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科优教育周末培优辅导——解三角形


第三讲
重要知识回顾

解三角形

1、内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第 三边的平方. 2、正弦定理 注意:①正弦定理的一些变式: ?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ;

? ii ? sin A ?

c a b ,sin B ? ,sin C ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. 3、余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常鉴定三角形的形状.

2bc

4、面积公式: S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径).

2

2

2

5、其他相关公式:
A B C (1) ?ABC 中,① sin A ? sin B ? sin C ? 4cos cos cos ; 2 2 2

② cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? 4sin

A B C sin sin ; 2 2 2

③ tan A ? tan B ? tan C ? 0 ? tan A tan B tan C ; ④ sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? 4sin A sin B sin C ; (2)射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A .

典型例题
题型一、利用正、余弦定理解三角形
【小题练手】 1、 ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

2、在△ABC 中 AB=1,BC=2,若三角形有两解,则角 C 的取值范围是 3、已知平行四边形法两边长分别是 3 和 5,一条对角线是 6,则另一条对角线长度 1 4、(2010·浙江卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 【例题讲解】 AC 例 1、 (05 复旦)在△ABC 中,tanA:tanB:tanC=1:2:3,求 . AB

例 2、在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC 边上的中线 BD ? 5 , AC AB ? 5 (1) 求 AC 的长; (2)求 sin(2 A ? B) 的值

例 3、 (05 交大)是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (1)最大角是最小角的两倍; (2)最大角是最小角的三倍。若存在,求出该三角形;若不存在,请说明理由。

题型二、利用正、余弦定理判断三角形形状
1、△ABC 的三边长分别为 x , y , z , 且 x2 ? y 2 ? z 2 ,则△ABC 是( A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 )

D、以上都有可能 ) D、形状不确定

2、在△ABC 中,若 an A ? tan B ? tan C ? 0 ,则△ABC 是( A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形

3、在△ABC 中,a,b 是它的两边长,S 是△ABC 的面积,若 S=

1 2 (a ? b 2 ), 则△ABC 形状是 4

题型三、与三角形面积有关的问题
1、 (10 清华大学等五校) ?ABC 中, 2sin 2 (1)求 C ; (2)求 S?ABC 的最大值. A 2、 (11 卓越)在 ?ABC 中, AB ? 2 AC , AD 是 ?A 的角平分线, 且 AD ? kAC . (1)求 k 的取值范围; (2)若 S?ABC ? 1 ,问 k 为何值时, BC 最短? B D C

A? B ? cos 2C ? 1 ,三角形的外接圆半径 R ? 2 . 2

3 、 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的 面 积 满 足 关 系 式

S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A

题型四、与三角形有关的最值与不等式问题
1、 (11 北约) ?ABC 的三边 a , b, c 满足 a ? b ? 2c .求证: C ? 60 .

2、 ( 06 清 华 、 浙 大 ) 已 知 A 、 B 、 C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 它 们 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 求 证 :

cos B ? cos C ?

2a A ? 4sin . b?c 2

3、 (2012 华约)在锐角 ?ABC 中,已知 A>B>C,则 cosB 的取值范围为(



A、 (0,

2 ) 2

B、 [ ,

1 2 ) 2 2

C、 (0,1)

D、 (

2 ,1) 2

【课后练习】
1、 (2010 华约)在 ?ABC 中,三边长 a, b, c 满足 a ? c ? 3b ,则 tan

A C tan ? 2 2

A、

1 5

B、

1 4
2

C、
2

1 2
2

D、

2 3

2、 (2009 华约)在 ?ABC 中, a ? b ? 5c ,则 A、1 B、2 C、3 D、4

cot C ? cot A ? cot B

3、在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_______ 4、在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3, cos A ?

1 B?C , 则 cos 2 = 3 2

, b ? c 的最大值为
2 2

5、 (2006 年上海交大)在地面距离塔基分别为 100m, 200m ,300m 的 A, B, C 处测得塔顶的仰角分别为 ? , ? , ? ,且

? ? ? ? ? ? 900 ,则塔高为



6.(12 华约) ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 2sin 2

A? B ? 1 ? cos 2C . 2

(1)求 C 的大小; (2)若 c 2 ? 2b 2 ? 2a 2 ,求 cos 2 A ? cos 2 B 的值


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