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甘肃省天水市第一中学2016届高三数学下学期第四次模拟考试试题 理


天水一中 2015-2016 学年第二学期高三(2013 级)第四次检测考试数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题: (共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.设集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|y=lnx},则 A∩B=( ) A(0,3) B(0,2) C(0,1) D(1,2) 2.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 A. 2 B. 11

2?i 为纯虚数,则复数 z ? 2a ? 2i 的模等于( a?i
C. 3 D. 6



4.向量 a , b 均为非零向量, (a ? 2b) ? a,(b ? 2a) ? b ,则 a, b 的夹角为( A.

?

?

? ?

?

?

? ?



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


5.各项为正的等比数列 ?an ? 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 log2 a7 ? log2 a11 的值 为( A. 4 B.3 C.2 D.1

? y ?1 ? 6.已知实数 x、 y 满足 ? y ? 2 x ? 1,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1,则实数 m ? ( ?x ? y ? m ?
A.6 B.5 C.4 D.3 7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是一个等边三角形,则这 的体积为( )



个几何体

A.

4 3 3

B.

5 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3
( )

8.如右图所示的程序框图,若输出的 S ? 88 ,则判断框内应填入的条件是 A. k ? 3? B. k ? 4 ? C. k ? 5? D. k ? 6 ?

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f (4) ? f (?2) ? 0 ,在区间 (??, ?3) 与 ? ?3,0? 上分别递增和递减,则不等 式 xf ( x) ? 0 的解集为( )

A. (??, ?4) ? (4, ??) B. (?4, ?2) ? (2, 4) C. (??, ?4) ? (?2,0) D. (??, ?4) ? (?2,0) ? (2, 4)
1

1 0.已知点 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两 a 2 b2


支分别交于 A、B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 3: 4:5 ,则双曲线的离心率为( A.2 B.4 C. 13 D. 15

11.三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 15, AC ? 6, PC ? 平面 ABC , PC ? 2 ,则该三棱锥的外接球表面积为 ( A. )

25 ? 3

B.

25 ? 2

C.

83 ? 3

D.

83 ? 2

12.一矩形的一边在 x 轴上,另两个顶点在函数 y ? 几何体的体积的最大值是( A. ? B. ) C.

2x ( x ? 0) 的图像上,如图,则此矩形绕 x 轴旋转而成的 1 ? x2

? 3

? 4

D.

? 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题: (本大题共四小题,每小题 5 分) 13.记集合 ,构成的平面区域分别为 M,N,现随机地

向 M 中抛一粒豆子(大小忽略不计),则该豆子落入 N 中的概率为._____. 14.已知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

7 4 3 ,则 sin(? ? ? ) 的值是________. 6 5

15. 已知点 A(0, 2) ,抛物线 C1 : y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点为 F ,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M ,与其准线相交 于点 N ,若 FM : MN ? 1: 5 ,则 a 的值等于________. 16.数列 ?an ? 的通项 an ?

n ?(cos

2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 ? ________. 3 3

三、解答题 (本题必作题 5 小题,共 60 分;选作题 3 小题,考生任作一题,共 10 分.) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2 . (1)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ( x ) 的值域; ? 2? ?
b sin(2 A ? C ) ? 3, ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的 a sin A

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且满足 值.

18.(本小题满分 12 分) 自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一 个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方 案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18
2

有生育意愿家庭数

4

8

16

20

26

(1) 若用表中数据所得的频率代替概率, 面对产假为 14 周与 16 周, 估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选 择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ? 的分布及期望.

19.(满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°PA=PD=AD=2BC=2, CD= , Q 是 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,且 PM=3MC.

(Ⅰ)求证:平面 PAD⊥底面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 M﹣BQ﹣C 的大小. 20. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 R( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y 2 C: ? ? 1 上的一点,从原点 O 向圆 R : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 8 24 12
分别交椭圆于点 P, Q . (1)若 R 点在第一象限,且直线 OP, OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP, OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值; 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

作两条切线,

ln(2 x) . (1)求 f ( x ) 在 ?1, a? (a ? 1) 上的最小值; x

(2)若关于 x 的不等式 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 只有两个整数解,求实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一题目记分. 22. (本小题满分 10 分) ?ACB 的平 已知 C 点在 ? O 直径 BE 的延长线上, CA 切 ? O 于 A 点, CD 是 分线且交 AE 于点 F ,交 AB 于点 D . (1)求 ? ADF 的度数; (2)若 AB ? AC ,求

AC 的值. BC

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ( t 为参数) ,在以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正 ?y ? t ?3
2 cos ? . sin 2 ?
3

半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的面积.

24. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?6 ? x ? 4? ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若不等式 f ( x) ? (k 2 ?1) x ? 5 的解集非空,求实数 k 的取值范围.

4

数学理科参考答案 一、选择题 1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.D 12.A 二、填空题 13. . 14. ?

4 5

15.

2 6 3

16 .470

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 1
17.解: (1)

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? . .6 分 x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? , ,sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? ,∴ f ( x) ???1, 2? . ? 6 ?6 6 ? 6 ? 2 ? ? 2?
(2)∵由题意可得 sin ? A ? ( A ? C)? ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C) 有,

sin A cos( A ? C ) ? cos A sin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) ,
化简可得: sin C ? 2sin A ∴由正弦定理可得: c ? 2a ,∵ b ? 3a ,∴余弦定理可得:

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 3a 2 1 ? ? ,∵ 0 ? B ? ? 2ac 2a?2a 2

∴B ?

?
3

, 所以 f ( B) ? 1

18. 18. (1)由表中信息可知,当产假为 14 周时某家庭有生 育意愿的概率为 P 1 ? 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 ?

4 1 ? ; 200 50

16 2 ? 200 25

. . . .2 分

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A ,由已知从 5 种不同安排方案中,随机地抽取 2
2 种方案选 法共有 C5 ,其和不低于 32 周的选法有 14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、 ? 10 (种)

18,共 6 种,由古典概型概率计算公式得 P ( A) ?

6 3 ? . 6分 10 5

②由题知随机变量 ? 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.

1 1 2 ? 0.1 , P(? ? 30) ? ? 0.1, P(? ? 31) ? ? 0.2 , 10 10 10 2 2 1 1 P(? ? 32) ? ? 0.2, P(? ? 33) ? ? 0.2, P(? ? 34) ? ? 0.1, P(? ? 35) ? ? 0.1 , ? 10 10 10 10 P(? ? 29) ?

?
P

29 0.1

30 0.1

31 0 .2

32 0.2

33 0.2

34 0.1

35 0.1

E(? ) ? 29 ? 0.1 ? 30 ? 0.1 ? 31? 0.2 ? 32 ? 0.2 ? 33 ? 0.2 ? 34 ? 0.1 ? 35 ? 0.1 ? 32 , .12 分
19.(Ⅰ)证明:连结 BQ,∵四边形 ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AD=2BC,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 ABDQ 为平行四边形, 又∵CD= PQ= ,在△PQB 中,QB= ,PB= , ∴QB=
2 2

, ∵△PAD 是边长为 2 的正三角形, Q 是 AD 的中点, ∴PQ⊥AD,
2

,有 PQ +BQ =PB ,∴PQ⊥BQ,∵AD∩BQ=Q,AD、BQ? 平面 ABCD,∴PQ⊥平

面 ABCD,又∵PQ? 平面 PAD,∴平面 PAD⊥底面 ABCD;(Ⅱ)解:由(I)可知能以 Q 为原点,分别以 QA、QB、
5

QP 为 x、y、z 轴建立坐标系如图,则 Q(0,0,0),B(0, 点,∴PQ= ∴PC= ∴ =(0, = ,0), = = = ,QC= =

,0),∵BC=1,CD= =2, , ),

,Q 是 AD 的中

,又∵PM=3MC,∴M(﹣ , =(﹣ , ,

),设平面 MBQ 的一个法向量为 =(x,y,z),



,即

,令 z=

,得 =(1,0,

),

又 =(0,0,1)为平面 BCQ 的一个法向量,∴

=

=



∴二面角 M﹣BQ﹣C 为



20. (1) 由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r ? 2 2 , 因为直线 OP, OQ 互相垂直, 且和圆 R 相切, 所以 OR ? 2r ? 4 ,
2 2 即 x0 ? y0 ? 16

①又点 R 在椭圆 C 上,所以

2 x0 y2 ? 0 ?1 24 12



联立①②,解得 ?

? ? x0 ? 2 2 ? ? y0 ? 2 2

,所以,所求圆 R 的方程为 ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 2 2)2 ? 8 .

(2)因为直线 OP : y ? k1 x 和 OQ : y ? k2 x 都与圆 R 相切,所以

k1 x0 ? y0 1 ? k12

?2 2,

k2 x0 ? y0 1 ? k22

? 2 2 ,化简

得 k1 ? k2 ?

2 2 2 x0 y0 y0 ?8 C ? ?1, ,因为点 在椭圆 上,所以 R ( x , y ) 0 0 2 24 12 x0 ?8

1 2 4 ? x0 1 1 2 2 ?? . 即 y0 ? 12 ? x0 ,所以 k1k2 ? 2 2 x0 ? 8 2 2
1 ? ln(2 x) e ,令 f ?( x) ? 0 得 f ( x ) 的递增区间为 (0, ) ; 2 x 2 e 令 f ?( x) ? 0 得 f ( x ) 的递减区间为 ( , ??) , .2 分 ∵ x ??1, a? ,则 2 e 当 1 ? a ? 时, f ( x ) 在 ?1, a ? 上为增函数, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ln 2 ; . . . . . . . . . . .3 分 2
21.解: ( 1) f ?( x ) ? 当a ?

e ln 4 ? e? ?e ? ? ln 2 ? f (1) , 时, f ( x ) 在 ?1, ? 上为增函数,在 ? , a ? 上为减函数,又 f (2) ? 2 2 ? 2? ?2 ?

∴若

e ln 2a ? a ? 2 , f ( x) 的最小值为 f (1) ? ln 2 , . . .4 分若 a ? 2 , f ( x ) 的最小值为 f (a ) ? , . . . . . .5 分 2 a

综上,当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ln 2 ;当 a ? 2 , f ( x ) 的最小值为

6

ln 2a , . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .6 分 a e e e (2) 由 (1) 知, f ( x ) 的递增区间为 (0, ) , 递减区间为 ( , ??) , 且在 ( , ??) 上 ln 2 x ? ln e ? 1 ? 0 , 又x ? 0, 2 2 2 1 则 f ( x) ? 0 .又 f ( ) ? 0 .∴ m ? 0 时,由不等式 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 得 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?m ,而 f ( x) ?0 2 1 解集为 ( , ??) ,整数解有无数多个,不合题意; . . . . . . .8 分, m ? 0 时,由不等式 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 得 2 1 1 f ( x) ? 0 ,解集为 (0, ) ? ( , ??) ,整数解有无数多个,不合题意;m ? 0 时,由不等式 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 得 2 2 1 f ( x) ? ?m 或 f ( x) ? 0 ,∵ f ( x) ? 0 解集为 (0, 0 无整数解,若不等式 f 2 ( x) ? mf ( x) ? 0 有两整数解,则 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 f (3) ? ?m ? f (1) ? f (2) ,∴ ? ln 2 ? m ? ? ln 6 . 3 f (a) ?
综上,实数 m 的取值范围是 ? ? ln 2, ? ln 6 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 3 22. (1)∵ AC 为 ? O 的切线,∴ ?B ? ?EAC ,又 DC 是 ?ACE 的平分线,∴ ?ACD ? ?DCB .由

? ?

1

? ?

?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,得 ?ADF ? ?AFD , 1 AC AE 0 0 ? 又 ?BAE ? 90 ,∴ ?ADF ? ?BAE ? 45 . (2)∵,∴ ?ACE ? ?BCA ∴ ,又 2 BC AB
?ACE ? ?ABC ? ?CAE ? ?BAE ? 1800 ,∴ ?B ? ?ACB ? 300 .在 Rt ?ABE 中,∴

AC AE 3 . ? ? tan 300 ? BC AB 3
23.解: (1)由曲线 C 的极坐标方程是: ? ?

2 cos ? 2 2 ,得 ? sin ? ? 2? cos? . 2 sin ?

∴由曲线 C 的直角坐标方程是: y 2 ? 2 x .由直线 l 的参数方程 ? .5 分 x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线 l 的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 .

? x ? 1? t ,得 t ? 3 ? y 代入 x ? 1 ? t 中消去 t 得: ?y ? t ?3

2 2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y ? 2 x ,得 t ? 8t ? 7 ? 0 ,设 A, B 两点对应的参数分别为

t1 , t2 ,所 AB ? 2 t1 ? t2 ? 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 2 82 ? 4 ? 7 ? 6 2 ,
因为原点到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离 d ?

?4 1?1

? 2 2 ,所以 ?AOB 的面积是

1 1 AB ?d ? ? 6 2 ? 2 2 ? 12 . 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

24.解: (1)∵ 2x ? a ? 2a ? 6 ,∴ 2x ? a ? 6 ? 2a ,∴ 2a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? 2a ,

7



3 a a ? 3 ? x ? 3 ? . f ( x) ? 6 的解集为 x ? 6 ? x ? 4 , 2 2

?3 a ? 3 ? ?6 ? ?2 , 解得 a ? ?2 ? ? 3? a ? 4 ? ? 2

(2)由(1)得 f ( x) ? 2x ? 2 ? 4 .∴ 化简 2x ? 2 ? 1 ? (k ?1) x
2

2x ? 2 ? 4 ? (k 2 ?1) x ? 5 ,

令 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 1 ? ?

? 2 x ? 3, x ? ?1 , y ? g ( x) 的图象如要使不等 f ( x) ? (k 2 ?1) x ? 5 的解集非空,需 ? 2 x ? 1, x ? ? 1 ?

k 2 ? 1 ? 2 ,或 k 2 ? 1 ? ?1 ,∴ k 的取值范是 k | k ? 3或k ? ? 3或k ? 0 .

?

?

8


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