3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析 (1)


专注与坚持是成功的秘决

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(I 卷)
本试题卷共 5 页,24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
2 (1)设集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x 2x ? 3 ? 0} ,则 A I B ?

(A) ( ?3,? )

3 2

(B) ( ?3, )

3 2

(C) (1, )

3 2

(D) ( ,3)
3? ? 3 ? ? .故 A I B ? ? x ? x ? 3? . 2? ? 2 ?

3 2

? 【解析】 : A ? x x2 ? 4x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ?

?

?

故选 D. (2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x , y 是实数,则 x ? yi ? (A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 2

?x ? 1 ?x ? 1 【解析】 :由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? .所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 . y ? 1 x ? y ? ?

故选 B. (3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27 , a10 ? 8 ,则 a100 ? (A) 100 (B) 99
2

(C) 98
9 ? a1 ? a9 ? ?

(D) 97

【解析】 :由等差数列性质可知: S9 ?

9 ? 2a5 ? 9a5 ? 27 ,故 a5 ? 3 ,而 a10 ? 8 ,因此公差 2

d?

a10 ? a5 ? 1 ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 .故选 C. 10 ? 5

(4)某公司的班车在 7 : 30 , 8 : 00 , 8 : 30 发车,小明在 7 : 50 至 8 : 30 之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车丫的时候是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

( B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

【解析】 :如图所示,画出时间轴:

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他 等车的时间不超过 10 分钟,根据几何概型,所求概率 P ? (5)已知方程

10 ? 10 1 ? .故选 B. 40 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4 ,则 n 的 m 2 ? n 3m 2 ? n
(B) (?1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3 )

取值范围是 (A) (?1,3) 【解析】 :

x2 y2 2 2 2 2 ? ? 1 表示双曲线,则 m ? n 3m ? n ? 0 ∴ ?m ? n ? 3m , m2 ? n 3m2 ? n

?

??

?

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 1 页

专注与坚持是成功的秘决

由双曲线性质知: 其中 c 是半焦距, ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 , 解得 m ? 1 c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 , ∴ ?1 ? n ? 3 ,故选 A. (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 表面积是 (A) 17? (B) 18? (C) 20? (D) 28?

?

? ?

?

28? ,则它的 3

1 【解析】 :原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8
7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8 7 1 故选 A. S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17?, 8 4
(7)函数 y ? 2x 2 ? e 在 [?2,2] 的图像大致为
y y
x

(A)
?2

1

(B)
2 x ?2

1

O

O

2 x

y

y

1

1

(C)

?2

O

2 x

(D)

?2

O

2 x

【解析】 : f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A; f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B;
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x



1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0 4 ? 4?

? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C;故选 D. ? 4?

(8)若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则 (A) a ? b
c c

(B) ab ? ba
c

c

(C) a logb c ? b loga c

(D) loga c ? logb c

【解析】 : 由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? x c 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,A 错误; 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减,∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? ba c ? abc ,B 错误; 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较

ln c a ln c b ln c ln c 和 ,只需比较 和 ,只需 b ln b 和 a ln a , ln a b ln b a ln a ln b

构造函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? ,则 f ' ? x ? ? ln x ? 1 ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 2 页

专注与坚持是成功的秘决

f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ?


1 1 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 , ? a ln a b ln b ,

ln c ln c ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确; a ln a b ln b

要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? 故选 C.

ln c ln c 和 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, ln a ln b ,
a

n l c n l c 1 1 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 , ∴ ? ?o lg ? ln a ln b , n l a n l b

co l ? g

b

D 错误; c,
开始

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 , 则输出 x , y 的值满足 (A) y ? 2 x (C) y ? 4 x (B) y ? 3x (D) y ? 5 x
2 2

输入x, y, n
n ? n ?1

x ? x?

n ?1 , y ? ny 2

【解析】 :第一次循环: x ? 0, y ? 1, x ? y ? 1 ? 36 ; 第二次循环: x ? 第三次循环: x ? 输出 x ?



x 2 ? y 2 ? 36?


1 17 , y ? 2, x 2 ? y 2 ? ? 36 ; 2 4 3 , y ? 6, x 2 ? y 2 ? 36 ; 2

输出x, y
结束

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x ;故选 C. 2

( 10 ) 以 抛 物 线 C 的 顶 点 为 圆 心 的 圆 交 C 于 A, B 两 点 , 交 C 的 准 线 于 D, E 两 点 , 已 知

AB ? 4 2 , DE ? 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【解析】 :以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,如图:

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? ,点 A x0 , 2 2 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, ? 2 ?

?

?

?

?

? p ? ∴ 8 ? 2 px0 ……①;点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上, ? 2 ?
? p? F2 ……②;点 A x , 2 2 在圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上, ∴5?? ? ? r 0 ?2?
2 ? 8 ? r 2 ……③;联立①②③解得: p ? 4 , ∴ x0
2

?

?

焦点到准线的距离为 p ? 4 .故选 B. (11)平面 ? 过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A , ? // 平面 CB1 D1 ,

? I 平面 ABCD
(A)

? m , ? ? 平面 ABB1 A1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为
(B)

3 2

3 2 ( C) 3 2

(D)

1 3

【解析】 :如图所示:
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 3 页

专注与坚持是成功的秘决

D α A B

C

D1 A1 B1

C1

∵ ?∥平面CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 ,则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m ,同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1B1 ? 故选 A. (12)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

?
2

),x ? ?

?
4

为 f ( x) 的零点, x ?

?
4



y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 (
(A)11 【解析】 :由题意知: (B)9

, ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36
(D)5

? 5?

(C)7

? π ? ? +? ? k1 π ? 5? ? π T ? 4 ? π 5π ? 则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z ,? f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 ? 36 18 12 2 ? 18 36 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2
π? π ? π 3π ? ? 3π 5 π ? ? 接下来用排除法:若 ? ? 11,? ? ? ,此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递 4? 4 ? 18 44 ? ? 44 36 ? ?

π? π ? π 5π ? ? ? π 5π ? 减,不满足 f ( x) 在 ? , ? 单调;若 ? ? 9,? ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单 4? 4 ? 18 36 ? ? 18 36 ? ?
调递减。故选 B. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a ? ( m,1) ,b ? (1,2) ,且 | a ? b | ? | a | ? | b | ,则 m ?
2 2 2



r r2 r2 r2 r r 2 【解析】 :由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3? ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 . ,
(14) (2 x ?

x ) 5 的展开式中, x 3 的系数是

. (用数字填写答案) ,
k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

【解析】 :设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
4

? x?

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2



当5?

5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ,故答案为 10. ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 4 页

专注与坚持是成功的秘决

(15)设等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 10 , a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 L an 的最大值为 【解析】 :由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.



?a1 ? 8 ? ?3? ? ? ?2? ?...? ? n ? 4? 2 n?4 ?a1 ? a3 ? 10 ? ?1? ?a1 ? a1q ? 10 ? ?1? ∴? ,解得: ? ?? 1 .故 an ? ? ? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? 3 q? ?2? ?2? ? ?a2 ? a4 ? 5 ? ?a1q ? a1q ? 5 ? 2
?1? ?? ? ?2?
1 n? n ? 7 ? 2

?1? ?? ? ?2?

2 1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 2 4? ? ? ? ?

?? n ? ? 2 ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? ?? 2 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ? ,

1 ??

7?

2

?

49 ? ? 4? ?



到最大值 2 6 .所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64. (16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超 过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 性规则约束为
?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? 目标函数 z ? 2100 x ? 900 y ; ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

元.

【解析】 :设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线

作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为
(60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, ,

z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2 cosC (a cos B ? b cos A) ? c .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ?

7 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2
, 由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

【解析】 :⑴ 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∴ 2cos C ? 1 , cos C ?

∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 , ,

1 π ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴ C ? , 2, 3

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C , 7 ? a 2 ? b2 ? 2ab ?

1 2 ? a ? b? ? 3ab ? 7 2,

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 5 页

专注与坚持是成功的秘决

S?

1 3 3 3 2 ab ? sin C ? ab ? ∴ ab ? 6 ,∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7 a ? b ? 5 , 2 4 2 ,

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 (18) (本小题满分 12 分) 如图,在以 A, B, C , D, E, F 为顶点的五面体中,面

ABEF 为正方形, AF ? 2FD, ?AFD ? 90? ,且二面
角 D ? AF ? E 与二面角 C ? BE ? F 都是 60 ? . (Ⅰ)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

C
D
E

B
A

【解析】 :⑴ ∵ ABEF 为正方形,∴ AF ? EF ,∵ ?AFD ? 90? ,∴ AF ? DF ,∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC , AF ? 面 ABEF ,∴平面 ABEF ? 平面 EFDC ⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60? , ∵ AB ∥EF , AB ? 平面 EFDC , EF ? 平面 EFDC ∴ AB ∥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ∵面 ABCD I 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ,∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形
? 以 E 为 原 点 , 如 图 建 立 坐 标 系 , 设 F D a ,

F

E ?0 , 0, 0?

?a 3 ? B ?0 , 2a , 0? C ? 0, a? ,A ? 2a ,2a , 0? ?2, 2 ? ? ?

uuu r ?a uur uu u r ?? 3 ? BEC 法 向 量 为 m ? ? x, y, z , ? 2 a , a , 设 面 EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? AB ? ? 2 a , 0 , 0 ? ? ?, ? ?2 , 2 ? ? ?
u r uur ?2a ? y1 ? 0 ? u r ? m ? EB ? 0 ? m ,即 ? a x ? 3 , y ? 0 , z ? ? 1 r uuu r ?u 1 1 1 3 , ? a ? z1 ? 0 ? ? ? x1 ? 2ay1 ? ? m ? BC ? 0 ?2 2 ,

?

3 ,0 ,? 1

?

r 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

r uuu r ?a 3 ? az2 ? 0 ? n ? BC =0 ? x2 ? 2ay2 ? . 即 r uuu r ?2 2 , ?n ? ?2ax ? 0 ? ? AB ? 0 ? 2

r 设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4 , n ? 0 , 3 ,4 , u r r 2 19 m?n ?4 2 19 cos ? ? u ?? ∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ? r r ? 19 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n ,

?

?

(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可 以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 6 页

专注与坚持是成功的秘决

易损零件数,得下面柱状图:
频数
40

20

0

8

9

10

11

更换的易损零件数

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅲ) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应选用哪个? 【解析】 :⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ? i ? 1, 2,3, 4 ? 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17,18,19,20, 21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ?0.2 ? 0.4 ? 0.24 P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2
P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08

P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

X
P
则 n 的最小值为 19;

16
0.04

17
0.16

18
0.24

19
0.24

20
0.2

21
0.08

22
0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 ⑶ 购买零件所需费用含两部分, 一部分为购买机器时购买零件的费用, 另一部分为备件不足时额外购 买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 7 页

专注与坚持是成功的秘决

所以应选用 n ? 19 (20) (本小题满分 12 分) 设圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 15 ? 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C , D 两点, 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (Ⅰ)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (Ⅱ) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 , 直线 l 交 C1 于 M , N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两 点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 【解析】 :⑴ 圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图,
2
5

y

4

3

2

Q BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,
?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED ,? AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4 ?| AB |
14 12 10 8

C
x

1

A
6 4 2

B
1

2

4

x2 y 2 根据椭圆定义为一个椭圆,方程为 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

E

2

y
5

⑵ C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 ,因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? , 4 3

3

D P
4

4

| MN |? 1 ? m2 | yM ? yN |? 1 ? m2 联立 l与椭圆C1 :
? x ? my ? 1 ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

36m ? 36 ? 3m ? 4 ?
2 2

3

3m ? 4
2
12

?

12 ? m ? 1?
2

2

3m ? 4
2

1

N
x

A
10 8 6 4 2

B
1

2

4

?3m

2

? 4? y2 ? 6my ? 9 ? 0
| ?m ? ?1 ? 1? | 1 ? m2





M

Q
2 3

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

?

| 2m | 1 ? m2



4

所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 2 1? m 1 ? m2

? S MPNQ ?

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m 2 ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ? 1) 有两个零点.
x 2

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【解析】 :⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x ? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 ,不合题意; ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 即:
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 8 页

专注与坚持是成功的秘决

x

? ??,1?
?

1
0

?1, ?? ?
?

f '? x?

f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点 由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
2 2 2

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?

?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 , t2 ? ? 1 , t1 ? t2 ,因为 a ? 0 ,故当 2a 2a
2

x ? t1 或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0
因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0 又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当 ln ? ?2a ? ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 单调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即:
x
ln ? ?2 a ?

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

?

?

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ?

?

?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?


1
0 极小值

?1, ?? ?
+ ↑

f '? x?

f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0
2 2

?

?

故当 x≤1 时, f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处取到最大值 f ? ?ln ? ?2a ?? ? ,那么 f ? x?≤f ? ?ln ? ?2a?? ? ? 0 恒成 立,即 f ? x ? ? 0 无解 而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 9 页

专注与坚持是成功的秘决

当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增

又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题意.

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增

当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减
ln ? ?2 a ?

当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
即:
x

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x?
f ? x?

故当 x≤ln ? ? 2a ? 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 f ?1? ? ?e ,那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒成立,即

f ? x ? ? 0 无解
当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 , 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题 意. 综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . ⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ?
2

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

g ? x? ?
,

? x ? 2? ex ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1?

g '? x? ?

? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递 e ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? x ? 1?

增. 设 m ? 0 ,构造代数式:
g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ?

设 h ? m? ?

m ? 1 2m 2m 2 e ? 1 , m ? 0 , 则 h '? m? ? e2 m ? 0 , 故 h ? m ? 单 调 递 增 , 有 2 m ?1 ? m ? 1?

h ? m? ? h ? 0? ? 0 .
因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可 知 x1 、 x 2 不 可 能 在 g ? x ? 的 同 一 个 单 调 区 间 上 , 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 必 有

x1 ? 1 ? x2
令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? 而 2 ? x1 ? 1 , x2 ? 1 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此: g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 10 页

专注与坚持是成功的秘决

整理得: x1 ? x2 ? 2 . 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 ? .以 O 为圆心,
D

C
O

1 OA 为半径作圆. 2
(Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙ O 相切; 【解析】 :⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K
?AOB ? 120? ∴ OK ? AB , ∵ OA ? OB , ?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ? ,
A

B

(Ⅱ)点 C , D 在⊙ O 上,且 A, B, C , D 四点共圆,证明: AB // CD .

OA ?r 2

∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一: 假设 CD 与 AB 不平行, CD 与 AB 交于 F , FK 2 ? FC ? FD ① ∵ A 、B 、C 、D 四点共圆,∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK ,∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK 2 ? AK 2 ② 由①②可知矛盾,∴ AB ∥ CD

方法二: 因为 A, B, C, D四点共圆,不妨设圆心为 T ,因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的中垂线上,同 理 OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为CD 的中垂线,所以 AB∥CD . (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0) .在以坐标原点为 ? y ? 1 ? a sin t ,

极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 , 若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在 C3 上, 求a.
? x ? a cos t 2 【解析】 :⑴ ? ( t 均为参数),∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ? y ? 1 ? a sin t



1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 11 页

专注与坚持是成功的秘决

∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ,∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0

即为 C1 的极坐标方程

⑵ C2 :? ? 4cos? ,两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x

? x2 ? y 2 ? 4x ,即 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ②, C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
2

由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ,①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a 2 ? 0 ,∴ a ? 1 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集.
1 O

y

1

x

【解析】 :⑴ 如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2

f ? x? ? 1

,

,

① x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 ,∴ x ≤ ?1 ② ?1 ? x ?

3 1 3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 2 3, 2 3

3 3 ③ x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 ,∴ ≤ x ? 3 或 x ? 5 2 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3
1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? U ?1 ,3? U ? 5 ,? ? ? 3? ?

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 12 页


推荐相关:

2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析

x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 I 卷逐题解析 第 2 页 整理: 佛山市南海区南海中学 f ? a ? ? f ...


2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析

2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。整理...x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,因此 2016 年普通高等学校招生全国统一考试...


2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版

2016年高考全国I卷(理科数学word版)答案解析版_高考_高中教育_教育专区。2016...理科数学详细解析注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两...


2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析 (1)

2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析 (1)_数学_高中教育_教育专区。专注与坚持是成功的秘决 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(I 卷) 本试题卷...


2016年高考全国卷(一)理科数学试题及答案

2016年高考全国卷(一)理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。2016年高考...( ,3) ( ?3, ) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 (A)(2)设 (1 ? i)...


2016年高考全国卷I卷(理科数学word版)答案解析版

2016年高考全国I卷(理科数学word版)答案解析版_数学_高中教育_教育专区。2016...理科数学详细解析注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两...


2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I

2016年全国高考文科数学试题解析全国卷I_高考_高中教育_教育专区。绝密★ 启封...[ ?1, ? ] 1 3 第 II 卷二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,20 ...


2016年高考全国I卷理科数学真题及解释word版

2016年高考全国I卷理科数学真题及解释word版_数学_高中教育_教育专区。2016年...n 3m 2 ? n 取值范围是 (A) (?1,3) 【解析】 :(B) (?1, 3) (...


2016高考理科数学全国卷I试题及答案

2016高考理科数学全国卷I试题答案_数学_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用...二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)设向量 a=(m,1),b=...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com