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直线与圆综合应用 学案


直线与圆综合应用 一、基础训练 1.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1,则 y ? x 的取值范围是
2 2



2.在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦与最短弦分别是 AC 和 BD ,则四边形

ABCD 的面积为 . 2 2 3.若圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? b2 ? 1 始终平分圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的周长,则 a , b 满足的关系
式 . 4.已知曲线 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,点 A(?2, 0) 及点 B(3, a) ,从点 A 观察点 B ,要使视线不被 曲线 C 挡住,则 a 的取值范围是 . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 与圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 13 切于 点 P( 2,2 ) ,则 a ? b 的值构成的集合是 .
? ? 2 2 ? 1? ? 6.设平面点集 A=??x,y?? ??y-x??y-x? ≥0 ,B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1},则 A∩B 所表 ? ?

示的平面图形的面积为________. 7.若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围为
2


2

8.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 条. 二、例题分析 例 1.圆心在直线 y ? x 上且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆,截 y 轴所得的弦长为 2,求此圆的 方程.

例 2.已知实数 x, y 满足方程 x ? y ? 4x ? 1 ? 0 .
2 2

(1)求

y 2 2 的最大值和最小值; (2) y ? x 的最大值和最小值; (3)x ? y 的最大值和最小值. x

例 3.已知直线 l : y ? x ? m , m ? R . (1)若以点 M (2,0) 为圆心的圆与直线 l 相切于点 P ,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ' , 问直线 l ' 与抛物线 C : x2 ? 4 y 是否相切?请说明理由.

例 4.如图, 已知圆心坐标为 M( 3, 1)的圆 M 与 x 轴及直线 y= 3x 均相切, 切点分别为 A、 B, 另一圆 N 与圆 M、x 轴及直线 y= 3x 均相切,切点分别为 E、C、D. (1) 求圆 M 和圆 N 的方程; (2) 过点 B 作直线 MN 的平行线 l,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

三、拓展提升 例 5.已知圆 O : x ? y ? 1,圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 1 ,由圆外一点 P (a, b) 引两圆的切 线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,满足 PA ? PB . (1)求实数 a , b 满足的等量关系; (2)求切线长 PA 的最小值;
2 2 2 2

(3)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切?若存在,求出圆 P 的方 程;若不存在,请说明理由.



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