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高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解
一、选择题 1.对任意 x∈R,|2-x|+|3+x|≥a2-4a 恒成立,则 a 的取值范围是( A.-1≤a≤5 B.-1<a≤5 C.-1≤a<5 D.-1<a<5 [答案] A [解析] 因为|2-x|+|3+x|≥5,要使|2-x|+|3+x|≥a2-4a 恒成立,即 5≥a2-4a,解 得-1≤a≤5. 1 3 2.(2010· 山师大附中模考)已知 a>0,b>0 且 + =1,则 a+2b 的最小值为( a b A.7+2 6 B.2 3 C.7+2 3 D.14 [答案] A 1 3 2b 3a 6 [解析] a+2b=(a+2b)?a+b?=7+ + ≥7+2 6,等号在 b= a 时成立. ? ? a b 2 1 1 1 a b 3.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 [答案] B 1 [解析] ∵0<a< ,∴ab<1,a>0,b>0, b 1-a 1-b ∴M-N= + 1+a 1+b = (1-a)(1+b)+(1+a)(1-b) 2(1-ab) = >0, (1+a)(1+b) (1+a)(1+b) ) ) )

∴M>N. 4.下列结论: ①(1+x)n>1+nx(x∈R,n∈N*)

含详解答案

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②(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈R) ③(1+x)n>1+nx(x>-1,0<n<1) ④(1+x)n≤1+nx(x>-1,0<n<1) ⑤(1+x)n≥1+nx(x>-1,n<0) 其中正确的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [答案] B [解析] 根据贝努利不等式可知,(1+x)n>1+nx 的条件为 x>-1(n∈N*,n>1); (1+x)n≥1+nx 的条件为 x>-1,n>1 或 n<0; (1+x)n≤1+nx 的条件为 x>-1,0<n<1. 故④⑤正确, ①②③都错. 5.f(x)=2 x+3 1-x的最大值为( A.5 12 13 B. 13 C. 13 5 2 D. 2 [答案] C [解析] (2 x+3 1-x)2≤(22+32)[( x)2+( 1-x)2]=13, ∴2 x+3 1-x≤ 13,等号在 4 即 x= 时成立. 13 6.(2010· 江苏泰州)若对任意 x∈A,y∈B,(A?R,B?R)有唯一确定的 f(x,y)与之对 应,则称 f(x,y)为关于 x,y 的二元函数.满足下列性质的二元函数 f(x,y)称为关于实数 x, y 的广义“距离”: (1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当 x=y 时取等号; (2)对称性:f(x,y)=f(y,x); (3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数:①f(x,y)=|x-y|;②f(x,y)=(x-y)2;③f(x,y)= x-y. 其中能够成为关于 x,y 的广义“距离”的二元函数的序号是( ) 1-x x = , 2 3 ) )

含详解答案

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A.① B.①② C.②③ D.①②③ [答案] A [解析] 对函数 f(x,y)=|x-y|,∵f(x,y)≥0,当且仅当 x=y 时取等号,满足非负性; f(y,x)=|y-x|=|x-y|=f(x,y),满足对称性; 由|a+b|≤|a|+|b|得|x-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|z-y|对任意的实数 z 均成立. 即 f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y),满足三角形不等式.故①满足广义“距离”. 对函数 f(x,y)=(x-y)2,显然满足非负性和对称性. ∵当 z=0 时,f(x,y)-[f(x,0)+f(0,y)]=-2xy,显然不恒小于等于零,故不满足三角 形不等式,故②不满足广义“距离”. 对函数 f(x,y)= x-y,显然不满足对称性.故③不满足广义“距离”.故选 A. 7.已知 x、y、z∈R+,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是( A.1 1 B. 3 1 C. 2 D.3 [答案] B 1 [解析] x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)× 3 1 1 ≥(1×x+1×y+1×z)2× = . 3 3 a b c d 8.已知 a、b、c、d∈R+且 S= + + + ,则下列判断中 a+b+c b+c+d c+d+a a+b+d 正确的是( ) )

A.0<S<1 B.1<S<2 C.2<S<3 D.3<S<4 [答案] B [解析] a a a < < ; a+b+c+d a+b+c a+c

b b b < < ; a+b+c+d b+c+d d+b
含详解答案

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c c c < < ; a+b+c+d c+d+a c+a c d d < < . a+b+c+d d+a+b d+b 以上四个不等式相加得,1<S<2. 二、填空题 1 9.(2010· 陕西宝鸡)若不等式|x+ |≥|a-2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最 x 大值是________. [答案] 3 1 1 1 [解析] 令 f(x)=|x+ |,∵f(x)=|x+ |=|x|+| |≥2,∴|a-2|+1≤2,解得 1≤a≤3,故 x x x a 的最大值是 3. 10.已知关于 x 的不等式 2x+ ________. [答案] 3 2 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a

2 2 [解析] 2x+ =2(x-a)+ +2a x-a x-a ≥2 2 3 2(x-a)× +2a=2a+4≥7,∴a≥ . 2 x-a

3 故 a 的最小值为 . 2 11.(2010· 南京调研)设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,则不等式 f(x)>3 的解集为________. [答案] (-∞,0)∪(3,+∞) [解析] 当 x<1 时,有 f(x)=1-x+2-x=3-2x. 由 f(x)>3 得 3-2x>3,解得 x<0; 当 1≤x≤2 时,有 f(x)=x-1+2-x=1. 此时,不等式 f(x)>3 无解; 当 x>2 时,有 f(x)=x-1+x-2=2x-3. 由 f(x)>3 得 2x-3>3,解得 x>3. 故不等式 f(x)>3 的解集为(-∞,0)∪(3,+∞). [点评] 可画出数轴如图,∵|AB|=1,∴|PB|>1,|QA|>1,故由图可得 x>3 或 x<0. b+c x2 y2 12.(2010· 江苏无锡市调研)已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距,则 的取值范 a b a 围是________. [答案] (1, 2]
含详解答案

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b+c?2 b2+c2+2bc [解析] ? a2 ? a ?= = b2+c2+2bc 2bc =1+ 2 2, b2+c2 b +c b+c?2 ? a ? ≤2,

∵b,c>0,∴1<? b+c ∴1< ≤ 2 a

13.(2010· 福建南平一中)若函数 f(x)=2|x 是________. 1 [答案] [- ,5] 2 [解析] 依题意知,2|x
+7|-|3x-4|

+7|-|3x-4|

的最小值为 2,则自变量 x 的取值范围

≥2,

∴|x+7|-|3x-4|≥1, 4 当 x> 时,不等式化为 x+7-(3x-4)≥1. 3 4 解得 x≤5,即 <x≤5; 3 4 当-7≤x≤ 时,不等式化为 x+7+(3x-4)≥1, 3 1 1 4 解得 x≥- ,即- ≤x≤ ; 2 2 3 当 x<-7 时,不等式化为-x-7+(3x-4)≥1, 解得 x≥6,与 x<-7 矛盾. 1 ∴自变量 x 的取值范围为- ≤x≤5. 2 π 14.(2010· 重庆中学)抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 的直线 4 l 与线段 OA 相交(l 不过点 O 和点 A)且交抛物线于 M、N 两点,则△AMN 的最大面积为 ________. [答案] 8 2 [解析] 设直线 l 与 x 轴交于点 B(t,0),则由题意知 0<t<5,直线 l:y=x-t,代入 y2= 4x 中消去 x 得,y2-4y-4t=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=4,y1y2=-4t, ∴|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2=4 1+t,

含详解答案

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1 ∴S△AMN= |AB|· 1-y2| |y 2 =2 1+t· (5-t)=2 (1+t)(5-t)2 =2 ≤2 (2+2t)(5-t)(5-t) 2 1?(2+2t)+(5-t)+(5-t)?3 2? 3 ? =8 2.

等号在 t=1 时成立. 三、解答题 15.(2010· 福建理)已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. [解析] 解法一: (1)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},
? ?a-3=-1, 所以? 解得 a=2. ?a+3=5, ?

(2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5),于是

?-2x-1,x<-3; ? g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2; ?2x+1,x>2. ?
所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5;当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞, 5]. 解法二: (1)同解法一.
含详解答案

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(2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立)得, g(x)的最小值 为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞, 5]. 1 2 3 16.(2010· 福建龙岩市质检)已知 a,b,c∈(0,+∞),且 + + =2,求 a+2b+3c 的 a b c 最小值及取得最小值时 a,b,c 的值. 1 2 3 [解析] ?a+b+c?(a+2b+3c)=? ? ? ? ≥? 1?2 ? + a? ? 2?2 ? + b? ? 3?2 [( a)2+( 2b)2+( 3c)2] c?

?

1 · a+ a

2 · 2b+ b

3 ?2 · 3c =36. c ?

1 2 3 又 + + =2,∴a+2b+3c≥18, a b c 1 2 3 a b c = = , a 2b 3c

当且仅当

即 a=b=c=3 时等号成立. ∴当 a=b=c=3 时,a+2b+3c 取得最小值 18. (a+b+c)2 17.(2010· 苏北四市模考)已知函数 f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+ (a,b,c 3 为实数)的最小值为 m,若 a-b+2c=3,求 m 的最小值. (a+b+c)2 [解析] ∵f(x)=(x-a) +(x-b) +(x-c) + 3
2 2 2

(a+b+c)2 =3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+ 3 a+b+c?2 =3?x- +a2+b2+c2, 3 ? ? a+b+c ∴x= 时,f(x)取最小值 a2+b2+c2, 3 即 m=a2+b2+c2. ∵a-b+2c=3,由柯西不等式得 [12+(-1)2+22]· 2+b2+c2) (a ≥(a-b+2c)2=9, 9 3 ∴m=a2+b2+c2≥ = , 6 2 a b c 当且仅当 = = , 1 -1 2
含详解答案

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3 3 3 即 a= ,b=- ,c= 时等号成立, 4 4 2 3 所以 m 的最小值为 . 2

含详解答案


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