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正余弦定理及解斜三角形


正余弦定理及解斜三角形
一.正弦定理: 在一个三角形中,各边和它的对边的正弦的比相等;且此比值为此三角形外接圆的直径。 即: a ? b ? c
sin A sin B sin C ? 2 R (R 为三角形 ABC 外接圆半径)

注:正弦定理变形:① 与外接圆关系 ② 边角转换 二.余弦定理:

a ? 2 R sin A、b ? 2 R sin B、c ? 2 R sin C

a:b:c ? sin A: sin B: sin C

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A、 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B、c2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos C
2 2 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 注:余弦定理变形(夹角公式) : cos A ? b ? c ? a 、 cos B ? 、 cos C ?

2bc

2ac

2ab

三.解斜三角形: 1.解斜三角形的四种类型:①已知两角及一边;②已知两边及夹角;③已知三边;④已知 两边及一边的对角. 前三类的解唯一,第四类需讨论 ,若 A 为锐角,当 bsinA<a<b 时有两 ...... 解,当 a≥b 时有一解;若 A 为钝角,有一解. 2.解斜三角形中常用关系式: (1)三角形内角和定理 (2)正弦定理 (3)余弦定理 (4)边角转换 ....

四.例题解析: 例 1.在△ABC 中,如果 a=18,b=24,A= 45? ,则此三角形解的情况为( ). A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定

1

例 2.在△ABC 中,a= A. 2
5

5 ,b= 15 ,A= 30? ,则

c 等于(

).

B.

5

C. 2

5或 5

D. 以上都不对

例 3.在△ABC 中,a∶b∶c=3∶5∶7,则此三角形的最大内角是( A. 150? B. 120? C. 90? D. 135?

).

例 4.(1) 在△ABC 中,若 B= 30? ,AB=2

3 ,AC=2,则△ABC

的面积是_____.

(2) △ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是_____.

2

例 5.在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC

例 6.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 形的形状.

2

,且 B 为锐角,判断此三角

例 7.已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边. ① 若△ABC 面积为
3 2

,c=2,A= 60? ,求 b,a 的值.

② 若 acosA=bcosB,试判断△ABC 的形状,证明你的结论.

3

例 8.如图所示,已知在梯形 ABCD 中 AB∥CD,CD=2, AC= 求梯形的高.

19 ,∠BAD= 60? ,
D C

A

E

B

例9.如图所示, 在△ABC中,若c=4, b=7,BC边上的中线AD= 7 , 求边长a.
2

4

典型题训练: 1.在△ABC 中,若 3 a=2bsinA,则 B 为( A. ?
3

) D. ? 或 5?
6 6

B. ?

6

C. ? 或 2?
3 3

2.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的( A.90° B.120° C.135°

) D.150° )

3.已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,那么 cosC 的值为( A.-
1 4

B.

1 4

C.-

2 3

D.

2 3

4. △ABC 中,∠A,∠B 的对边分别为 a,b,且∠A=60°, a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件 的△ABC( A.有一个解 ) B.有两个解 C.无解 D.不能确定 )

5.已知三角形的三边长分别为 x2+x+1,x2-1 和 2x+1(x>1),则最大角为( A.150° B.120° C.60° D.75°

6.关于 x 的方程 x 2 ? x ? cos A ? cos B ? cos 2 A.等腰三角形 B.直角三角形

C ? 0 有一个根为 1,则△ABC 一定是( 2



C.锐角三角形

D.钝角三角形 )

7. 在 200 米高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°, 则塔高为 ( A.
400 3

B.

400 3 米 3

C.200 3

D.200 米
( )

8.12.在 ?ABC 中,已知三边 a 、 b 、 c 满足 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab ,则 C =
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

9.在△ABC 中,若∠B=30°,AB=2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为___ 10.a、b、c 为△ABC 的三边,其面积 S△ABC=12 3 ,bc=48,b-c=2,求 a
5

___.

正余弦定理及解斜三角形

一.正弦定理: 在一个三角形中,各边和它的对边的正弦的比相等;且此比值为此三角形外接 圆的直径。即:
a b c ? ? ? 2 R (R sin A sin B sin C

为三角形 ABC 外接圆半径)
a ? 2 R sin A、b ? 2 R sin B、c ? 2 R sin C

注:正弦定理变形:① 与外接圆关系 ② 边角转换

a:b:c ? sin A: sin B: sin C

二.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的两倍.
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A、 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B、c2 ? b2 ? a2 ? 2ab cos C

注:余弦定理变形(夹角公式) : cos A ? b 三.解斜三角形:

2

? c2 ? a2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 、 cos B ? 、 cos C ? 2bc 2ac 2ab

1.解斜三角形的四种类型:①已知两角及一边;②已知两边及夹角;③已知三 边;④已知两边及一边的对角. 前三类的解唯一,第四类需讨论 ,若 A 为锐角, ...... 当 bsinA<a<b 时有两解,当 a≥b 时有一解;若 A 为钝角,有一解. 2.解斜三角形中常用关系式: (3)余弦定理 四.例题解析: 例 1. 在△ABC 中, 如果 a=18, b=24, A= 45? , 则此三角形解的情况为( B ). A. 一解 B. 两解 C. 无解 故 有两解 选 B D. 不确定 (4)边角转换 .... (1)三角形内角和定理 (2)正弦定理

解: 由 bsinA<a<b 例 2.在△ABC 中,a= A. 2
5

5 ,b= 15 ,A= 30? ,则

c 等于( C ).

B.

5

C. 2

5或 5

D. 以上都不对

解: 由 bsinA<a<b

故 有两解 选 C
6

例 3.在△ABC 中,a∶b∶c=3∶5∶7,则此三角形的最大内角是( B ). A. 150? B. 120? C. 90? D. 135?
2

解: 设 a=3k, b=5k, c=7k, 由余弦定理易求得 cosC=- 1 , 所以最大角 C 为 120? . 例 4.(1) 在△ABC 中,若 B= 30? ,AB=2
3 ,AC=2,则△ABC

的面积是_____.

(2) △ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是_____. 解:(1) sinC= 2
2

3 sin30? 3 = 2 2

,于是 C= 60? 或 120? ,故 A= 90? 或 30? ,
3或 3.
AB BC = sinC sin A
B A 1 2 C

由 S△ABC= 1 AB ? AC ? sin A 可得答案 2 (2)

如图所示,由已知得 BC=2AB,又
2 2

∴ sinC= 1 sin A ≤ 1

又∵ 0<C<A

∴ 0<C≤ π

6

例 5.在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC 证明:由正弦定理
?
a b = sin A sin B

知a

2

sin 2 B ? b 2 sin 2 A a b ? sin 2 B ? sin 2 A ab b a

sin A sin 2 B sin B ? sin 2 A ? ? 2(sin A ? cos B ? sin B ? cos A) ? 2sin( A ? B) ? 2sin C sin B sin A

故原式成立.

例 6.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 形的形状. 解:由 lga-lgc=lgsinB=-lg
a 2 = c 2
2

2

,且 B 为锐角,判断此三角
2 2

,得 sinB=
2 2



又 B 为锐角,∴ B= 45? ,又 ∴
2

得 sin A =
sinC



? -C), ∴ sinC=sinC+cosC, sinC=2sinA=2sin( 135

∴ cosC=0 即 C= 90? , 故此三角形是等腰直角三角形. 例 7. 已知 a, b, c 分别是△ABC 三个内角 A, B, C 的对边.① 若△ABC 面积为 c=2,A= 60? ,求 b,a 的值. 证明你的结论.解:① 由已知得
3 2



② 若 acosA=bcosB,试判断△ABC 的形状,
3 1 = bc sin A=b sin60? ,∴ b=1. 2 2
3.

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA=3,∴ a=

7

② 由正弦定理得:2RsinA=a,2RsinB=b, 2RsinAcosA=2RsinBcosB 即 sin2A=sin2B, 由已知 A,B 为三角形内角,∴ A+B= 90? 或 A=B, ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 例 8.如图所示,已知在梯形 ABCD 中 AB∥CD,CD=2, AC= 求梯形的高. 解:作DE⊥AB于E, 则DE就是梯形的高. ∵ ∠BAD= 60? , ∴ 在Rt△AED中,有DE=AD sin 60 ? = AD?
3 2
A E B

19 ,∠BAD= 60? ,
D C

,即 DE=

3 2

AD. ①

下面求AD(关键): ∵ AB∥CD,∠BAD= 60? , ∴ 在△ACD中,∠ADC = 120? , 又∵ CD=2, AC= 即
19 ,∴

AC2=AD2 ? CD 2 ? 2 AD ? CD cos ?ADC,

( 19)2=AD2 ?22 ?2 AD? 2 cos120?

解得AD=3,(AD=-5,舍). 将AD=3代入①, 梯形的高 DE=
3 3 3 3 AD= ? 3= . 2 2 2
2

例9.如图所示, 在△ABC中,若c=4, b=7,BC边上的中线AD= 7 , 求边长a. 解:∵ AD是BC边上的中线,∴ 可设CD=DB=x.
?7? 7 ? x ?? ? ?2? . ∵ c=4, b=7, AD= 7 , ∴ 在△ACD中,有 cos C ? 2 2? 7? x
2 2 2

?7? 72 ? x 2 ? ? ? 2 2 2 72 ? (2 x)2 ? 42 ? 2 ? ? 7 ? (2 x) ? 4 , .∴ 在△ACB中,有 cos C ? 2 ? 7 ? 2x 2? 7? x 2 ? 7 ? 2x

2

∴ x= 9 , ∴ a=2x=9.
2

8


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