 时,即 k ? ? 3 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? 6 3
或 x?

2k ? 2 k 2 ? 3 k ? k 2 ? 3 k ? k2 ?3 ; 令 f ?( x )? 0, 解 得 x ? 或 ? 6 3 3

9

x?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 ; 令 f ?( x )? 0, 解 得 ;因为 ?x? 3 3 3

k ? k2 ?3 k ? k2 k ? k 2 ? 3 k ? k 2 2k ? ? 0 ? ?k , ? ? ?k 3 3 3 3 3
作 f ? x ? 的最值表如下:

x

k

? k ? k2 ?3 ? k ? k2 ?3 ? k, ? ? ? 3 3 ? ?

? k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 ? , ? ? ? ? 3 3 ? ?

k ? k2 ?3 3
0
极小值

? k ? k2 ?3 ? , ?k ? ? ? ? 3 ? ?

?k

f ?( x ) f ( x) k

?
?

0
极大值

?
?

?
?
?2k 3 ? k

10



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