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2012年高考文科数学专题复习——函数与导数


函数与导数典例分析

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一、选择题 1.(09 年福建 2) 下列函数中,与函数 y ? A f (x) ? ln x B f ( x) ?

1 有相同定义域的是 x
D f ( x) ? e x

1 x

C f ( x) ?| x |

【分析】本题考查函数的定义域. 【解析】函数 y ?

1 的定义域为(0,+∞) ,函数 f ( x) ? ln x 定义域为(0,+∞) ,函数 x

f ( x) ?

1 的定义域为 x ? 0 ,函数 f ( x) ?| x | 和 f ( x) ? e x 的定义域都为 R,故选 A. x

2.(09 年福建 8) 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示,则在 ? ?2,0 ? 上,下 列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 A. y ? x2 ? 1 C. y ? ? B. y ?| x | ?1 D. y ? ?

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

?e x , x ? o ? ?x ?e , x ? 0 ?

【分析】本题考查函数的图像与性质。 【解析】由偶函数的图像与性质知,函数 f ? x ? 在 ? ?2,0 ? 上是减函数,由二次函数的图像 知函数 y ? x ? 1 在 ? ?2,0 ? 上是减函数,
2 x 3.(广东卷 4)若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a a ? 0,且a ? 1 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 ( )

f ( x) ?
A. log2 x 【答案】A
x 【解析】函数 y ? a a ? 0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? loga x ,又 f (2) ? 1 ,即 loga 2 ? 1 , ( )

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log2 x ,选 A. 4.(广东卷 8)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

A. (??,2) 【答案】D

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

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? 【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

? ?

5.(浙江 8)若函数 f ( x) ? x ?
2

a (a ? R) ,则下列结论正确的是( x
w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m



A. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数 B. ?a ? R , f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x ) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x ) 是奇函数

C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考 查结合函数的性质进行了交汇设问.
2 【解析】对于 a ? 0 时有 f ? x ? ? x 是一个偶函数

6. (2009 北京 4)为了得到函数 y ? lg 点

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的 10

( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w

A. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? , B. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg10 ? x ? 3? ,

x?3 , 10 x ?3 D. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg . 10
C. y ? lg ? x ? 3? ? 1 ? lg 故应选 C.

e x ? e? x 7. (2009 山东卷 6)函数 y ? x 的图像大致为( e ? e? x

).

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【解析】:函数有意义,需使 e ?e
x

?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. x ?x e ?e e ?1 e ?1

答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 8.(09 山东 7)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? 的值为( A.-1 ) B. -2 C.1 D. 2

x?0 ?log2 (4 ? x), ( , f3 则 ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log2 5 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log2 5 ? (2 ? log2 5) ? ?2 ,故选 B.
答案:B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.. 9. (2009 山东卷文 12)已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2] 上是增函数,则( ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

【解析】 :因为 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的 周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) ,又因为 f (x) 在 R 上是奇函 数, f (0) ? 0 ,得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) ,而由 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) 得

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又 因 为 f (x) 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 所 以
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f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
答案:D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想 和数形结合的思想解答问题. 10. (2009 全国卷Ⅱ文 2) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = ? 则 f (3) 的值为( A.-1

x?0 ?log2 (4 ? x), , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

) C.1 D. 2

B. -2

答案:B 解析:本题考查反函数概念及求法,由原函数 x ? 0 可知 AC 错,原函数 y ? 0 可知 D 错, 选 B. 11.(2009 全国卷Ⅱ文 3)函数 y= y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案:A 解析: 本题考查对数函数及对称知识, 由于定义域为 (-2, 关于原点对称, f(-x)=-f(x), 2) 又 故函数为奇函数,图像关于原点对称,选 A。 12.(2009 全国卷Ⅱ文 7)设 a ? lg e, b ? (lg e) 2, c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 答案:B 解析:本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= B。 13. (09 年安徽文 8) a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图象可能是
2

2? x 的图像 2? x
(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

(B) a ? c ? b

(C) c ? a ? b

(D) c ? b ? a

1 lge, 作商比较知 c>b,选 2

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【解析】可得 x ? a, x ? b为y ? ( x ? a)2 ( x ? b) ? 0 的两个零解. 当 x ? a 时,则 x ? b ? f ( x) ? 0 当 a ? x ? b 时,则 f ( x) ? 0, 当 x ? b 时,则 f ( x) ? 0. 选 C。 【答案】C

? x 2 ? 3x ? 4 14. (2009 江西卷文 2)函数 y ? 的定义域为 x A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]
答案:D 【解析】由 ?

x?0 得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D. 2 ?? x ? 3 x ? 4 ? 0 ?

15. (2009 江西卷文 5)已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有

f ( x ? 2) f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2008)? f (2009)的值 ? )
为 A. ?2 答案:C B. ?1 C. 1 D. 2

【解析】 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 ? log2 ? 1,故选 C. 2 2 16.(2009 江西卷文 11)如图所示,一质点 P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不 变,其在 x 轴上的投影点 Q ( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象大致为
y

P( x, y)

O

Q( x, 0)

x

V (t )

V (t )

V (t )

V (t )

O O
A
答案:B
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t

O

t O

t

t
B

C

D

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【解析】由图可知,当质点 P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时,投影点 Q ( x, 0) 的速度先由 正到 0、到负数,再到 0,到正,故 A 错误;质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接 近 0,故 D 错误;质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动,故投影点 Q ( x, 0) 的速度为常数, 因此 C 是错误的,故选 B .
2 17. 2009 江西卷文 12) ( 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切, 4
D. ?

则 a 等于 A. ?1 或 答案:A

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

7 或7 4

) 【 解 析 】 设 过 ( 1 , 0的 直 线 与 y ? x3 相 切 于 点 ( x0 , x03 ) , 所 以 切 线 方 程 为

y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )
3 , 2 15 25 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ?

18. (2009 天津卷文 5)设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则

A a <b <c 【答案】B

B a <b <b

C b< b < a

D b <a <b

【解析】 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 , b ? o 而 lg

2

3 ? 1,

因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能力。 19.(2009 天津卷文 8)设函数 f ( x) ? ? ( ) A

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 x ? 6, x ? 0 ?

(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

【答案】A 【解析】由已知,函数先增后减再增
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当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 20.(2009 天津卷文 10)设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f '( x) ,且 2 f ( x) ? xf '( x) ? x2 , x 下 面的不等式在 R 内恒成立的是 A f ( x) ? 0 B f ( x) ? 0 C

f ( x) ? x

D f ( x) ? x

【答案】A 【解析】由已知,首先令 x ? 0 ,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考 查了分析问题和解决问题的能力。

21. (2009 四川卷文 2)函数 y ? 2 x?1 ( x ? R) 的反函数是 A.

y ? 1 ? log2 x( x ? 0)

B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1)

C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 【答案】C 【解析】由 y ? 2
x ?1

? x ? 1 ? log2 y ? x ? ?1 ? log2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) 22.(2009 四川卷文 12)已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任 意实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A. 0 【答案】A 【解析】若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? B.

5 2

1 2

C. 1

D.

5 2

1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: x 2

1 1 f ( ) ? f (? ? 1) ? 2 2

1?

1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) ( ∵ f (x) 是 偶 函 数 , 则 1 2 2 2 ? 2
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1 1 f (? ) ? f ( ) ) 2 2 1 由此得 f ( ) ? 0 2
于 是 ,

5 3 f ( ) ? f ( ? 1) ? 2 2

1?

3 1 1? 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2

23. (2009 湖南卷文 1) log2 A. ? 2 B. 2

2 的值为【 D 】
C. ?

1 2

D.

1 2

解:由 log 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

24.(2009 湖南卷文 7)若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是【 A 】 y y y y

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 在区间 [ a, b] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上 ... 各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

25.(2009 湖南卷文 8)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义 函数 f K ( x) ? ?

? f ( x ), f (x ) ? K , 1 ?x ,取函数 f ( x) ? 2 。当 K = 时,函数 f K ( x) 的单调递 2 ? K , f ( x) ? K .

增区间为【 C 】 A . (??, 0) B. (0, ??) C . (??, ?1)
8

D . (1, ??)
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解: 函数 f ( x) ? 2

?x

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C.

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2 1 2

26. (2009 辽宁卷文 6)已知函数 f ( x ) 满足:x≥4,则 f ( x ) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x ) =

x

f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log2 3) =
(A)

1 24

(B)

1 12

(C)

1 8

(D)

3 8

【解析】∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log2 3) =f(3+log23)

1 1 1 1 1 log 1 3 1 1 1 = ( )3?log2 3 ? ? ( )log2 3 ? ? ( ) 2 ? ? ? 2 8 2 8 2 8 3 24
27. (2009 辽宁卷文 12) 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加, 则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (

1

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f ( x ) 是偶函数,故 f ( x ) = f (| x |) ∴得 f (| 2 x ? 1|) < f ( ) ,再根据 f ( x ) 的单调性 得 | 2 x ? 1| < 【答案】A

1 3

1 3

解得

1 2 <x< 3 3

28.(2009 陕西卷文 3)函数 f ( x) ? 2x ? 4( x ? 4) 的反函数为

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 2
(A) f
?1

( x) ?

1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 2( x ? 2) 2
(B) f
?1

( x) ?

学科

答案:D. 解析:令原式
?1 故 f ( x) ?

y ? f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 2)
故选 D.

则 y ? 2 x ? 4,即x ?
2

y2 ? 4 y2 ? ?2 2 2

1 2 x ? 2( x ? 2) 2

29. (2009 陕西卷文 10) 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: 对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,

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f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1
(B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) 答案:A.

解 析 : 由 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等 价 , 于

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x2 ? x1

x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上 单 调 递 增 ,



f ( x) 是 偶 函 数 , 故 f ( x) 在

x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单 调 递 减 . 且 满 足 n ? N * 时 , f (?2) ? f (2) , 3>2 ? 1 ? 0 , 得
f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.
30.(2009 陕西卷文 12)设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 (A)

1 n
n?1

(B)

1 n ?1

(C)

n n ?1

(D) 1

答案:B 解析: 对 y ? x

(n ? N * )求导得y' ? (n ? 1) xn ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率

k ? n ? 1 ,在点
(1,1)处的切线方程为 y ?1 ? k ( xn ?1) ? (n ? 1)( xn ?1) ,不妨设 y ? 0 , 则 x1 ? x2 ?? ? xn ?

xn ?

n n ?1

1 2 3 n ?1 n 1 ? ? ? ... ? ? ? , 故选 B. 2 3 4 n n ?1 n ?1

31. ( 2009 全 国 卷 Ⅰ 文 6 ) 已 知 函 数 f ( x ) 的 反 函 数 为 g ( x)=+2lgx ? x> ? , 则 1 0

f (1) ? g(1) ?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4

【解析】本小题考查反函数,基础题。 解:由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 , 故选择 C。 32.(2009 湖北卷文 2)函数 y ?
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1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是 1 ? 2x 2
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A. y ? C. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ) 1 ? 2x 2

B. y ? D. y ?

1 ? 2x 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 1 ? 2x 2

1? x ( x ? R, 且x ? 1) 2(1 ? x)

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) 2(1 ? x)

【答案】D 【解析】可反解得 x ?

1? y 1? x 且可得原函数中 y∈R、y≠-1 所以 故f ?1 ( x ) 2(1 ? y ) 2(1 ? x )

f ?1 ( x )

1? x 且 x∈R、x≠-1 选 D 2(1 ? x )

33.(2009 福建卷文 11)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不 超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)2 D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

解析 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x= x=0, f ? x ? ? In ? x ?

1 , f ? x ? ? ( x ?1)2 的零点为 x=1, f ? x ? ? ex ?1 的零点为 4

? ?

3 1? x ? 的零点为 x= 2 .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点,因为 2?

g(0)= -1,g(

1 1 x )=1,所以 g(x)的零点 x ? (0, ),又函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零 2 2

点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零点适合,故选 A。 34. (2009 重庆卷文 10)把函数 f ( x) ? x ? 3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下
3

平移 v 个单位长度后得到图像 C2 .若对任意的 u ? 0 ,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则

v 的最小值为(
A. 2 【答案】B

) B. 4

C. 6

D. 8 则 ? 3 ( x ? u) ? v,方 程

解 析 根 据 题 意 曲 线 C 的 解 析 式 为 y ?( x? u )
3

1 u ( x ? u)3 ? 3( x ? u) ? v ? x3 ? 3x ,即 3ux2 (u3 ? 3u ? v) ? 0 ,即 v ?? u 3? 3 对任意 4 1 1 u ? 0 恒 成 立 , 于 是 v ? ? u 3 ? 3u 的 最 大 值 , 令 g (u ) ? ? u 3 ? 3u (u ? 0), 则 4 4
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3 3 g ((u ) ? ? u 2 ? 3 ? ? (u ? 2)(u ? 2) 由此知函数 g (u ) 在(0,2)上为增函数,在 4 4

(2, ??) 上为减函数,所以当 u ? 2 时,函数 g (u ) 取最大值,即为 4,于是 v ? 4 。
35. (09 辽宁文 12)用 min{ a , b , c }表示 a , b , c 三个数中的最小值 设 f ( x ) = min{2x , x ? 2,10 ? x} ( x ? 0),则 f ( x ) 的最大值为 (A) 4 36. 二、填空题 1. (2009 北京 12)已知函数 f ( x) ? ? 【答案】 log3 2
5.u.c

(B) 5 (C) 6 (D) 7

?3x , ?? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

.w.w. k. s.5

.w

【解析】 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由?

?x ? 1

?x ? 1 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? 3x ? 2 ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?
x

2. (09 山东文 14).若函数 f ( x ) = a ? x ? a ( a >0 且 a ≠1)有两个零点,则实数 a 的 取值范围是 .

x x 【解析】 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f ( x ) = a ? x ? a( a >0 :

x 且 a ≠1) 有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象 x 可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a (a ? 1) 的图象

过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以 实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 答案: {a | a ? 1} 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 开始 3.(2009 辽宁卷文 15)若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1 S=0,T=0,n=0
T>S 否 是

【解析】f’(x)=

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) ( x ? 1)2
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S=S+5 n=n+2

输出 T 结束

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f’(1)= 【答案】3

3? a =0 ? a=3 4

4.(09 福建文 15)若曲线 f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围 是 解析 .
? 解析:由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f ? x ? ? 2ax ?

1 。因为存在垂直于 y 轴的 x 1 ? 切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题意, x 当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点,
故有 a ? 0 应填 ? ??,0? 或是 ?a | a ? 0? 。 5. (2009 重庆卷文 12) f ( x) ? log3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) , 记 则方程 f ?1 ( x) ? 8 的 解x? 【答案】2 .
y ?1

解法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3 得x ?2

,即 f ?1 ( x) ? 3x ?1 ,于是由 3x ? 1 ? 8 ,解

解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0,??? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2
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6.(2009 江苏卷 3)函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

.

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 7.(2009 江苏卷 9)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ?10x ? 3 上,且在第 二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 .

y? ? 3x2 ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15)
8.(2009 江苏卷 10)已知 a ? 则 m 、 n 的大小关系为 .

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) , 2

【解析】考查指数函数的单调性。

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2

9.(2009 江苏卷 11)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值 范围是 (c, ??) ,其中 c = .

?

?

【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由 log2 x ? 2 得 0 ?

x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。
3

?1 10.(2009 上海卷文) 函数 f ( x ) = x ? 1 的反函数 f ( x) =____________ _.

【答案】 3 x ? 1 【解析】由 y = x ? 1 ,得 x = 3 y ? 1 ,将 y 改成 x , x 改成 y 可得答案。
3

11. (2009 四川卷文 16) V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 设 对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的 象 为 f ( a ) 。 若 映 射 f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a、 b? V 及 任 意 实 数 ? , ? 都 有

f (? a ? ? b) ? ? f ( a)? ? f ( b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

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③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 【答案】①③④ (写出所有真命题的编号)

【解析】①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题 同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是 线 性 变
换,故③是真命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e
∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖, 突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质。 . 12.(2009 宁夏文 13)曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x



【答案】 y ? 3x ? 1
x x 【解析】 y' ? e ? xe ? 2 ,斜率 k= e ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1
0

13. 三、解答题 1.(广东卷 21)(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取得最 小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 【解析】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;
2

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又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

?

b ? ? 1 2

b?2

? g ? ? ? ?a ?b ?c 1 2 ? 1 ? ? c
f ? x? ? g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

? ,? m1

c ? m;

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?
2

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2 2 ? 2 ? 4 m

m??

2 ; 2

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ?2?0, x

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1 k ? 1? 1 , 函数 m

当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,

y ? f ? x ? k 有一零点 x ? ? x

1 k ?1

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2. (浙江 21) (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析: )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) (Ⅰ
2

又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?

(Ⅱ )函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

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导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 (本小题共 14 分) 3.(2009 北京 18) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a , ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

∴?

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?

' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f

'

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上单调递增,

此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ? 4. (2009 山东卷文 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3
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(1) 当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2) 已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

f (x) 要取得极值,方程 ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , x1 ? ? ? 2a a 2a a
所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) + 增函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

2 (2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

1 1 或x?? (舍去), a a
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当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a
当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以当 x ?

1 1 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( )?? a. a a

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '(x ) ? 0在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 2 2x a a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

(0,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ?
综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数 在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数 研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 5.(09 年全国卷Ⅱ文 21)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

解析:本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关 键是通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成 立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解: (I) f ?( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)
2
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减 函数。

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(II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

f (0) ? 24a
由假设知
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?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?
故 a 的取值范围是(1,6)

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

6. (09 安徽文 21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

2 ? 1 ? a ln x ,a>0, x

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a =3,求 f ( x ) 在区间{1, e }上值域,其中 e=2.71828…是自然对数的底数。 【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第
2 二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上的值域。 ? ?

2

【解析】(1)由于 f ( x) ? 1 ? 令t ?

2 a ? x2 x
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1 得y ? 2t 2 ? at ? 1(t ? 0) x
2

①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立.

? f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时
2

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ?
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或t ? 4 4

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

?0 ? x ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x ?0或x? 4 4

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a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 又由 2t ? at ? ? 0 得 ?t ? ? ?x? 4 4 2 2
综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (??,0)及(0, ??) 上都是增函数. ②当 a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上是减函数, 2 2

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

在 (??, 0)(0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )及( , ??) 上都是增函数. 2 2

(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x ) 在 ?1, 2? 上是减函数.
2 在 ? 2, e ? 上是增函数. ? ?

又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e ) ? e ?
2 2

2 ?5 ? 0 e2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

2 ? ? ? 函数 f ( x) 在 ?1, e 2 ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e2 ? 2 ? 5? ? ? e ? ?
8. .(2009 江西卷文 17) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
' 2

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

' ' ' (2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;

所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故 当 f ( 2)? 0 或 f (1) ? 0 时 , 方 程 f ( x ) ? 0 仅 有 一 个 实 根 . 解 得 a ? 2 或

a?

5 . 2
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9. (2009 天津卷文 21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( )) 1 1 处的切线斜率 (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
【答案】 (1)1(2) f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增 函数。函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
所以曲线 y ? f ( x)在点(,f( )) 1 1 处的切线斜率为 1.
w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

(2)解: f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m 1 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)
f (x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =
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4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f (x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最 3 1 2 小值为 0, 于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3
则 f ( x) ?? ? 解得 ?

3 3 ?m? 3 3

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 3 ) 2 3

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的 关系解不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。 10. (2009 四川卷文 20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。
3 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.
【解析】 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①
2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

…………………………………4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3

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2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

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1 m ? 0 有实数解, 3

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 极值 ②当 m ? 1 时, ?( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? g 情况如下表:

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无 3 3 1 1 (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 3 3

x
g ?( x )
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3
…………………………………12 分

11.(2009 湖南卷文 19) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称,

所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 6x ? cx , f ?( x) ? 3x ?12x ? c ? 3( x ? 2) ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数;
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数;

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当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

于是 g (t ) ? f (t ) ? t3 ? 6t2 ? ct ? ?2t3 ? 6t2 , t ? (2, ??). 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 12. (2009 辽宁卷文 21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ex (ax2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。 (I) (II) 求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; 证明:当 ? ? [0,

w. w.

?
2

]时, cos ? ) ? f(sin? ) ? 2 f(

解: (Ⅰ) f '( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知,

?? f '(1) ? 0 , a ? 3? 2a? 0? a 1 故
x 2 x

.

………2 分

于是 f '( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) . 故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x ) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加. 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x ) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, ………10 分 ………6

?
2

] 时, cos? ,sin ? ? [0,1] .

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从而

f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2

………12 分

13.(2009 陕西卷文 20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
的取值范围。
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

求 f ( x) 的图象有三个不同的交点, m

解析: (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0, 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a;

a,

当 a ? 0 时 , f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f (?1) ? 3? (?1) ? 3a ? 0,? a ? 1.
' 2

所以 f ( x) ? x ? 3x ?1, f ( x) ? 3x ? 3,
3 ' 2

由 f ' ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。 由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因 为 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 14.(09 全国卷Ⅰ文 21). (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = x ? 3x ? 6 .
4 2

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(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)设点 P 在曲线 y = f ( x ) 上,若该曲线在该点的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程. 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性,综合题。 解: (Ⅰ) f `( x ) ? 4 x ? 6 x ? 4 x( x ?
3

6 6 )( x ? ) 2 2

令 f `( x ) ? 0 得 ?

6 6 ; ? x ? 0或 x ? 2 2 6 6 或0 ? x ? 2 2 6 6 6 6 ,0) 和 ( ,? ?) 为增函数;在区间 ( ? ?,? ) 和 (0, ) 2 2 2 2

令 f `( x ) ? 0 得 x ? ?

因此, f ? x ? 在区间 (? 为减函数。

(Ⅱ)设点 P ( x 0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为 y ? f `( x0 ) x ,
4 2 3 因此 f ( x0 ) ? f `( x0 ) x ,即 x0 ? 3 x0 ? 6 ? x0 (4 x0 ? 6 x0 ) ? 0 ,整理得 2 2 ( x0 ? 1)( x0 ? 2) ? 0 ,解得 x0 ? ? 2 或 x0 ? 2 。

所以的方程为 y ? ? 2 x 或 y ?

2x

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

15. (2009 湖北卷文 21) (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x ) =

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ,其导函数为 f ?( x) .令 g ( x) = | f ?( x) | ,记 3

函数 g ( x) 在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f ( x ) 在 x =1 处有极值 ?

4 ,试确定 b 、 c 的值: 3

(Ⅱ)若∣ b ∣>1,证明对任意的 c ,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≥ k 对任意的 b 、 c 恒成立,试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、 函数的导数和不等式等基础知识, 考察综合运用数学知识进行推理论 证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分)
2 (I)解:? f '( x) ? ? x ? 2bx ? c ,由 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

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? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 ? f (1) ? ? 3 ? b ? c ? bc ? ? 3 ?
解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3

若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2 x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时 f ( x ) 没有极值; 若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1)

当 x 变化时, f ( x ) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, ?3)

?3
0 极小值 ?12

(?3,1)
+

1 0 极大值 ?

(1, ??)

?
?

?
4 3

?

?

4 ? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3
(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | 当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
证法 2(反证法) :因为 | b |? 1 ,所以函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外,

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个 假设 M ? 2 ,则

g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2 g (1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2
将上述两式相加得:

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4 ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,? M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)? 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b(?1)2 ? 0 ①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max ?| f '(1),| f '(b) |? ?

1 1 1 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? | f '(1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '(?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2 1 。 2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 解法 2: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

(1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?

4M ? g (?1) ? g (1) ? 2g (h) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c | ?2 | b2 ? c | ?| ?1 ? 2b ? c ? (?1 ? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ?
下同解法 1 16. (2009 福建卷文 21) (本小题满分 12 分)

1 2

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1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??,1 ? 2a)

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)
+ 单调递增

+ 单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数

f ( x) 的单调区间为 R
③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上:
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当 a ? 1 时, 函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) , 单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ;

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当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x3 ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 ? y ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 , F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 而 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 ( Ⅲ ) 当 a ? ?1 时 , 得 f ( x ) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x , 由 f ' ( x ? 2 ? 2x? 3? , 得 ) x 0 3x

x1 ? ?1, x2 ? 3
由 (Ⅱ) f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 得 单调减区间为 (?1,3) , 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值, 故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

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5 3

8 x ?1 3

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1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 ) 3

17. (2009 重庆卷文 19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 5 分) 已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0
2 又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 2 ? c ? 5, 有 c ? 1

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 ,? 曲线 y ? g ( x)
' 有 斜 率 为 0 的 切 线 , 故 有 g ( x) ? 0 有 实 数 解 . 即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有 实 数 解 . 此 时 有
2

? ? 4a 2 ? 12 ≥ 0 解得
a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

' (Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g (? 1) ? 0即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得

a?2
又 g ( x) ? 3x ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1)
' 2 ' ' 令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数
' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数

1 3

1 3

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当 x ? (? , ??) 时, g ' ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数 18.(2009 江苏卷 20)(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

1 3

1 3

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

f ( x) 的最小值;
f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1的解集. ....

(3)设函数 h( x) ?

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵 活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 (1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
2

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? 3 ? ? 3

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

2 2 2 (3)x ? (a, ??) 时,h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,? ? 4a ? 12(a ? 1) ? 12 ? 8a

当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

当?

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 )( x ? )?0 时,△>0,得: ?( x ? ?a? ? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

当 a ? (?

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3

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33

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函数与导数典例分析

德胜教育

19.(09 高考数学文 21)(本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小

a ? ?0.1 ? 15ln a ? x ,  x ? 6, ? 题满分 10 分 .有时可用函数 f ( x) ? ? ? x ? 4.4 ,       6 ? ? x?4 ?

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ? N ) f ( x ) 表示 ,
*

对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降;
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 证明(1)当 x ? 7 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ?

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ? 7 时,函数 y ? ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 故函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 单调递减 当 x ? 7 时,掌握程度的增长量 f ( x ? 1) ? f ( x) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 ? 15ln 整理得

a ? 0.85 a?6

a ? e0.05 a?6

解得 a ?

e0.05 ? 6 ? 20.50 ? 6 ? 123.0,123.0 ? (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分 20. (2009 宁夏海南卷文 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .
3 2 2 3

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 、 、 计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解:
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函数与导数典例分析

德胜教育

(Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.
令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ' ( x) 的变化情况:

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
由 | f ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x ? 6ax ? 9a ? 12a, 于是有
' 2 2

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] ? [? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ? ?12a得 ?
'

若 a>1,则 | f (a) |? 12a ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ( x) |? 12a 不恒成立.
' 2 ' ' 所以使 | f ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].

1 4 4 5

21.

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