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2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课件等比数列及其前n项和2013高考)


5.3 等比数列及其前n项和

考纲点击 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起,①____________等于同一个常 数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的② ______.公比通常用字母 q 表示(q≠0).

①每一项与它前一项的比 ②公比

2.通项公式与前 n 项和公式. (1)通项公式:③__________,a1 为首项,q 为公比. (2)前 n 项和公式: q=1 时, 当 ④__________; q≠1 时, 当 ⑤______________. 3.等比中项 如果⑥__________成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?a,G,b 成等比数列?⑦ ________________. a1?1-qn? a1-anq - ③an=a1qn 1 ④Sn=na1 ⑤Sn= = 1-q 1-q ⑥a,G,b ⑦G2=a· b

4.等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列?{c·n}是等比数列(c≠0). a ?an? (2){an}{bn}均为等比数列?{an·n}、?b ?是等比数列. b ? n? am (3){an}为等比数列,则 a =⑧__________. n (4)若 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q,则 am·n=ap·q.特 a a 别地,a1an=a2an-1=a3an-2=….

⑧qm-n

(5)等间隔的 k 项和(或积)仍成等比数列. (6)非零常数列既是等差数列,也是等比数列. (7)等比数列{an}的单调性 ?a1>0, ?a1<0, ? ? ? 当 ,或? 时 , {an} 为 递 增 数 列 , 当 ?q>1 ?0<q<1 ? ?
?a1>0, ? ? ?0<q<1, ? ?a1<0, ? 或? ?q>1 ?

时,{an}为递减数列.

考点自测 1.在等比数列{an}中, 2010=8a2007, a 则公比 q 的值为( A.2 B.3 C.4 D.8 a2010 3 解析:依题意得a =q =8,q=2,选 A. 2007 答案:A

)

2.在正项等比数列{an}中,a1 和 a19 为方程 x2-10x+16 =0 的两根,则 a8·10·12=( a a ) A.32 B.64 C.± 64 D.256

解析:由等比数列的性质知:a1·19=16=a8·12=a2 , a a 10 ∴a10=4,则 a8·10·12=a3 =64,故选 B. a a 10 答案:B

1n 3. 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3(2) +m(n∈N*), 则 实数 m 的取值为( ) 3 A.-2 B.-1 C.-3 D.一切实数

a1?1-qn? -a1qn a1 解析:由题意可知 q≠1,Sn= = + , 1-q 1-q 1-q 1 a1 比较系数得,q=2,m= =-3. 1-q 答案:C

(

4.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an= ) - - A.(-2)n 1 B.-(-2n 1) C.(-2)n D.-(-2)n

解析:设等比数列{an}的公比为 q. ∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1. ∵a5=-8a2=a2q3,∴q3=-8,q=-2. 又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0. 而 a2=a1q=a1· (-2)<0, ∴a1=1,∴an=(-2)n-1. 答案:A

1 5. 在等比数列{an}中, a1=2, 4=4, 若 a 则公比 q=______; a1+a2+…+an=________.

1 3 解析:a4=a1q ,得 4=2q ,解得 q=2,a1+a2+…+an
3

1 ?1-2n? 2 1 n-1 = =2 -2. 1-2 答案:2 2
n -1

1 -2

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.等比数列的特征 从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公 比 q 也是非零常数. 2.等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法,揭示等比数列的特征及基 本量之间的关系.在借用指数函数讨论单调性时,要特别注意 首项和公比的大小.

3.等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的,注意 这种思想方法在数列求和中的运用. (2)等比数列的通项公式 an=a1qn-1 及前 n 项和公式 Sn= a1?1-qn? a1-anq = (q≠1)共涉及五个量 a1,an,q,n,Sn,知 1-q 1-q 三求二,体现了方程的思想的应用. (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时,如果不确定 q 与 1 的关系,一般要用分类讨论的思想,分公比 q=1 和 q≠1 两种 情况.

题型探究 题型一 等比数列中基本量的计算 例 1 设等比数列{an}的公比 q<1,前 n 项和为 Sn.已知 a3 =2,S4=5S2,求{an}的通项公式.

a1?1-qn? 解析:由题设知 a1≠0,Sn= , 1-q ?a1q2=2 ① ? a1?1-q2? 则?a1?1-q4? ② ? 1-q =5× 1-q ? 由②得 1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0, (q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0, 因为 q<1,解得 q=-1 或 q=-2.

当 q=-1 时,代入①得 a1=2, - 通项公式 an=2×(-1)n 1; 1 当 q=-2 时,代入①得 a1=2, 1 通项公式 an=2×(-2)n-1.

点评:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式, 并能灵活运用.尤其需要注意的是,在使用等比数列的前 n 项 和公式时,应根据公比的取值情况进行分类讨论,此外在运算 过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

等比数列{an}同时满足下列三个条件: 32 2 4 2 (1)a1+a6=11;(2)a3·4= 9 ;(3)三个数3a2、a3、a4+9依 a 次成等差数列,试求数列{an}的通项公式.

变式探究 1

解析: ?a1+a6=11, ? 32 由等比数列的性质知 a1a6=a3a4= 9 ,∴? 32 a ?a1·6= 9 , ? 1 ? ?a1=3, 解 之 得 ? ?a6=32 5 ? 32 ? ?a1= 3 , ? ?q=1. ? 2 32 ? ?a1= 3 , 或 ? ?a6=1 3 ? 1 ? ?a1= , 3 ? ? ?q=2 ? 或

1 n-1 1 6-n ∴an=3· 或 an=3· . 2 2

1 n-1 若 an=3· , 2 2 4 32 32 2 则3a2+a4+9= 9 ,2a3= 9 . 2 4 2 ∴3a2,a3,a4+9成等差数列, 1 6-n 2 4 若 an=3· ,3a2+a4+9≠2a2(舍去). 2 3 1 n-1 ∴通项公式为 an=3· . 2

题型二 等比数列的判定与证明 例 2 设数列{an}中 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列. (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解析: (1)证明:∵Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2, ∴Sn+2-Sn+1=an+2=4an+1-4an, ∴an+2-2an+1=2(an+1-2an), ∴bn+1=2bn,{bn}为等比数列. (2)解:∵Sn+1=4an+2, ∴a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3, 3?1-2n? ∴Tn= =3·n-3. 2 1-2

点评:定义证明等比数列是最基本的方法.本题首先由 Sn 与 an 的关系转化为 an 的递推关系,再构造 bn 的形式.本题若 是先求 an,则较麻烦.

变式探究 2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an n+2 +1= n Sn(n=1,2,3,…),证明: Sn (1)数列{ n }是等比数列; (2)Sn+1=4an.

解析:本题主要考查数列、等比数列的概念和性质,分析 和推理能力. n+2 (1)证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= n Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn. Sn+1 Sn ∴ =2 n . n+1 Sn 故数列{ n }是等比数列.

Sn+1 Sn-1 (2)证明:由(1)知 =4· (n≥2),于是 Sn +1 =4(n+ n+1 n-1 Sn - 1 1)· =4an(n≥2). n-1 又 a2=3S1=3, 故 S2=a1+a2=4=4a1. 因此对于任意正整数 n≥1,都有 Sn+1=4an.

题型三 等比数列的性质及应用 例 3(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5, a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 (2)已知数列{an}是等比数列,且 Sm=10,S2m=30,则 S3m =__________(m∈N*). (3)在等比数列{an}中,公比 q=2,前 99 项的和 S99=56, 则 a3+a6+a9+…+a99=__________.

答案:(1)A (2)70 (3)32

点评:①等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的 变形,二是等比中项的变形,三是前 n 项和公式的变形,根据 题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题 的突破口.②巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.

变式探究 3 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比 q∈ (0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3 与 a5 的等比中项为 2,求 数列{an}的通项公式.

解析:因为 a1a5+2a3a5+a2a8=25, 所以 a2+2a3a5+a2=25. 3 5 又 an>0,所以 a3+a5=5. 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以 a3a5=4, 而 q∈(0,1),所以 a3>a5. 1 所以 a3=4,a5=1,q=2,a1=16. ?1? - - 所以 an=16×?2?n 1=25 n. ? ?

归纳总结 ?方法与技巧 1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: a =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数列. n - (2)通项公式:an=cqn 1(c、q 均是不为零的常数,n∈N*)?{an} 是等比数列. (3)等比中项法: n+1=an·n+2(an·n+1·n+2≠0, a2 a a a n∈N*)?{an}是等 比数列. 2.方程观点以及基本量(首项和公比 a1,q)思想仍然是求解等 比数列问题的基本方法:在 a1,q,n,an,Sn 五个量中,知三求二.

?失误与防范 1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列, 还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情形而导致解题 失误. 4.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用 定义和公式外,还要注意性质的应用,以减少运算量而提高解 题速度.

新题速递 1.(2012· 安徽卷)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, 且 a3a11=16,则 a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8

解析:∵公比为 2 且 a3a11=16,∴a1×22×a1×210=16, ∴a2×212=16,又 an>0,∴a1×26=4,而 a5=a1·4, 2 1 ∴a5=1. 答案:A

2.(2012· 北京卷)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的 是( ) A.a1+a3≥2a2 B.a2+a2≥2a2 1 3 2 C.若 a1=a3,则 a1=a2 D.若 a3>a1,则 a4>a2

解析:当 a1<0,q<0 时,a1<0,a2>0,a3<0,∴A 错 误;而当 q=-1 时,C 错误;当 q<0 时,由 a3>a1 得 a3q< a1q,即 a4<a2,与 D 项矛盾,∴B 项正确. 答案:B

1 3.(2012· 陕西卷)已知等比数列{an}的公比 q=-2. 1 (1)若 a3=4,求数列{an}的前 n 项和; (2)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.

1 1 解析:(1)由 a3=a1q =4及 q=-2,得 a1=1, ∴数列{an}的前 n 项和 ? ? 1? ? ? 1? - n 1×?1-?-2? ? 2+?-2?n 1 ? ? ? ? ? ? Sn = = . ? 1? 3 1-?-2? ? ? (2)证明:对任意 k∈N+,2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk -1 - +a1qk)=a1qk 1(2q2-q-1), 1 由 q=-2得 2q2-q-1=0,故 2ak+2-(ak+ak+1)=0. ∴对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.
2


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