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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修一) 第二章基本初等函数 2.2.2(二) 课时作业]


2.2.2
课时目标

对数函数及其性质(二)

1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用.

1.函数 y=logax 的图象如图所示,则实数 a 的可能取值是( ) 1 A.5 B. 5 1 1 C. D. e 2 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) 2 2 A.y= x 和 y=( x) B.|y|=|x|和 y3=x3 C.y=logax2 和 y=2logax D.y=x 和 y=logaax 3.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f( log 1 x )的定义域是(
2

)

1 A.[ ,1] B.[4,16] 2 1 1 C .[ , ] D.[2,4] 16 4 x 4.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 5.函数 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则 f(2)=________. 6.函数 y=loga(x-2)+1(a>0 且 a≠1)恒过定点____________.

一、选择题 1.设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( ) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 2.已知函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定义域为( ) 1 A.[-1,1] B.[ ,2] 2 C.[1,2] D.[ 2,4] 3.函数 f(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1)且 f(8)=3,则有( ) A.f(2)>f(-2) B.f(1)>f(2) C.f(-3)>f(-2) D.f(-3)>f(-4) 4.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a 的值为( 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2

)

1-x 5.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x A.b B.-b 1 1 C. D.- b b x 6.函数 y=3 (-1≤x<0)的反函数是( ) A.y= log 1 x (x>0)
3

)

B.y=log3x(x>0) 1 C.y=log3x( ≤x<1) 3 1 D.y= log 1 x ( ≤x<1) 3
3

题 答

号 案

1

2

3

4

5

6

二、填空题 7.函数 f(x)=lg(2x-b),若 x≥1 时,f(x)≥0 恒成立,则 b 应满足的条件是________. 8.函数 y=logax 当 x>2 时恒有|y|>1,则 a 的取值范围是______________. 9.若 loga2<2,则实数 a 的取值范围是______________. 三、解答题 10.已知 f(x)=loga(3-ax)在 x∈[0,2]上单调递减,求 a 的取值范围.

11.已知函数 f(x)= log 1

1 ? ax 的图象关于原点对称,其中 a 为常数. 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)+ log 1 ( x ? 1) <m 恒成立.求实数 m 的取值范围.
2

能力提升 2 2 12.设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(x1x2?x2 010)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 010)的值 等于( ) A.4 B.8 C.16 D.2log48 13.已知 logm4<logn4,比较 m 与 n 的大小.

1.在对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)中,底数 a 对其图象的影响 无论 a 取何值,对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制, 函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着 a 的逐渐增大,y=logax(a>1,且 a≠1)的图 象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当 0<a<1 时函数单调递减,当 a>1 时函 数单调递增. 2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函 数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由 “底”的范围决定,若“底”的范围不明 确,则需分“底数大于 1”和“底数大于 0 且小于 1”两种情况讨论;二看真数,底数不 同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较 大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等) 来比较.

2.2.2

对数函数及其性质(二)

双基演练 1.A 2.D [y=logaax=xlogaa=x,即 y=x,两函数的定义域、值域都相同.] 1 1 3.C [由题意得:2≤ log 1 x ≤4,所以( )2≥x≥( )4, 2 2
2

1 1 ≤x≤ .] 16 4 4.A [∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.] 5.2 解析 由已知得 loga(b-1)=0 且 logab=1, ∴a=b=2.从而 f(2)=log2(2+2)=2. 6.(3,1) 解析 若 x-2=1,则不论 a 为何值,只要 a>0 且 a≠1,都有 y=1. 作业设计 1.D [因为 0<log53<log54<1,1<log45, 所以 b<a<c.] 2.D [∵-1≤x≤1, 1 - ∴2 1≤2x≤2,即 ≤2x≤2. 2 1 ∴y=f(x)的定义域为[ ,2] 2 1 即 ≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4.] 2 3.C [∵loga8=3,解得 a=2,因为函数 f(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1)为偶函数,且在(0,+ ∞)为增函数,在(-∞,0)上为减函数,由-3<-2,所以 f(-3)>f(-2).] 4.B [函数 f(x)=ax+loga(x+1),令 y1=ax,y2=loga(x+1),显然在[0,1]上,y1=ax 与 y2 =loga(x+1)同增或同减.因而[f(x)]max+[f(x)]min=f(1)+f(0)=a+loga2+1+0=a,解得 a 1 = .] 2 1+x 1-x -1 1-x 5.B [f(-x)=lg =lg( ) =-lg 1-x 1+x 1+x =-f(x),则 f(x)为奇函数, 故 f(-a)=-f(a)=-b.] 1 6.C [由 y=3x(-1≤x<0)得反函数是 y=log3x( ≤x<1), 3 故选 C.] 7.b≤1 解析 由题意,x≥1 时,2x-b≥1. 又 2x≥2,∴b≤1. 1 8.[ ,1)∪(1,2] 2 解析 ∵|y|>1,即 y>1 或 y<-1, ∴logax>1 或 logax<-1, 1 变形为 logax>logaa 或 logax<loga a 即

当 x=2 时,令|y|=1, 则有 loga2=1 或 loga2=-1, 1 ∴a=2 或 a= . 2 要使 x>2 时,|y|>1. 1 如图所示,a 的取值范围为 1<a≤2 或 ≤a<1. 2

9.(0,1)∪( 2,+∞) 解析 loga2<2=logaa2.若 0<a<1,由于 y=logax 是减函数,则 0<a2<2,得 0<a< 2,所以 0<a<1; 若 a>1,由于 y=logax 是增函数, 则 a2>2,得 a> 2.综上得 0<a<1 或 a> 2. 10.解 由 a>0 可知 u=3-ax 为减函数,依题意则有 a>1. 又 u=3-ax 在[0,2]上应满足 u>0, 3 故 3-2a>0,即 a< . 2 3 综上可得,a 的取值范围是 1<a< . 2 11.解 (1)∵函数 f(x)的图象关于原点对称, ∴函数 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 1+ax 1-ax x-1 即 log 1 =- log 1 = log 1 , -x-1 x-1 1-ax
2 2 2

解得 a=-1 或 a=1(舍). (2)f(x)+ log 1 (x-1)= log 1
2 2

1+x + log 1 (x-1) x-1
2

= log 1 (1+x),
2

当 x>1 时, log 1 (1+x)<-1,
2

∵当 x∈(1,+∞)时,f(x)+ log 1 (x-1)<m 恒成立,
2

∴m≥-1. 12.C [∵f(x1x2?x2 010)=loga(x1x2?x2 010)=8, 2 2 2 2 2 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 010)=loga(x1x2?x2 010) =2loga(x1x2?x2 010)=2×8=16.] 13.解

数形结合可得 0<n<m<1 或 1<n<m 或 0<m<1<n.


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