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高一数学方程的根与函数的零点教案


方程的根与函数的零点教案
授课人:张宇

学习目标: (一)知识与技能: 1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零 点与方程的根的联系. 2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法. (二)过程与方法: 自主发现、探究实践,体会函数的零点与方程的根之间的联系. (三)情感、态度、价值观: 在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值. 重点难点: 重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函数零点的存在性. 教学过程 引入新课 问题 1 判断下列方程是否有根,有几个实数根?. (1) x ? 2 x ? 3 ? 0 ;
2

(2) x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

(3) x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

问题 2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图, 并写出函数图象与 x 轴交点的坐标 方 函 程 数

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

x 2 ? 2x ? 1 ? 0

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? x 2 ? 2x ? 1

y ? x 2 ? 2x ? 3

函 数 图 象 (简图)

方程的实数根 函数的图象与轴的交 点 问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 及相应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象

与 x 轴交点的关系,上述结论是否仍然成立? 判别式Δ

??0

??0

??0

y=ax2+bx+c
的图象

ax2+bx+c=0
的根 函数的图象与 x 轴的交点

新课教学 一、函数的零点: 1、零点定义

对于函数y ? f (x), 我们把使f (x) ? 0的实数x叫做函数y ? f (x)的零点.
2、等价关系:

函数y ? f ( x)的零点
方程f ( x) ? 0的实数根 函数y ? f ( x)图象与x轴交点的横坐标
例1 求函数的零点.

?1? f ( x) ? x ? 1 ? 3? f ( x ) ? 2 x ? 4
变式练习:

? 2 ? f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 4 ? f ( x) ? log 2 x ?1

若函数f ( x) ? x2 ? x ? a的一个零点是-3,求实数a的值,并求函数f ( x)其余的零点.
思考 1:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? (1)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

1 f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>) ○ . 在区间 (?2,1) 上有零点______; 2 f (2) ? _______, f (4) ? _______, f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>) ○ .

在区间 (2, 4) 上有零点______; 思考 2:函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在某种关系? 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

1 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; f ( a ) · f (b) _____0(<或>) ○ . 2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) ○ . 猜想: 若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立,那么函数在区间(a,b)上有零 点。 二、函数零点存在性定理: 如 果 函 数 y=f(x) 在 区 间 [a,b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f(a)·f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ,使得 f(c) =0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点 例 2、函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在下列哪个区间上有零点( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) )

变式练习 2:求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数 小结: 1、 一元二次方程的根及其相应二次函数的图象与 x 轴交点的关系; 2、 函数零点的概念; 3、 函数零点与方程的根的关系; 4、 函数零点存在性定理 作业布置

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