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2014高考数学(文科)二轮专题突破课件:专题七 数学思想方法 第3讲


思想方法概述

专题七 第3讲

第3讲

分类讨论思想

本 1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思路是 讲 将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问 栏 目 题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 开 关

略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知 条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为 小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.

思想方法概述

专题七 第3讲

2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类 的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
本 讲 栏 目 开 关

(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数 学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论 不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数 不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数 运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域等.

思想方法概述

专题七 第3讲

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置
本 讲 栏 目 开 关

需要分类: 如角的终边所在的象限; 点、 线、 面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如 含参数的方程、 不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果 不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

思想方法概述
3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一,层次要分明.

专题七 第3讲

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原则地讨论. 本 讲 栏 4.解分类问题的步骤 目 (1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨 开 关 论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

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专题七 第3讲

类型一
本 讲 栏 目 开 关

由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论

例1

(1)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,

最小值为m,且函数g(x)=(1-4m) x 在[0,+∞)上是增函 数,则a=________.
? ?2x+a,x<1, (2)已知实数a≠0,函数f(x)= ? ? ?-x-2a,x≥1.

若f(1-a)=

f(1+a),则a的值为________.

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解析

专题七 第3讲

(1)讨论字母的取值,从而确定函数的最大值与最小值.
2
-1

1 若a>1,有a =4,a =m,此时a=2,m= , 2 此时g(x)=- x为减函数,不合题意.
本 若0<a<1,有a =4,a =m, 讲 栏 故a=1,m= 1 ,检验知符合题意. 目 4 16 开 关 (2)当a>0时,1-a<1,1+a>1.
-1

2

这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
3 由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a,解得a=- .不合题意, 2 舍去.

f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.

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专题七 第3讲

当a<0时,1-a>1,1+a<1,
这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,
本 f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 讲 3 栏 目 由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-4. 开 3 关

综上可知,a的值为- . 4 3 1 (2)-4 答案 (1)4

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专题七 第3讲

应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行
本 讲 栏 目 开 关

讨论,这是由它的性质决定的.处理分段函数问题时,首先 要确定自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应法 则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.

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专题七 第3讲

已知数列{an}的前n项和Sn=pn-1(p是常数),则数 列{an}是 A.等差数列 C.等差数列或等比数列
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( D ) B.等比数列 D.以上都不对

解析 ∵Sn=pn-1,
∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1(n≥2), 当p≠1,且p≠0时,{an}是等比数列; 当p=1时,{an}是等差数列. 当p=0时,a1=-1,an=0(n≥2), 此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.

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类型二

专题七 第3讲

由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论

例2 已知m∈R,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区间[0,1] 上的最大值.
本 讲 栏 目 开 关

4 4 解 ①当4-3m=0,即m=3时,函数y=-2x+3, 4 它在[0,1] 上是减函数,所以ymax=f(0)=3. 4 ②当4-3m≠0,即m≠3时,y是二次函数. 4 当4-3m>0,即m<3时, 1 二次函数y的图象开口向上,对称轴方程x= >0,它 4-3m
在[0,1] 上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最 小值,故不需讨论区间与对称轴的关系).

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f(0)=m,f(1)=2-2m,

专题七 第3讲

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4 2 4 当m≥2-2m,又m<3,即3≤m<3时,ymax=m. 4 2 当m<2-2m,又m<3,即m<3时,ymax=2(1-m). 4 当4-3m<0,即m>3时,

1 二次函数y的图象开口向下,又它的对称轴方程x= <0, 4-3m 所以函数y在[0,1] 上是减函数,于是ymax=f(0)=m.
2 ? ?2-2m,m<3, 由①、②可知,这个函数的最大值为ymax=? ?m,m≥2. 3 ?

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专题七 第3讲

求解有关几何问题中,由于几何元素的形状、位置 变化的不确定性,所以需要根据图形的特征进行分类讨论.
本 讲 栏 目 开 关

一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括:二次函数对 称轴位置的变化;函数问题中区间的变化;函数图象形状的 变化;直线由斜率引起的位置变化;圆锥曲线由焦点引起的 位置变化或由离心率引起的形状变化.

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专题七 第3讲

x2 y2 设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆 9 4 上一点.已知 P,F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点,且 |PF1| |PF1|>|PF2|,则 的值为________. |PF2|

本 讲 栏 目 开 关

解析 若∠PF2F1=90° , 则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14 4 |PF1| 7 解得|PF1|= ,|PF2|= ,∴ = . 3 3 |PF2| 2

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专题七 第3讲

若∠F2PF1=90° ,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
本 讲 栏 目 开 关

=|PF1|2+(6-|PF1|)2,

解得|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| |PF1| 7 ∴ =2.综上所述, =2或 . |PF2| |PF2| 2
答案 7 2或 2

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类型三

专题七 第3讲

由参数变化引起的分类讨论 1- a 例3 已知函数f(x)=ln x-ax+ x (0<a<1),讨论函数f(x)的 单调性. a-1 ax2-x+1-a 1 解 f′(x)= x-a+ x2 =- ,x∈(0,+∞). x2 1 2 由f′(x)=0,即ax -x+1-a=0, 解得x1=1,x2= -1. a 1 (1)若0<a<2,则x2>x1. 1 当0<x<1或者x>a-1时,f′(x)<0; 1 当1<x<a-1时,f′(x)>0. ?1 ? 故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),?a-1,+∞?,
? 1 ? 单调递增区间是?1,a-1?. ? ? ? ?

本 讲 栏 目 开 关

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专题七 第3讲

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1 (2)若a= ,则x1=x2, 2 1 此时f′(x)≤0恒成立,且仅在x= 处等于零, 2 故此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 (3)若 <a<1,则0<x2<x1, 2 1 当0<x< -1或者x>1时,f′(x)<0; a 1 当 -1<x<1时,f′(x)>0. a ? ? 1 故此时函数f(x)的单调递减区间是 ?0,a-1? ,(1,+∞),单调 ? ? ?1 ? 递增区间是?a-1,1?. ? ?

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专题七 第3讲

含有参数的问题,主要包括:(1)含有参数的不等
本 讲 栏 目 开 关

式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参 数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判 定等.求解时,要结合参数的意义,对参数的不同取值或不 同取值范围进行分类讨论,分类要合理,要不重不漏,要符 合最简原则.

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专题七 第3讲

1 2 设a>0,函数f(x)= x -(a+1)x+a(1+ln x). 2 (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方 程;
本 讲 栏 目 开 关

(2)求函数f(x)的极值.
a 解 (1)由已知x>0,f′(x)=x-(a+1)+x ,

因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1, a 所以f′(2)=1,即2-(a+1)+2=1,所以a=0, 此时f(2)=2-2=0, 故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.

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a (2)f′(x)=x-(a+1)+x

专题七 第3讲

x2-?a+1?x+a ?x-1??x-a? = = . x x
本 ①当0<a<1时,若x∈(0,a),f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 讲 栏 若x∈(a,1),f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 目 开 关 若x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增.

此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点, 1 2 函数f(x)的极大值是f(a)=- a +aln a, 2 1 极小值是f(1)=- ; 2

热点分类突破
②当a=1时,若x∈(0,1),f′(x)>0,

专题七 第3讲

若x=1,f′(x)=0, 若x∈(1,+∞),f′(x)>0,
本 讲 栏 目 开 关

所以函数f(x)在定义域内单调递增, 此时f(x)没有极值点,也无极值. ③当a>1时,若x∈(0,1),f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 若x∈(1,a),f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点, 1 1 2 函数f(x)的极大值是f(1)=-2,极小值是f(a)=-2a +aln a;

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专题七 第3讲

本 讲 栏 目 开 关

1 2 综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是- a +aln a,极小值 2 1 是- ; 2 当a=1时,f(x)无极值; 1 1 2 当a>1时,f(x)的极大值是-2,极小值是-2a +aln a.

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专题七 第3讲

分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论
本 讲 栏 目 开 关

的思维策略解数学问题的操作过程: 明确讨论的对象和动机→ 确定分类的标准 → 逐类进行讨论 →归纳综合结论 →检验分类 是否完备 (即分类对象彼此交集为空集,并集为全集 ).做到 “确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏” 的分析讨论.

热点分类突破
常见的分类讨论问题有: (1)集合:注意集合中空集?的讨论.

专题七 第3讲

(2)函数:对数或指数函数中的底数 a,一般应分 a>1 和 0<a<1
本 讲 栏 目 开 关

的讨论;函数 y=ax2+bx+c 有时候分 a=0 和 a≠0 的讨论; 对称轴位置的讨论;判别式的讨论. (3)数列:由 Sn 求 an 分 n=1 和 n>1 的讨论;等比数列中分公 比 q=1 和 q≠1 的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式: 解不等式时含参数的讨论, 基本不等式相等条件是 否满足的讨论.

热点分类突破

专题七 第3讲

(6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论; 平面解析几何:直线点斜式中 k 分存在和不存在,直线截距式
本 讲 栏 目 开 关

中分 b=0 和 b≠0 的讨论; 轨迹方程中含参数时曲线类型及形 状的讨论. (7)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

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专题七 第3讲

1.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值
本 讲 栏 目 开 关



( C )

1 1 1 A.1 B.- C.1或- D.-1或 2 2 2 解析 当公比q=1时,a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合
要求.
3 a ? 1 - q ? 1 1 2 当q≠1时,a1q =7, =21,解之得,q=-2. 1-q

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专题七 第3讲
( D )

2.若x>0且x≠1,则函数y=lg x+logx10的值域为 A.R C.(-∞,-2]
本 讲 栏 目 开 关

B.[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

解析 当x>1时,y=lg x+logx10

1 =lg x+lg x≥2 当0<x<1时,y=lg ≤-2 ?-lg

1 lg x· lg x=2;
? x+logx10=-??-lg ? ? 1 ?? x?+?-lg x?? ? ??

? 1 ? x??-lg x?=-2. ? ?

所以函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).

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专题七 第3讲

3.过双曲线2x2-y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两

本 讲 栏 目 开 关

3 点,若|AB|=4,则这样的直线有________ 条. 2 y 解析 由2x2-y2=2,得x2- 2 =1. 2b2 当l无斜率时,|AB|= a =4,符合要求.
当 l 有斜率时,若 A、B 两点都在右支上,则|AB|>4 不符合 要求. A、B 在左、右两支上,有两条.所以共 3 条.

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专题七 第3讲

4.函数f(x)=

mx2+mx+1 的定义域为一切实数,则实数m

[0,4] . 的取值范围是________

解析 因为函数f(x)的定义域为一切实数,
本 讲 栏 目 开 关

所以mx2+mx+1≥0对一切实数恒成立, 当m=0时,原不等式即1≥0对一切实数恒成立,
? ?m>0 当m≠0时,则需? 2 ? Δ = m -4m≤0 ?

,解得0<m≤4.

综上,实数m的取值范围是[0,4] .

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专题七 第3讲

5.已知线段AB和平面α,A、B两点到平面α的距离分别为1
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1或2 . 和3,则线段AB的中点到平面α的距离为________

解析 此题分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况, 答案为1或2.

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专题七 第3讲

6.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1 (q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项 和Sn.
本 讲 栏 目 开 关

解 (1)设数列{an}的公差为d,
? ?3a1+3d=6, 由已知,得? ? ?8a1+28d=-4, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=-1.

故an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得 bn=n· qn-1, 于是Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+n· qn-1. 若q≠1,将上式两边同乘q,得

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qSn=1· q1+2· q2+?+(n-1)· qn 1+n· qn.


专题七 第3讲

两式相减,得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-?-qn-1
n n 1 n q - 1 nq - ? n + 1 ? q +1 n =nq - = . q-1 q-1 本


讲 栏 目 开 关

nqn 1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . ?q-1?2


n?n+1? 若q=1,则Sn=1+2+3+?+n= 2 .
? ?n?n+1? ?q=1?, ? 2 综上,Sn=? n+1 n nq - ? n + 1 ? q +1 ? ?q≠1?. 2 ? ?q-1? ?


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