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正弦定理(二)


在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c ? ? sin A sin B sin C
变式:

a b b c c a ?1? ? ; ? ; ? sin A sin B sin B sin C sin C sin A

?2?sin A : sin B : sin C ? a : b : c

a b c (3) ? ? sin A sin B sin C a?b?c ? ? k ( k ? 0) sin A ? sin B ? sin C
或a ? k sin A,b ? k sin B,c ? k sin C (k ? 0) .

1.已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么角 A 等于( ) B.90° D.30°

A.135° C.45°

3 2· 2 asin B 2 解析: 由正弦定理得 sin A= b = =2, 3 又∵a<b,∴A<B. ∴A=45° ,故选 C.

? 答案: C

2.在△ABC 中,a=5,b=3,C=120° ,则 sin A∶sin B 的值是( 5 A. 3 3 C.7 ) 3 B. 5 5 D.7

解析: 在△ABC 中,C=120° ,故 A,B 都是锐角.据 sin A a 5 正弦定理sin B=b=3,故选 A.

? 答案: A

3.在△ABC 中,BC= 3,A=45° ,B=60° ,则 AC= ________.

解析:

AC BC 由正弦定理得: = sin B sin A

3×sin 60° 3 2 BCsin B ∴AC= = = sin A sin 45° 2

3 2 答案: 2

4.已知:△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° ,求 A、 C 及 c.

解析: 根据正弦定理,得 asin B 3sin 45° 3 sin A= b = =2, 2 ∵b<a,∴B<A,∴A=60° 或 120° . ①当 A=60° 时,C=180° -(60° +45° )=75° , 6+ 2 bsin C 2sin 75° ∴c= sin B = sin 45° =2sin(45° +30° )= 2 . ②当 A=120° 时,C=180° -(A+B)=15° ,

6- 2 bsin C 2sin 15° ∴c= sin B = sin 45° =2sin(45° -30° )= 2 , 6+ 2 ∴A=60° ,C=75° ,c= 2 , 6- 2 或 A=120° ,C=15° ,c= 2 .

a b c 例4 .在ΔAB C 中, 已知 ? ? , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 .
a ? k,由正弦定理,得 解: 令 sin A

a ? k sinA, b ? k sinB, c ? k sinC

代入已知条件,得: sinA ? sinB ? sinC cosA cosB cosC 即

tanA ? tanB? tanC
又A,B,C ?(0 ,π), ? A ? B ? C,
从而ΔABC为正三角 形。

? 3 .在△ ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、c,若b=acos C,试判断△ABC的形状. ? 解析: ∵b=acos C, ? 由正弦定理得:sin B=sin A·sin C. ? ∵B=π-(A+C), ? ∴sin(A+C)=sin A·cos C. ? 即sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C, ? ∴cos Asin C=0,

∵A、C∈(0,π), π ∴cos A=0,∴A=2, ∴△ABC 为直角三角形.

例3

在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且

sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A

=sin2B+sin2C转化为边的关系式,从而判断
△ABC的形状.

【解】 在△ABC 中, a b c 根据正弦定理: = = =2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A=sin B+sin C,∴( ) =( ) +( ) , 2R 2R 2R

即 a2=b2+c2.∴A=90° ,∴B+C=90° . 由 sin A=2sin Bcos C,得 sin 90° =2sin Bcos(90° -B), 1 2 ∴sin B= . 2 ∵B 是锐角, 2 ∴sin B= , 2 ∴B=45° ,C=45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形.

正弦定理的综合应用

1.在?ABC中,已知a 2 tan B ? b2 tan A, 试判断?ABC的形状.

1.在?ABC中,已知b ? 3, c ? 3 3, B ? 30 ,
' ?

试判断?ABC的形状.
'' 1. 已知方程x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0的两根

之积等于两根之和,且a, b为?ABC的边, A,B为a, b的对角, 试判断?ABC的形状.

1 .在?ABC中,a, b, c为边长,A,B,C为a, a b c b, c所对的角,若 ? ? , sin B sin C sin A 试判断?ABC的形状.
'''

2.在?ABC中, a ?b b ?c c ?a 求证: ? ? ? 0. cos A ? cos B cos B ? cos C cos C ? cos A
2 2 2 2 2 2

2.在?ABC中,求证:
'

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0.

3.在?ABC中,若A ? 120?,AB ? 5,BC ? 7, 求?ABC的面积S.
' 3. 一条直线上有三点A,B,C,点C在A,B

之间,点P是直线AB之外一点,设?APC ? ?, sin(? ? ? ) sin ? sin ? ?BPC ? ?,求证: ? ? . PC PB PA
P

??

A

C

B

3 .?ABC中,A ?
''

?
3

, BC ? 3, 则?ABC的周长为 B.4 3 sin( B ? ) ? 3 6 D.6sin( B ? ) ? 3 6

A.4 3 sin( B ? ) ? 3 3 C.6sin( B ? ) ? 3 3

?

?

?

?

4.在?ABC中,AD是?BAC的平分线, AB BD 用正弦定理证明: ? . AC DC
A

??
? ? ??

B

D

C

1.判断正误: (1)若? ? ?,则 sin ? ? sin ?;反之也成立. (2)在?ABC中,若A ? B,则 sin A ? sin B; 反之也成立.

3 5 2.在?ABC中,已知 sin A ? , cos B ? , 5 13 求 sin C.
5 12 解: ? cos B ? , B ? (0, ? ), sin B ? . 13 13 3 又 sin A ? ,? sin A ? sin B 5 a b 由正弦定理 ? 可知a ? b sin A sin B 4 ? A ? B,? A只能为锐角, ? cos A ? . 5 63 ? sin C ? sin( A ? B) ? . 65

4 12 变:在 ?ABC 中,已知 cos A ? , sin B ? , 求 sin C. 5 13 4 3 解: ? cos A ? , A ? (0, ? ) ? sin A ? 5 5 12 又 ? sin B ? ,? sin A ? sin B,? a ? b ? A ? B 13 5 ? B可以为锐角也可以为钝 角, ? cos B ? ? . 13 5 63 (1) cos B ? 时, sin C ? sin( A ? B ) ? . 13 65 5 33 (2) cos B ? ? 时, sin C ? sin( A ? B ) ? . 13 65 63 33 ? sin C ? 或 . 65 65

3.在?ABC中,设?A, ?B, ?C所对的边分别为 a, b, c,若b ? c ? 2a cos(60 ? C ),求?A.
o

略解:由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2 sin A(cos600 cosC ? sin 600 sin C ) ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ? sin A cosC ? 3 sin A cosC ? ( 3 sin A ? cos A) sin C ? sin C 1 ? sin C ? 0 ? 3 sin A ? cos A ? 1即sin( A ? 30 ) ? . 2 0 0 0 0 0 又 ? 30 ? A ? 30 ? 210 ? A ? 30 ? 150
0

? A ? 1200.

1 2 2 4.已知?ABC的面积S ? (b ? c ),试确定?ABC的形状. 4

1 2 1 2 解:S ? (b ? c ) ? bc sin A 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? 0, bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 ?b ? c ? ?? ? A ? 且b ? c 2 ?1 ? sin A ? 0 ? ?ABC为等腰直角三角形 .

实际问题

例1、如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处,测得烟囱的仰角分别是 ? ? 45?和

,CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 ? ? 60? 想一想

图中给出了怎样的一个 几何图形?已知什么, 求什么?

实例讲解 分析:如图,因为AB=AA1+A1B,又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 B

解: 在?BC1 D1中, ?C1 BD1 ? 60? ? 45? ? 15?,

由正弦定理可得: C1 D1 BC1 ? sin B sin D1

?
C1 C D1 D

?

A1
A

C1 D1 ? sin D1 12? sin 120? ? 18 2 ? 6 6 ? BC1 ? ? sin B sin 15?
2 ? A1B ? BC1 ? 18 ? 6 3 ? 28.4 2 ? AB ? A1B ? AA 1 ? 28.4 ? 1.5 ? 29.9(m)
答:烟囱的高为 29.9m.

例2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为 35 ,沿倾斜角为20 的斜坡前进1000米 后到达D处,又测得D处的仰角为65 , 求山的高度BC (精确到1m).
B D 65
35? 20?
?

?

?

?

B
65?

E
35 20?
?

D

E

A

C

A

C

某地出土一块玉佩(如图),其中一角破损, 现测得如下数据;BC ? 2.57cm, CD ? 1.89cm, BE ? 2.01cm, B ? 45? , C ? 120? , 为了复原, 计算原另两边的长.
A

E

D

E

D

B

C

B

C

解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实际问题中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量, 从而得到实际问题的解。 在这个过程中,贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际 问题出发,经过抽象概括,把它转化为具体问题中的数学模型, 然后通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解。

本节小结:

1.结构:正弦定理 ?

正弦定理的证明 正弦定理的应用 ? 解三角形

2.方法、技巧、规律
(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系, 是解三角形的重要工具;

(2)两类问题:一类已知两角和一边; 另一类是已知两边和一边的对角;
(3)注意正弦定理的变式;

(4)注意内角和为 180?的应用,以及角之间的转化.


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